中考数学一元二次方程组综合练习题含答案

中考数学一元二次方程组综合练习题含答案
一、一元二次方程
1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2
+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P
﹣1，
2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得
1（舍去）或
x=1，∴点P
（1，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形
=
12OB•OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222
x y -+ =
2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，2
23y x x =--+=154，此时P
（32
-
，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
2．阅读下列材料 计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t ，
则：
原式＝（1﹣t ）（t +）﹣（1﹣t ﹣）t ＝t +﹣t 2
﹣
+t 2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题： （1）计算：（1﹣﹣）×（+
）﹣（1﹣﹣
）×
（+
）
（2）因式分解：（a 2﹣5a +3）（a 2
﹣5a +7）+4 （3）解方程：（x 2+4x +1）（x 2
+4x +3）＝3
【答案】（1）；（2）（a 2﹣5a +5）2
；（3）x 1＝0，x 2＝﹣4，x 3＝x 4＝﹣2
【解析】 【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t 代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a 2
﹣5a ＝t 代入原式进行因式分解，最后要记得把
t 换为a ．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x 2
+4x ＝t 代入原方程，即得到关于t 的一元二次方
程，得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解． 【详解】 （1）令+
＝t ，则： 原式＝（1﹣t ）（t +
）﹣（1﹣t ﹣
）t ＝t +﹣t 2
﹣
﹣t +t 2
+
＝
（2）令a 2
﹣5a ＝t ，则：
原式＝（t +3）（t +7）+4＝t 2+7t +3t +21+4＝t 2+10t +25＝（t +5）2＝（a 2﹣5a +5）2
（3）令x 2
+4x ＝t ，则原方程转化为：
（t +1）（t +3）＝3 t 2+4t +3＝3 t （t +4）＝0 ∴t 1＝0，t 2＝﹣4
当x 2
+4x ＝0时，
x （x +4）＝0 解得：x 1＝0，x 2＝﹣4
当x 2
+4x ＝﹣4时，
x 2+4x +4＝0
（x +2）2
＝0
解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
3．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1
%2
a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2
%23
a ，求a 的值.
【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.
【解析】 【分析】
（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令%a y =，整理这个方程，得2
1030y y -=，
解这个方程，得1230,10
y y ==
， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
4．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．
【答案】x 1x 2=1【解析】
试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.
试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2
=3，
解得：x 1，x 2=1
5．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优
惠．
【解析】
【分析】
（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.
【详解】
（1）设平均每次下调x%，则
7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．
∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
6．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=
1 2 .
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣1
2
．
7．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；
（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．
∴
由求根公式，得
．∴或
（II），∴．
而，∴，．
由题意，有
∴即（﹡）
解之，得
经检验是方程（﹡）的根，但，∴
【解析】
（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．
一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措
施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映
了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.
请你解答下列问题：
8．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．
9．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.
【答案】x1，x2
【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.
试题解析：(x＋1)(x－1)＝
x2-2x-1=0
∵a=1，b=-c=-1
∴△=b2-4ac=8+4=12＞0
∴
∴x1x2.
10．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，
（1）若x12+x22=6，求m值；
（2）令T=
12
12
11mx mx x x +--，求T 的取值范围．
【答案】（1）2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】
由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】
∵方程由两个不相等的实数根，
所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2
﹣3m+3）
=﹣4m+4＞0，
所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1
∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；
（1）∵x 12+x 22
=6，
∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，
即（4﹣2m ）2﹣2（m 2
﹣3m+3）=6 整理，得m 2
﹣5m+2=0
解得m=；
∵﹣1≤m ＜1 所以m=．
（2）T=
+
=
=
=
=
=2﹣2m ．
∵﹣1≤m ＜1且m≠0
所以0＜2﹣2m≤4且m≠0 即0＜T≤4且T≠2． 【点睛】
本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
11．关于x 的一元二次方程(k -2)x 2-4x +2=0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．
【答案】（1）k ＜4且k ≠2.（2）m =0或m =83
-. 【解析】 分析：
（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k 的不等式组，解不等式组即可求得对应的k 的取值范围；
（2）由（1）得到符合条件的k 的值，代入原方程，解方程求得x 的值，然后把所得x 的
值分别代入方程x 2
+mx -1=0即可求得对应的m 的值.
详解：
(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.
(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，
将k=3代入原方程得：方程x 2
-4x+3=0，
解此方程得：x 1=1，x 2=3.
把x=1时，代入方程x 2
+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2
+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83
-.
∴m=0或m=8
3
-.
点睛：（1）知道“在一元二次方程2
0?
(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；
△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.
12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m 2=0． （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且|x 1|=|x 2|﹣2，求m 的值及方程的根．
【答案】（1）证明见解析；（2）x 1=﹣，x 2=﹣1或
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-b
a
，x1•x2=
c
a
，表示出两根的关系，得到
x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，
∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，
∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣3
5
）2+
36
5
，
∴△＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1•x2=c
a
=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，
∴x1，x2异号，
又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，
若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，
∴m﹣3=﹣2，即m=1，
方程化为x2+2x﹣1=0，
解得：x1=﹣x2=﹣1，
若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，
∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，
方程化为x2﹣2x﹣25=0，
解得：x1=1，x2
13．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（
1
2
，0）或（
1
2
，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；
（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-
4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求
它们的“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴
11
a b -=，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫- ⎪⎝⎭
；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1
2
，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为
1
,0
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
或（
1
2
，0）
【点睛】
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．
14．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元．
（1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的3
2
倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一
天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的售价定位为每千克多少元？
（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调a%出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该
天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了a%，且储备排骨的销量占总销量的5
7
，两种排
骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了1
28
a%，求a 的值．
【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35.
【解析】
【分析】
（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；
（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克，
11月的进货价为： 3
40602?元/千克
设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x +-=，
解得10x =，25x =
因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元.
（2）根据题意可得52170(1%)100(1%)
70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭
解得135a =,20a =(舍去)
所以a =35.
【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.
15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．
解得110x =，230x =．
经检验，110x =，230x =都符合题意．
当10x =时，5060x +=，50010400x -=；
当30x =时，5080x +=，50010200x -=．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。