2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》预测试题9(答案解析)

2022-2023年教师资格《中学数学学科知识与教学能力》
预测试题（答案解析）
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第壹卷
一.综合考点题库(共50题)
1.设M、N为随机事件，P(N)>0，且条件概率P(M|N)=1，则必有
A.A
B.B
C.C
D.D
正确答案：C
本题解析：
P(MUN)=P(M)+P(N)-P(MN)，P(MUN)=P(M)。

2.下面不属于第三学段“数与代数”内容的是( )。

A.实数
B.平均数
C.代数式
D.函数
正确答案：B
本题解析：
平均数是“统计与概率”的内容，因此选择B。

3.椭圆的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率
．过中心O
作直线与椭圆交于A，B两点，O为原点，若△ABF2的面积是20。

(1)求m的值；
(2)直线AB的方程。

正确答案：
本题解析：
(1)
(2)
4.已知向量组 a1=(2，1，-2)，a2=(1，1，0)，a3=(t，2，2)线性相关。

(1)求 t 的值；(4 分)
(2)求出向量组{a1，a2，a3}的一个极大线性无关组。

(3 分)
正确答案：
本题解析：
5.新课程内容标准中对第三学段中整式与分式的具体目标设置为“了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分与通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算”，结合上述内容，对“分式(第一课时)”进行教学设计。

(1)本节课的教学目标是什么
(2)本节课的教学重点和难点是什么(3)请为本节课的教学设计一个课程导入。

正确答案：
本题解析：
6.《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出，“数感”感悟的对象是( )。

A.数与量、数量关系、口算
B.数与量、数量关系、笔算
C.数与量、数量关系、简便运算
D.数与量、数量关系、运算结果估计
正确答案：D
本题解析：
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

7.义务教育阶段的数学课程应该具有（）。

A.基础性、普及性、发展性
B.实践性、普及性、选拔性
C.基础性、实践性、选拔性
D.实践性、普及性、发展性
正确答案：A
本题解析：
本题主要考查初中数学课程性质的基础知识。

《义务教育教学课程标准（2011年版）》对初中数学课程性质进行了阐述：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。

数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。

8.设三次多项式函数则f(x)的极大值点为( ) A.0
B.1
C.-1
D.2
正确答案：C
本题解析：
9.某单位招聘面试，每次从试题库调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题结束。

试题库中现有n+m道试题，其中有n 道A类型试题和m道B类型试题，以x表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题数量。

(1)求X=n+2的概率；
(2)设n=m，求X的分布列和均值．
正确答案：
本题解析：
10.函数知识一直是中学代数内容的主线。

是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，这就决定了函数在中学数学中的重要地位。

请说明初中函数内容教学的要求，并结合自己的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。

正确答案：
本题解析：
初中函数的要求：①能探索具体问题中的数量关系和变化规律；②了解常量、变量的意义，了解函数概念和表示方法；③能结合图象分析，能用适当函数表示刻画某些实际问题中变量之间的关系；④对具体的一次函数、二次函数、反比例函数体会意义，画出图象，确定解析式、能利用函数解决一些实际问题。

利用函数思想解决问题时要注意的问题是：①函数知识的横向、纵向联系；②把函数、方程、不等式看成一个整体：③将函数性质、特征与图象紧密结合；④二次函数的综合运用；⑤实际问题通过建立函数模型解决等。

11.某飞行表演大队由甲、乙两队组成。

甲队中恰好有喷红色与绿色喷雾的飞机各 3 架。

乙队中仅有 3 架喷红色烟雾的飞机。

在一次飞行表演中，需要从甲队中任意选出 3 架飞机与乙队飞机混合编队进行表演，并任意确定一架飞机作为领飞飞机，求领飞飞机是喷绿色烟雾的概率。

正确答案：
本题解析：
分两步进行计算，先选出含有喷绿色烟雾的飞机的概率再选领飞的飞机是喷绿色烟雾的概率，最后乘起来即得。

12.数学发展史上曾经历过三次危机，触发第三次数学危机的事件是()。

A.无理数的发现
B.微积分的创立
C.罗素悖论
D.数学命题的机器证明
正确答案：C
本题解析：
第三次数学危机为数学罗素悖论的产生。

第三次数学危机引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统的产生。

在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。

到现在，从整体来看，第三次数学危机还没有解决到令人满意的程度。

13.设三维空间中椭圆
(1)证明T的中心为原点，并求，的长轴和短轴的长度。

(5分)
(2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得T与给定椭圆全等。

(5分)
正确答案：
本题解析：
(1)由已知得，椭圆，为圆的中心都为原点．故椭圆，的巾心为原点。

(2)以椭圆f长轴所在直线为横轴m，短轴所在直线为纵轴n建立直角坐标系，可得f的方程为．其中长短轴之比为与R无关。

故对任意给定的一个椭圆(其长半轴和短半轴分别为a．b)．均可找到参数k，R使得
14.
A.正定的
B.半正定的
C.负定的
D.半负定的
正确答案：A
本题解析：
15.(材料)核心内容函数是中学数学的核心内容，以函数思想来贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学质量.回答下列问题:
1.写出高中阶函数的定义;
2.阐述高中阶段函数的定义与初中函和不的的数的定数定义的相同点和不同点。

正确答案：
本题解析：
1.
高中函数的定义：函数实际上就是集合到集合的映射，其中都是非空的数的集合，对于自变量在定义域内的任何一个值，在集合中都有唯一的函数值和它对应。

2.
初中函数的定义:如果在某变化过程中有两个变量,并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，叫自变量。

初中函数的实质是用某变化过程中两变量的相依关系来定义的，是“变动”的。

而高中函数纳入了集合到集合特殊映射的范畴(数集到数集的映射)，是静态”的。

16.
A.平行
B.直线在平面内
C.垂直
D.相交但不垂直正确答案：A
本题解析：
17.初中数学“分式’’包括三方面的教学内容：分式、分式的运算、分式方程。

针对上述内容，请完成下列任务：
(1)分析“分数”在分式教学中的作用。

(8分)
(2)设计三道分式方程题。

(8分)
(季求．①分式方程能转化成一元一次方程：②三道分式方程题逻辑联系紧密；③三道分式方程题由易到难，体现教学要求；④说明你的设计意图)
(3)指出解分式方程中所蕴含的数学思想方法。

(4分)
(4)分析解分式方程时．可能产生增根的原因并设计一道相应的训练题。

(10分)
正确答案：
本题解析：
(1)“分数”为分式的学习作铺垫，分数与分式联系紧密，二者是具体与抽象、特殊与一般的关系。

分数的有关结论与分式的相关结论具有一致性，即数式通性。

可以通过类比分数的概念、性质和运算法则，得出分式的概念、性质和运算法则。

由分数引入分式，既体现了数学学科内在的逻辑关系，也是对类比这一数学思想方法和科学研究方法的渗透。

(设计意图：通过简单的题目练习分式方程的解法)
没计意图：含有分式运算的分式方程，巩固分式运算法则) (设计意图：含
有增根的分式方程，让学生意识到增根产生的原因，以及体会解分式方程的一般过程中检验的必要性)
(3)类比思想，转换化归思想
(4)可能产生增根的原因为在解分式方程去分母的过程中扩大了未知数的取值范围。

训练题②应用题：从2004年5月起某列车平均提速'13千米／时，用
相同的时间，列车提速前行驶5千米．提速后比提速前多行驶50千米：提速前列车的平均速度为多少(两道题目二选一即可)
18.推理分为合情推理和演绎推理。

(1)分别阐述合情推理和演绎推理的含义；(5 分) (2)举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题上的作用，并阐述两者之间的关系。

(10 分)
正确答案：
本题解析：
(1)合情推理包括归纳推理和类比推理。

归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理，由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。

演绎推理：演绎推理是由一般到特殊的推理。

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。

(2)合情推理：例如，在研究球体时，我们会自然想到圆，由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测，对于圆的特征，球也可能具有，圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径等。

演绎推理在学习重要不等式的证明、三角函数变换等内容都有涉及。

从形式上看，合情推理是由部分到整体、个别到一般、特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理过程。

从结论上看，合情推理的结论不一定正确，但演绎推理的结论一定正确。

合情推理和演绎推理的主要区别是思维进程的不同，比如合情推理中的归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程是从一般到特殊，是一个必然得出的思维进程。

合情推理和演绎推理有着紧密的联系，一方面，归纳、类比推理的可靠性不仅要用许多实例去验证，而且也要用较一般的原理、较一般的规律去验证(即用演绎法来验证)；另一方面，演绎的前提是过去通过归纳得出的。

任何一门科学的发展都有一个通过观察、试验而积累材料的阶段。

当材料积累到一定程度，就要整理材料，从中概括出普遍性的结论，即提出假说、定理、定律或公式。

就数学学习与教学而言，合情推理与演绎推理是相辅相成的。

19.下列函数中，与函数定义域相同的函数为( )。

A.y=1/sinx
B.y=lnx/x
C.
D.y=sinx/x
正确答案：D
本题解析：
20.( )是中国古典数学最重要的著作，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。

A.《九章算术》
B.《孙子算经》
C.《数书九章》
D.《代数学》
正确答案：A
本题解析：
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，分成九章，依次是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。

21.设A．B均为n阶矩阵，则下列正确的为( )。

A.det（A+B）=detA+det
B.AB=BA
C.det（AB）=det（AB）
D.（A-B）2=A2-2AB+B2
正确答案：C
本题解析：
一般的矩阵乘法是没有交换律的，所以B、D两项不正确。

A项中描述的是显然是不正确的。

C项是矩阵运算中一个重要的结果。

22.
A.0
B.1
C.2
D.∞
正确答案：C 本题解析：23.已知方程
的两个实数解为 1 与-2，试求该方程的全部实数解。

正确答案：
本题解析：
24.已知随机变量Χ服从正态分布N(3，1)且P(2≤Χ≤4)=0．6826，则P(Χ>4)=( )
A.0、1585
B.0、1586
C.0、1587
D.0、1588
正确答案：C
本题解析：
25.有一个角是直角的平行四边形是矩形，这个定义方式属于( )。

A.公理定义
B.属加种差定义
C.递归定义
D.外延定义
正确答案：B
本题解析：
本题主要考查对数学教学论中概念教学定义的理解。

数学概念的定义方法有:直觉定义法、属加种差定义法、发生式定义法、逆式定义法、约定性定义法、刻画性定义和过程性定义。

A项:公理定义即概念的公理化定义，是指通过规定概念应具备的基本性质来定义概念，显然题干的定义方式不属于此种，排除。

B项:属加种差定义，邻近的属+种差=被定义概念，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性，题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，其邻近属为平行四边形，种差为其一角为直角，属于此种定义法，当选。

C项:递归定义也称为归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件和归纳条件构成，显然题干的定义方式不属于此种，排除。

D项:外延定义是一种实质定义，即通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义，例如，实数是有理数和无理数的统称，与题干定义不符，排除。

26.下列划分正确的是()。

A.有理数包括整数、分数和零
B.角分为直角、象限角、对顶角和同位角
C.数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列
D.平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形
正确答案：D
本题解析：
分类原则一般包括：一致性原则、互斥性原则、相称性原则等。

一致性原则指分类的标准前后是一致的，只能按同一标准进行，不能出现几个不同的标准。

互斥性原则是指分类或的各个子项之间是不相容的。

相称性原则指的是划分后的各子项的外延的总和应与母项的外延相同。

A项违反一致性原则和互斥性原则，零包含在整数中；B、C项违反一致性原则。

27.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P{|x-μ|＜σ}应该()。

A.单调增大
B.单调减少
C.保持不变
D.增减不变
正确答案：C
本题解析：
不变。

28.试求通过点Mo(一1，0，4)，垂直于平面Ⅱ：3x一4y-10=0，且与直线
平行的平面方程。

正确答案：本题解析：
平面Ⅱ的法向量m=（3-4，1)，直线Z的方向向量l=(3，l，2)，所以所求平面的法向
29.在△4BC中M满足()。

A.2
B.3
C.4
D.6
正确答案：B
本题解析：
30.
A.平行
B.直线在平面内
C.垂直相交
D.相交但不垂直
正确答案：A
本题解析：
31.
周，所得旋转面记作 S。

(1)在空间直角坐标系中，分别写出曲面 S 的方程；(6 分) (2)求曲面 S 与平面 x=0 所围成立体图形的体积。

(4 分)
正确答案：
本题解析：
(1)由题意知，点P(1，3)在椭圆上，椭圆方
方程为y-3=-1×(x-1)，即x+y-4=0，又该切线交x 轴与y 轴于点 A 和点B，所以A(4，0)，B(0，4)，线段AB 绕x 轴旋转一周x 不变，将y 变
32.“三角形内角和为180?” ”，其判断的形式是（）。

A.全称肯定判断
B.全称否定判断
C.特称肯定判断
D.特称否定判断
正确答案：A
本题解析：
本题主要考查对概念与命题的理解。

A项：全称肯定判断——断定一类事物的全部都具有某种性质的判断。

通常用“A”表示，也可写成“SAP”。

逻辑形式是:“所有的S都是P”；
B项：全称否定判断——断定一类事物的全部都不具有某种性质的判断。

通常用“E”表示,也可写成“SEP”。

逻辑形式是:“所有的S都不是P”；
C项：特称肯定判断——断定一类事物中的部分对象具有某种性质的判断。

通常“I”表示,写成“SIP”。

逻辑形式是：“有些S是P”；
D项：特称否定判断——断定一类事物中的部分对象不具有某种性质的判断。

通常用“O”表示，也可写成“SOP”。

逻辑形式是:“有的S不是P”；
“三角形内角和180?”是指“所有的三角形内角和都是180?”，符合逻辑形式“所有的S都是P”。

33.
A.χ=2、5
B.χ=l
C.χ=-2、5
D.χ=0
正确答案：A
本题解析：
ⅡAⅡ=5-2x，A有零特征值，得ⅡAⅡ=0，故x=2.5，显然应选A。

34.已知非齐次线性方程组
（1）a为何值时，对应齐次线性方程组解空间的维数为2? （2）对于(1)中确定的a值，求该非齐次线性方程组的通解
正确答案：
本题解析：
（1）题意知，齐次线性方程组解空间维数为2,即其系数矩阵秩为2,则, 则a+5=-2，解得,a=-7
（2）
35.下面是某同学解方程的过程：求方程x(x-l)=x。

解：x(x-1)=x，两边同时除以x得x=2。

问题：
(1)该同学的解题过程哪一步错了分析原因；
(2)针对该生的情况，请你设计一个教学片段，并说明教学意图；
(3)怎样防范这样的错误
正确答案：
本题解析：
(1)第一步“两边同时除以x”算错了，错误原因是方程两边同时除以x，忽略了x可能为0，这时就造成了失误。

(2)教学片段：
师：同学们考虑一下方程还有其他的解吗生：x=0。

师：正确，当x等于0时方程两边都等于0，所以x=0也是方程的解。

生：是的。

师：那么为什么会出现这位同学丢根的现象呢大家想过没有生：两边同时除以x。

师：是的，我们根据等式的性质：方程等号两边同时除以同一个不为0的整式，等式的值不变。

那么这位同学的做法“两边同时除以x”，有问题吗
生：没有考虑x=0的情况。

．师：很好，那么怎么做才正确呢
生：要先移项。

师：对，要移项分解因式。

(设计意图：让学生在解方程时深刻理解等式的性质，即：方程等号两边同时除以同一个不为0的整式，等式的值不变。

)
(3)防范这种错误的方法是：解方程时，如果方程两边同时除以一个代数式，一定要注意它是否会等于0，尽量用分解因式的方法做。

36.方式 1．实数有加法运算，那么下列集合的关系呢?
方式 2．班里有会弹钢琴的，会打拳击的会……(给出集合的并集的定义)
方式 3．前面学习了集合，集合的表示、基本关系，接下来呢……
(1)分析三种引入方式的特点；(6 分)
(2)对于方式 3，教师可以引导学生进一步提出哪些问题；(6 分)
(3)数学概念引入的关键点是什么?(4 分)如何使数学概念的引人更加自然?(4 分)
正确答案：
本题解析：
(1)方式一的引入，从学生熟悉的实数加法运算人手，降低了认知难度。

但是集合间的运算的交、并、补、差与实数的运算虽然有一定的联系，但是也有差别。

在教学过程中注意引导学生思考探究避免出现运算误区。

方式二的引入，利用学生身边的人创设问题情景，降低对新知识的陌生感，引发学生思维的共鸣。

方式三的引入，复习以前学过的知识内容，进行新旧知识的衔接过渡，降低学生对新知识的认知难度。

但是缺乏具体内容的回顾，只是简单地提及，不能够全面地顾及到班上的所有学生对已有知识的复习达到降低对新知识认知难度的目的。

(2)问题1．集合之间是否也具备一些运算规律呢? 问题2．集合的并集运算与实数的加法运算有什么异同点? 问题3．集合的补集运算与实数的减法运算有什么异同点? 问题4．集合的交际运算需要注意的问题有什么? (3)数学概念的引入的关键点为：①注意运用新、旧知识之间的内在联系；②调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料，创设具体情境，从具体事例抽象出数学概念。

在利用新旧知识之间的联系引入概念时，注意创设类比发现的问题情境，关注新旧知识的链接，尝试引入新的概念，这样引入容易使学生在原有的认知结构中得到同化和建构。

通过创设情境，从具体事例抽象出数学概念时要求充分调动学生认知结构中已有感性经验和知识，去感知理解材料．经过思维加工产生认识飞跃，继而组织成完整的概念图式。

在具体引入概念的过程中可以通过实例、绘图或是多媒体辅助引导学生分析数学概念的特点，使学生思维由感性认识自然过渡到理性认识。

37.
A.如上图所示
B.如上图所示
C.如上图所示
D.如上图所示
正确答案：B
本题解析：
38.“一元一次方程，，是学生通过小学学过的算式到方程概念的引入的关键性知识点，请就初中“一元一次方程”内容回答下列问题。

(1)该课程需要达到怎样的教学目标。

(6分)
(2)本课程的教学重点和难点。

(6分)
(3)设计一段教学过程。

(18分)
正确答案：
本题解析：
(1)知识与技能：了解一元一次方程等有关概念，体会由算式到方程是数学的一大进步。

过程与方法：经历列方程表示实际问题的相等关系的过程，体会数学化的思想方法。

通过画示意图、列表格等方法，分析实际问题的数量关系，会用方程表示简单实际问题的相等关系。

情感、态度与价值观：结合具体的问题情境，激发学生学习数学的兴趣。

结合数学史的知识，激发学生的民族自豪感。

(2)教学重点：结合问题情境抽象一元一次方程概念。

教学难点：实际问题的数学化过程。

(3)教学过程
问题与情境
师生行为
·设计意图
活动l：问题解决，体会方程
播放2014年巴西世界杯宣传曲。

出示问题：
问题一德国队在2014年世晃杯小组赛
中，胜了2场，平了l场，负0场，巴西队
的积分是多少(胜一场积3分，平一场
积1分，负一场积。

分)
问题二瑞典队在2014年世界杯欧洲区
预选赛中．共参加了l0场比赛，只负了
2场，共得分20分。

瑞典队胜了几场
通过问题二用方程方法的成功解答．从
而认识到“从算术到方程是数学的进步”
创设轻松愉悦的课堂氛围。

对于问题一，学生用算术方法很
容易解决，接着出示问题二，学
生用算术方法解决困难．接着教
师引导学生用方程方法解答。

问题二用算术方法难以解决。

用方程方法得以解决，从而认识
到“从算术到方程是数学的一大进步”。

将教材中的行程问题更换为2014
年巴西世界杯比赛问题。

是基于以
下三点考虑：
一是世界杯比赛问题．拉近了师生
间的距离．能够激发学生的学习
兴趣。

二是体会方程的进步性有待于后
续解决更复杂的实际问题中体会。

三是发挥了问题情境的教学价值。

问题与情境一
师生行为
设计意图
活动2：结合实例，抽象概念
1．对于问题二列出的方程．调动学生的已有知识基础尝试解方程．进而梳理方程、方程的解、解方程等概念。

2．运用方程方法解决下列问题：
问题三七年二班．男生占全班人数的65％，比女生多l2人。

问七年二班共有多少名同学
问题四测量这面墙的宽度为llOcm．每张纸宽度为26era，横向可以放4张纸．要求相邻两张纸的间隔是相等的。

问相邻两张纸的间隔是多少cm
3．比较解决前三个问题列出方程，引导学生发现一元一次方程的概念。

教师逐步引导学生解方程．进而
梳理方程的有关概念。

出示问题三和问题四．辅之以板
书、示意图理解分析题意．引导
学生列出方程。

通过启发学生思考列出的方程
的共同点；举反例等活动，认识
到这是一类新的方程，从而引出
一元一次方程的概念。

由于学生在小学已经学习过方程
的有关知识，调动学生的已有知识
基础尝试解方程，进而梳理方程等
概念，这样处理顺畅自然。

在概念教学中如何激发学生的学
习兴趣一方面挖掘概念在生活中
的源头活水．选取贴近学生生活的
实际问题。

另一方面通过教师启
发、师生问答明确概念的内涵和外。