第2章计算机控制系统理论基础

令
s = jω
，得零阶保持器的频率特性
− jω T 2
1 − e − jω T e G h ( jω ) = = jω
(e
jω T 2
−e
−
j ωT 2
)
jω
sin(ωT / 2) − =T ⋅ ⋅e ωT / 2
jωT 2
因为
T =
2π
ω
，那么上式可表示为
−j
s
2π sin(πω / ω s ) G h ( jω ) = ⋅ ⋅e ωs πω / ω s
注意（z的物理意义）：在满足初始条件为零 的前提下，z1代表超前一个采样周期。 4、复位移定理
Z e
± at
f (t ) = F (e
∓ aT
z)
5、复微分定理
d Z [tf (t ) ] = −Tz F ( z ) dz
6、初值定理
f (0) = lim F ( z )
z →∞
注意：初值定理给定了初值的求法； 7、终值定理
1 = lim(1 − z ) = 1.25 −1 −1 z →1 (1 − z )(1 − 0.2 z )
8、卷积定理
设f (k ) = ∑ h(k − j )r ( j )
j =0
k
k = 0,1,2 ⋯
f ( k ), h( k ), r ( k ) = 0 k = −1,−2, ⋯
则：F ( z ) = H ( z ) R( z )
相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产 相角特性 生相角迟后，且随的增大而加大，在 ω=ωs 时， 相角迟后可达－180o，从而使闭环系统的稳定性 变差。 时间迟后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) 时间迟后 其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间 上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间 为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。
F ( z ) = ∑ f ( kT ) z
k =0 ∞ −k
=∑ e − akT z − k = 1 + e − aT z −1 + e −2 aT z −2 + ⋯
k =0
∞
故：
Z e − at = F ( z ) =
1 1 − e − aT z −1
2、部分分式法 设连续函数f(t)的拉氏变换F(s)为s的有理函数， 将F(s)展开成部分分式形式
第二章
第一节 采样过程与采样定理
一、采样控制系统
计算机控制系统结构框图。
一
信号的传递过程：连续
离散
连续
采样系统：具有离散传输通道的系统。 问题：采样系统和连续系统的区别？
二、采样过程
要求：开关闭合间隔T ≫ 闭合时间τ
采样过程： 采样过程：利用采样开关将连续信号转换成离散信号 的过程。 因此： 因此 ： 采样过程可视为单位理想脉冲序列被输入的连续 信号进行幅值调制的过程
第三节
一、z变换的定义
z变换理论
对连续信号f(t)进行周期为T的采样f*(t)，可以得到采样 信号,它是在采样时刻t=0,T,2T,…定义的，即 f * (t) = f (0)δ (t) + f (T)δ (t −T) + f (2T)δ (t − 2T) +⋯
=
∑
∞
f ( kT )δ ( t − kT )
+ f (2T ) z
−2
+⋯
f * (t ) = f (0)δ (t ) + f (T )δ (t − T ) + f (2T )δ (t − 2T ) + ⋯
如何求解？ 找出z 前的系数！！！
−k
1、直接法（罗朗展开） 例5 求下列函数的z反变换： − 3 + z −1 F ( z) = 1 − 2 z −1 + z − 2
令f (t) = 1(t), 则由z变换的定义有：
F(z) = ∑ f (kT)z −k = ∑1(kT)z −k = 1 + z −1 + z −2 + ⋯+ ⋯
k =t ) ] = F ( z ) = 1 − z −1
例2 求指数函数的e-α z(α ≥0)变换。 解 令f(t)=e-αt，由z变换的定义有
解：因为：F ( z ) = − 2 1 (1 − z −1 ) 2 1 − z −1
1 k =1+z −1 + ⋯ +（z −1） + ⋯ 又 1 − z −1 1 1 =( )′=1+2 z +⋯ +kz k −1 + ⋯ (1 − z ) 2 1− z k 故：F ( z ) = −3 − 5 z −1 + ⋯ +(-2k − 3)（z −1） + ⋯
∞
称:F(z) 为采样信号f*(t)的z变换。
注意：1、z变换的每项确定对应的幅值和时间； 2、z变换由采样函数决定，不能反映非采样时刻的信息；
采样值相同的两个不同的连续函数
二、z变换的求法
1、直接法 直接法:直接根据z变换的定义式求一个函数的z变换。 例1 求单位阶跃1(t)函数的z变换。 解
采样周期T越短 ， 采样周期 越短， 采样信号就越接近原始被采样信 越短 反之， 越大，则差别就越大。 号。反之，T 越大，则差别就越大。
采样定理（香农(shannon)定理）： 为保证采样信号f*(t)的频谱是f(t)的频谱无重叠的重复 （沿频率轴方向），以便f*(t)采样信号能反映被采样信 号f(t)的变化规律，采样频率 ω s 至少应是f(t)频谱的最 高频率 F ( jω ) 的 ω max 两倍，即
1 k 又 =1+z −1 + ⋯ +（z −1） + ⋯ 1 − z −1
故：F ( z ) = ∑ (1 − (0.5k ) z − k
k =0 ∞
所以：f ( kT ) = 1 − 0.5k
∞ t T h=0
k = 0,1,⋯
f ∗ (t ) = ∑ (1 − 0.5 ) ⋅ δ (t − kT )
(1 − e − aT ) z −1 = (1 − z −1 )(1 − e− aT z −1 )
注意：1、z变换的基本方法是直接法； 2、部分分式法适用于s域，本质为直接法： 3、直接查表（！！！？？？）；
三、Z变换的基本定理 变换的基本定理
1、线性性； 对于任何常数 a1和a 2，若
Z [ f1 (t )] = F1 ( z )，Z [ f 2 (t )] = F2 ( z )
lim f (t ) = lim(1 − z −1 ) F ( z )
t →∞ z →1
注意：终值定理是研究离散系统稳态误差的重要工具。
例4 已知
F ( z) =
1 1 − 1 .2 z
−1
−1
+ 0 .2 z
，求终值f(∞)。 −2
解
f (∞) = lim(1 − z )
z →1
−1
1 1 − 1.2 z −1 + 0.2 z − 2
四、z反变换 由f(t)的z变换F(z)，求其相对应的脉冲序列f*(t)或数 值序列f(kT)，称为z反变换，表示为
Z −1 [ F ( z )] = f (kT )
观察：
数值序列时
Z −1 [ F ( z )] = f * (t ) 脉冲序列时
−1
F ( z ) = f (0) + f (T ) z
πω ωs
2π sin(πω / ω s ) G h ( jω ) = ⋅ ⋅e ωs πω / ω s
−j
πω ωs
频率特性图
三、零阶保持器的特性
低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大 低通特性 而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通 滤波器，但与理想滤波器特性相比，在 ω=ωs/2, 其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个， 63.7% 所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允 许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输 出中存在纹波。
3、超前定理
Z [ f (t + nT )] = z F ( z ) − ∑ z n − j f ( jT )
n j =0 n −1
特殊地，如果初始值为零，即
f (0) = f (1) = f ( 2) = ⋅ ⋅ ⋅ f ( n − 1) = 0
则
Z [ f (t + nT )] = z n F ( z )
目的：解决从离散到连续的问题，即插值问题； 思考：如何插值？
二、零阶保持器概念
零阶保持器：把前一采样时刻kT的采样值一直保持到下 一个采样时刻 (k+1)T ，从而使采样信号 f*(t) 变为阶梯 信号fk(t)。 零阶保持器的输入输出特性:
f * (t )
f h (t )
三、零阶保持器的单位脉冲响应
零阶保持器的单位脉冲响应函数g h(t)
gh (t)
1
gh (t)
1
T 0 t 0 T －1 t
脉冲响应函数gh(t)的分解：
g (t ) = 1(t ) − 1(t − T ) h
式中，T为采样周期
g (t ) = 1(t ) − 1(t − T ) h
取拉氏变换，得
1 − e −TS G ( s ) = L[1(t ) − 1(t − 1)] = h s
2、留数法 根据洛朗展开系数和留数的关系可知：
F ( z ) ⋅ z k −1在各极点的留数 f (kT ) = ∑
例7
(1 − e − aT ) z * 已知 F ( z ) = ，试用留数法求 f (t ) ( z − 1)( z − eaT )
。
解：
(1 − e− aT ) ⋅ z k F ( z ) ⋅ z k −1 = ( z − 1)( z − e− aT )
ω s ≥ 2ω max
采样定理物理含义： 如果选择的频率（采用周期）对连 续信号所包含的最高频率(最小周期)来说，能做到在一 个周期内采用两次以上，则经采样获取的脉冲序列中将 包含连续信息的全部信息。
第二节 零阶保持器
一、信号复现
保持器：将采样信号复现为连续信号的装置。
a) a) 理想的滤波器
b) b) 滤波器输出信号频谱
k =0
对上式进行拉氏变换，则可得到
* ( s) = L f * (t ) = ∞ f (kT )e − KTs F k∑0 =
令
z = eTs , F ( z ) = F * ( z )
F ( z ) = Z f (t ) = ∑ f (kT ) z − k
* k =0
[
]
采样过程的数学描述： 采样过程的数学描述：
f * (t ) = f (t ) ⋅ δ T (t )
称为单位理想脉冲序列。 其中 δ T (t ) = ∑ δ (t − KT ) 称为单位理想脉冲序列。
k =0
∞
由于离散信号仅在采样时刻有效，而t = kT 处的值f (t ) 即为f (kT ), 故上式为：
所以：f ( kT ) = −2k + 3
∞ *
k = 0,1,⋯
t f (t ) = ∑ − 2 + 3 δ (t − kT ) T k =0
例6 求下列的z反变换：
0 . 5 z −1 F ( z) = 1 − 1.5 z −1 + 0.5 z − 2
1 1 解：因为：F ( z ) = − −1 1− z 1 − 0.5 z −1
则：Z [ a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )] = a1 F1 ( z ) + a2 F2 ( z )
2、延迟定理
如果Z [ f (t )] = F ( z（后面的性质中都如此假设），则 )
则 ： Z [ f ( t − nT ) ] = z − n F ( z )
注意：离散信号在时域内延迟T，则其z变换应乘以 z-1 ，所以z-1可看作是滞后一个采样周期的算子。
Ai F ( s) = ∑ i =1 s + s i
n
式中，si为的非重极点，Ai为常系数。 Ai − st t L( At e ) = 又： s + si Ai Z [ At e − st t ] = − s T −1 −e i z 1 n 所以 F ( z ) = Z f (t ) = Z F (s) = ∑ − 思路：s域 t域 z域
f * (t) = f (t) ⋅ ∑δ (t − kT) = ∑ f (t)δ (t − kT) = ∑ f (kT)δ (t − kT)
∞ ∞ ∞ k=0 k=0 k=0
= f (0)δ (t) + f (T)δ (t −T) + f (2T)δ (t − 2T) +⋯
采样的幅值调制过程
三、采样定理
Ai − s T −1 1 e iz i =1
a 例3 已知 F ( s ) = ，求F(z)。 s( s + a)
解
a 1 1 因为：F ( s ) = = − s(s + a) s s + a
1 1 1 1 故：F ( z ) = Z − Z = 1 − z −1 − 1 − e − aT z −1 s s + a