集合与函数章末小结

集合与函数章末小结
第一课时
【高效学习指导案】 分层学习目标
A 级：对本章基础主干知识有明晰的认识。

本章主干知识有：集合、子集、并集、交集、补集，函数的概念及表示法，函数的定义域和值域，函数的单调性、奇偶性和最值。

B 级：熟练掌握集合与函数的概念，运用函数的性质分析问题、解决问题。

C 级：会提炼和灵活运用数学思想解决数学问题。

本章体现的重要数学思想有数形结合的思想，函数与方程的思想、分类讨论的思想，转化与化归的思想，换元的思想等等。

自我确定目标： （级别）理由 学习方式 重点学习内容
1.集合的概念与基本运算，补集思想。

2.函数定义域、解析式、值域与最值。

3.函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）及应用。

难点问题预设
新定义集合与抽象函数问题。

难在何处？
【典型例题引导】
一、集合的概念与表示，集合间的关系与运算. 1.理解用描述法表示的集合中元素的属性。

熟练地用数轴与Venn 图来表达集合之间的关系与运算。

[例1]（1）集合A=｛y|y=x ｝，B=｛y|y=x 2｝，则A ∩B= . （2）集合A=｛（x ，y ）|y=x ｝，B=｛（x ，y ）|y=x 2｝，则A ∩B= .
（3）集合A=｛x|x ＜-1或x ＞2｝，B=｛x|4x+p ＜0｝， 若B A ，则实数p 的取值范围是 .
（4）设全集{}22,|4,|
11
I R M x x N x x ⎧⎫==>=≥⎨⎬-⎩
⎭
，如图。

则图中阴影部分所表示的集合为 ( ) A ．{}|2x x < B ．{}|21x x -<< C ．{}|22x x -≤≤ D ．{}|12x x <≤
M
N
I
2.含字母的集合的相等、包含、运算关系问题常常要进行分类讨论.讨论时要特别注意集合元素的互异性和集合为空集的情形. 新定义集合，关键是理解“定义”的含义，弄清集合中的元素是什么.
[例2] （1）集合A=｛a,
a
b
，1｝，B=｛a 2,a+b,0｝，若A=B ，则a 2012+b 2012= .
（2）A 、B 都是非空集合，定义A*B=｛x|x=a ·b+a+b,a ∈A,b ∈B 且b ∈A ∩B ｝,若A=｛1，2｝，B=｛0，2，3｝，则A*B 中元素的和为
（3）若集合{}
{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.
≠
（4）已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.
二、函数的定义域、值域和函数的解析式。

1.解决函数问题必须首先弄清函数的定义域。

求复合函数的定义域，关键是深刻理解“函数的定义域是使函数有意义的自变量x 的允许取值范围”。

[例3] （1）函数f(x)＝1
1－
1x
的定义域_______
（2）函数f(x)=
x x 42+的单调增区间
为 .
（3）已知f(x)定义域为[0，1]，则f(2x-1)的定义域为 .
（4）已知f(x+2)的定义域为[0，1]，则f （x ）的定义域为 .
（5）已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，
，则y f x =-()
21的定义域是（ ） A ．[]05
2
， B. []-14， C. []-55， D. []-37，
2.求函数解析式的常用方法有：换元法、拼凑法、待定系数法、函数方程法等。

[例4] (1)已知f(x ＋1)＝2
x ＋4x ＋1，求f(x)；
（2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x ＋7，求
f(x)；
(3)已知f(x)＋2f(x 1
)＝2x ＋1，求f(x)．
3.函数的值域与最值的求法：直接法、观察法、换元法、单调性法、数形结合法、不等式法、配方法、反求法、判别式法等。

[例5] 求下列函数的值域： （1）42-+
=x x y （2）x x y 212-+=
（3）2
1x x y -+= （4）1
2
22
2+++=x x x y
[例6]已知二次函数
x
x f f bx ax x f ==+=)(,0)2()(2且方程满足有等根.
（1）求f (x )的解析式；
（2）求f (x )的值域；
（3）是否存在实数m 、n(m<n)，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n].若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.
自我小结
质疑问难：
1．设A=｛x|x-a=0｝,B=｛x|ax-1=0｝，且A ∩B=B ，则实数a 的值为（ ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.1，-1或0
2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ） ⑴3)
5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；
⑵111-+=
x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；
⑶x x f =)(，2)(x x g =；
⑷()f x
()F x =
⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸
3. 设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －1
3
≤x
≤n}，且M 、N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果
把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（ ） A ．
1
3
B ．
23
C ．
112
D ．
512
4．若f (x ＋1) 的定义域为[－2，3]，则f (2x －1)的定义域为（ ）
A ．[0，5
2
]
B ．[－1，4]
C ．[－5，5]
D ．[－3，7]
5．设f (x )＝x 2
＋ax ＋b ，A ＝{x |f (x )＝x }＝{a }，由元素（a ，b ）构成的集合为M ，则M= ． 6．若集合{}
21|21|3,0,
3x A x x B x
x ⎧+⎫
=-<=<⎨⎬-⎩⎭
则A ∩B 是___________
7. 定义集合A *B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,5}，则A *B 的子集个数为 8．函数2
()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满足条件的实数a 组成的集合是 。

9．若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6
＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．
（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求a 的值；
（2）若 A ∩B ，A ∩C ＝，求a 的值．
10.已知定义在区间上的函数
为奇
函数且
（1）求实数m ，n 的值；
（2）求证：函数上是增函数。

（3）若
恒成
立，求t 的最小值。

11．探究题
对集合{
}2004,3,2,1⋅⋅⋅=A 及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始，交替的减或加后继的数所得的结果，例如，集合
{}10,7,4,2,1的“交替和”是10-7+4-2+1=6，集合
{}10,7的“交替和”是10-7=3，集合{}5的“交替
和”是5 试求：A 的所有子集的“交替和”的总和
≠
1．自查小结：（10分）。

2．（6分）若集合{},,M a b c =中的元素是
ABC ∆的三边长，则△ABC 一定不是
（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
3．（6分）已知函数y ＝f(x)，x ∈[a ，b]，那么集合{(x ，y) |y ＝f(x)，x ∈[a ，b]}∩{(x ，y)|x ＝0x }中所含元素
的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．0或1个 D ．0或1或无数个
4．（6分）下列各组函数中，表示同一函数
的是
( ) A .
B.
C .
D .
5．（6分）设定义域为R 的函数满足下列条件：①对任意
；②对任意
，当
时，有
则下列不等式不一定成立的
是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
6．（6分）设集合{1,2}M =，则满足条件{1,2,3,4}M N =的集合N 的个数是________
7．（6分）已知f (x ＋
1x )＝x 2＋21
x
，则f (x )的表达式为________．
8.（6分）若常数，则函数
的定义域
为
9．（6分）已知函数f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )，且f (2)=3，则
f (-1)=
10．（12分）求函数y ＝2x ―3―134x -的
值域．
11．（14分）已知集合A ＝{x |x 2
－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围。

12.（16分）已知
100
9921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 求f (x )的最小值。

挑战题（20分不计入总分）
已知函数
定义域为
，若对于任意的
，
，都有
，且>0时，有
>0. ⑴证明: 为奇函数; ⑵证明: 在
上为单调递增函
数; ⑶设=1,若
<
,对所
有
恒成立,求实数
的取值范围.。