28 第29讲原函数与不定积分的概念与性质

例29.1 设 ( )是函数
的一个原函数，求d ( = , 从而 ∙2 d = 2
).
【解】根据原函数的定义知 d = ′(
)∙2 d =
d .
例29.2 已知∫
d =
−1
+ , 求 ( ). −1 +2 +1 是 ( )的一个原函数，故 .
【解】由不定积分的定义知 ( ) = = = −
原函数的存在性
如果函数 ( )在区间 上连续，则 ( )在区间 上存在原函数.
2、不定积分的概念与性质
不定积分的定义
函数 ( )在区间 上的全体原函数称为 ( )在区间 上的不定积分， 记作 ( )d . 若 ( )是 ( )在区间 上的一个原函数，则 ( )d = 其中 为任意常数. + ,
例29.5 已知 + 是 ( )的一个原函数，求∫ 【解】由题设知 ( )= 于是 ( )d = 1− d = − ( )d = d
( )d .
+ + ， 等式两边对 求导得 = + 1 + =1− 1 ,
1 d = 2
− ln| | + .
例29.6 若 【解】由题设
是 ( )的一个原函数，求∫ 是 ( ) 的一个原函数， 则 ( )=( ) =− , 1
或由微分与积分互逆的运算性质可知 ( )= =2 = d −( (2 − = (( − 1) + 1) . − 1) +0 + )
例29.3 设
ln
=
+ 1, 求 ( ). = + 1，从而 + + ,
【解】令 = ln , 则 ′ = 故 = + + .
+1 d =
例29.4 下列函数中，不是 1 A B 2 【解】由于sh = C , ch = =
的原函数的是（ sh (D) ，故 2 − = , ch
）.
ch − sh + + 1 1 注意到 = ⋅2 = , ( ) =2 , 2 2 1 1 1 − = , ( ch ) = ( sh ) = 2 2 2 显然 不是 的原函数，故正确答案为 ( ).
1 + 2
=
,
1 − sin cos d = 2 2 1 d − sin d = 2 1 + cos + . 2
例29.8 求不定积分 【解】 d =3
d .
)
d =3
1−
)d
= 3 − 3arctan  ln 从而 (ln )d = − 1 =−
=− , 1 d =− 2
d =−
+ .
例29.7 求不定积分
1 − sin cos
d .
【解】 由不定积分的线性运算法则知
1 − sin cos d = 2 2 d − sin cos d , 2 2
注意到 sin cos = sin ，于是
2、不定积分的概念与性质
不定积分的基本性质 (1) 线性可加性
[ ( )+ ( )]d = ( )d + ( )d （ , 为常数）.
(2) 微分运算与积分运算的互逆性
∫ ∫ d = ( )，或 d[∫ ( )d ] = ( )d ；
( )d = ( ) + ，或 ∫d ( ) = ( ) + .
高等数学典型例题与解法（一）
第29讲 原函数与不定积分的概念与性质
理学院 周 敏 教授
主要内容
内容提要 典型例题解析
1、原函数的概念
原函数的定义
若在区间 上， ( ) = ( )，则称 ( )是 ( )在区间 上的一个原函数.
原函数的性质
如果一个函数存在原函数，则它有无穷多个原函数，且任意两个原 函数之间只相差一个常数.