山西省三区八校高三数学暑假末结业考试试题

山西省古县、离石区、高县三区（县）八校高三暑假末结业考试数学
试卷
考生请注意：
1.本卷文理合卷，作答前看清题旨。

作答前请将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和合题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题上意上对应的答题区域内。

写在试题卷发、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和合题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷选择题
一、选择题：本题共12小题，每题5分；共60分。

在每题所给的四个选项中，只有一个为最佳项。

1、（文）已知全集R，集合M={x|x＞1}，N={x||x|≤2}，则（∁R M）∩N等于（ C ）A．（﹣2，1] B．[﹣2，1） C．[﹣2，1] D．[1，2]
1、（理）用表示三个数中的最小值，设
（）,则的最大值为（ B ）
A.7
B.6
C.5
D. 4
2、（文）命题，；命题，；则下列命题中真命题是（ A ）
A． B． C．
D．
2、（理）“”是“函数的减区间是”的（ B ）
A.充分非必要条件．
B.必要非充分条件．
C.充要条件．
D.既非充分又非必要条件．
3、（文）设a，b，c∈R，且a＞b，则（ C ）
A．＜ B．a2＞b2 C．a﹣c＞b﹣c D．ac ＞bc
3、（理）若a、b为实数, 且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ C ）
A ．18
B ． 2
C ．
6 D ．2
4、如右图所示,程序执行后的输出结果为( A )
A. B.1 C.2
D.3
5、若正方体的棱长为
，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为 （ D ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、设复数
满足
（为虚数单位），则复数
在复平面内对应的点位于
（ A ）
A. 第一象限
B. 第二象限 C ．第三象限 D.第四象限
7、已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2
﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ B ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
8、一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（ C ）
A ．抽签抽样
B ．分层抽样
C ．系统抽样
D ．随
机抽样
9、若动直线与函数和的图象分别交于、两点，则
的最大值为（ D ）
A. B. 2 C .D
10、将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则
的表达式可以是（ A ）
A. B.
C. D.
11、已知，记数列的前项之积为，则的值为( B )
A．－B．－
1 C. D．2
12、已知椭圆，过右焦点作不垂直于轴的弦交椭圆于两点，的垂直平分线交轴于，则等于（ A ）
A．B． C．
D．
第II卷非选择题
二、填空题：4小题，每题5分，共20分。

13、（文）已知非零向量、满足，那么向量与向量的夹角为____90°___.
13、（理）已知点是重心,,若
,则的最小值是________.
14、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象关于点
_______对称。

15、若定义域为R的奇函数，则下列结论：
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③是周期函数，且2个它的一个周期；
④在区间（—1，1）上是单调函数，其中正确结论的序号是②③。

（填上你认为所有正确结论的序号）
16、已知直线，则____24 。

三、综合题：70分。

17、在中，角的对边分别为，且满足。

（1）求角的大小；
（2）设，试求的最小值。

17、解：（1），
由正弦定理得：……………1分
,
化为
,……………3分
,得，……………5分
(2) ……………6分
…………9分
.从而……………10分
取得最小值，
所以，的最小值为。

---------12分
18、（文）（本大题满分12分）
甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛成绩记录如下：
甲：78 76 74 90 82
乙：90 70 75 85 80
（1）用茎叶图表示这两组数据；
（2）从甲乙两人成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由。

18、解：（1）略………………………………………3分
（2）从甲乙两人得成绩各随机抽取一个，所有情况如下：
（78，90）（78，70）（78，75）（78，85）（78，80）（76，90）（76，70）（76，75）（76，85）（76，80）
（74，90）（74，70）（74，75）（74，85）（74，80）（90，90）（90，70）（90，75）（90，85）（90，80）
（82，90）（82，70）（82，75）（82，85）（82，80）
共有25种
而甲大于乙的情况有12种，.……………………………………8分
（3），，而，
，，选甲参加更合适。

…………………………………………………12分
18、（理）（本大题满分12分）
008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。

现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
3
从中随机地选取5只。

（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；依此类推。

设表示所得的分数，求的分布列和期望值。

18、解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
————————————4分
（2）的取值为100，80，60，40.—————————6分
.
X的分布列为
———————12分
19、（本大题满分12分）
在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平
面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
19、方法一：（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE
∵△VAD是正三角形
∴AE⊥VD，AE=AD
∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE
又由三垂线定理知BE⊥VD
因此，是所求二面角的平面角
于是，，
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。

（Ⅰ）证明：不妨设，则，
由，得⊥
又，因而与平面内两条相交直线都垂直。

∴⊥平面
（Ⅱ）解：设为中点，则
由，得，又
因此，是所求二面角的平面角。

∵∴解得所求二面角的大小为
20、（本大题满分12分）
已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点在椭圆的准线
上。

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

解：（1）由，得
又由点M在准线上，得
……………1分
故，从而
……………2分所以椭圆方程为
……………3分
（2）以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径
……………5分
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离
……………7分
所以，解得
所求圆的方程为
……………9分
（3）方法一：由平几知：
直线OM：，直线FN：
……………10分由得
所以线段ON的长为定值。

(12)
分
方法二、设，则
又
所以，为定值。

21、（本大题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性。

21、（Ⅰ）当时，，，此时点，，
切线的斜率，切线方程为：，即
（Ⅱ）由题意知：的定义域为。

令
1）当，即时，
即为的单调递增函数；
2）当，即时，此时有两个根：
①若时，
②若时，当
当
综上可知：1）当时，为的单调递增函数；
2）当时，的减区间是，
增区间是
选考题
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。

22．选修 4-1：几何证明选讲
如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且
，求证：
（1）；
（2）．
23．选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为
（为参数），曲线的极坐标方程为,若
曲线与相交于A、B两点．
（1）求的值；
（2）求点到A、B两点的距离之积．
24．选修 4-5：不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为
，点，，
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求t的最小值．
22.（1）证明：连接AD，在中
又∽
则
（2）在中，
又
四点共圆；
又是⊙的直径，则，
23.（1）曲线的普通方程为，
,则的普通方程为
，
则的参数方程为：为参数），代入得
，
.
（2）.
24.（1）由定义得，即，两边平方得，解得；
（2）当时，不等式恒成立，也就是恒成立，法一：函数令，所以，
要使原不等式恒成立只要即可，故.
法二：三角不等式性质因为，所以，
.。