【优化方案】2012高中数学 第3章3.2第一课时知能优化训练 新人教B版必修5

1．不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( ) A ．a ＝2 B ．a ＝1
C ．a ＝12
D ．a ＝0
解析：选B.a ＋1≥2a 可变形为a ·1≤a ＋1
2
等号成立的条件为a ＝1.
2．下列命题中正确的是( )
A ．函数y ＝x ＋1
x
的最小值为2
B ．函数y ＝
x 2
＋3
x 2＋2
的最小值为2 C ．函数y ＝2－3x －4
x (x >0)的最小值为2－4 3 D ．函数y ＝2－3x －4
x
(x >0)的最大值为2－4 3
解析：选D.对于A ，当x <0时，不成立；对于B ，若设x 2＋3
x 2＋2＝2，则无解；对于C 、D ，
y ＝2－3x －4x ≤2－43(x >0)，当且仅当3x ＝4
x
时，等号成立，所以答案选D.
3．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 2
2
”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.当a ＞b ＞0时，显然能推出a 2
＋b 2
＞2ab .即ab ＜a 2＋b 2
2
，但由ab ＜
a 2＋
b 2
2
，
不一定能推出a ＞b ＞0，因为a ，b 可异号．
4．下面四个命题：①若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2；②若x ∈(0，π)，则sin x ＋1
sin x
≥2；
③若a ，b ∈R ＋
，则lg a ＋lg b ≥2·lg a ·lg b ；④若x ∈R ，则|x ＋4x
|≥4，其中正确命题的
序号是________．
解析：①只有在ab >0时成立；②∵x ∈(0，π)，∴sin x ∈(0,1]，∴②成立；③只有在
lg a >0，lg b >0，即a >1，b >1时才成立；④|x ＋4x |＝|x |＋|4x |≥2|x |·4
|x |
＝4，成立．①
③均忽视了“一正”这个条件而误认为是正确的．
答案：②④
5．已知x >3，求证：4
x －3
＋x ≥7.
证明：∵x >3，∴x －3>0，1
x －3>0.
∴
4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3≥2 4x －3
x －＋3＝7，当且仅当
4
x －3
＝x －3，即x ＝5时，等号成立．
1．若b >a >0，则下列不等式中一定成立的是( )
A ．a >a ＋b 2>ab >b
B ．b >ab >a ＋b 2
>a
C ．b >
a ＋b
2
>ab >a D ．b >a >
a ＋b
2
>ab
解析：选C.因为b >a >0，所以b >
a ＋b
2
>ab >a . 2．已知a ，b ∈R ，下列不等式不成立的是( )
A ．a ＋b ≥2ab
B ．a 2＋b 2
≥2ab
C ．ab ≤(a ＋b 2
)2
D ．|a |＋|b |≥2|ab |
解析：选A.当a ＜0，b ＜0时，A 显然不成立．
3．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( )
A.b a ＋a b ≥2
B.b a ＋a b ≥－2
C.b a ＋a
b
≤－2 D ．|b a ＋a
b |≥2
解析：选D.当a ，b 异号时，b a ＋a
b
≤－2；
当a ，b 同号时，b a ＋a
b
≥2.
故|b a ＋a
b
|≥2总能成立． 4．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )
A ．1≤ab ≤a 2＋b 22
B ．ab ＜1＜a 2＋b 2
2
C ．ab ＜
a 2＋b
2
2
＜1 D.
a 2＋b
2
2
＜ab ＜1
解析：选B.从所给的选项来看，就是要比较ab 、1与
a 2＋
b 2
2
的大小关系，最基本的方法
就是采用差值比较法，也可利用不等式a 2＋b 2
≥2ab 及其变形来考虑，并且注意等号取得的条件是否具备．
由a ＋b ＝2，且a ≠b ，得a 2＋b 22＞(a ＋b 2
)2
＝1＞ab .
5．设a 、b 、c ∈(0，＋∞)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
的值( )
A ．都不大于2
B ．都不小于2
C ．至少有一个不大于2
D ．至少有一个不小于2
解析：选D.∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)，
∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a
＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1
c
)≥2＋2＋2＝6，
∴在a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
三者中，至少有一个不小于2.
6．若b ＜a ＜0，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2＜b 2
B ．ab ＜b 2
C.b a ＋a b
＞2
D ．|a |－|b |＝|a －b |
解析：选D.a 2
－b 2
＝(a ＋b )(a －b )＜0，所以A 正确；ab －b 2
＝b (a －b )＜0，所以B 正确；
由于b a ＞0，a b
＞0，且b a ≠a b ，则 b a ＋a b ＞2
b a ×a
b
＝2，所以C 正确；当b ＝－2，a ＝－1时，
|a |－|b |＝1－2＝－1≠|a －b |＝1，所以D 不正确．
7．已知a ，b ∈R ＋
，则a ＋b 2
________a ＋b －1(填“≤”或“≥”)．
解析：a ＋b
2
－(a ＋b －1) ＝
a ＋
b －2a －2b ＋22
＝
a －
2
＋b －
2
2
≥0.
答案：≥
8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2
＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________．
解析：当x ∈(1,2)时，不等式x 2
＋mx ＋4<0恒成立，
则m <－x －4
x
.
设f (x )＝－x －4
x
，则f (x )在(1,2)上单调递增．
∴f (x )>f (1)＝－5， ∴m ≤－5.
答案：(－∞，－5] 9．已知均值不等式：
a ＋b
2
≥ab (a ，b 都是正实数，当且仅当a ＝b 时等号成立)可以推
广到n 个正实数的情况，即：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 有
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
n
≥n
a 1a 2a 3…a n (当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n 时，取等号)．同理，当a ，
b 都是正实数时，(a
＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21a ·1b
＝4，可以推导出结论：对于n 个正实数a 1，a 2，a 3，…，a n
有(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥________；(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1
a 4
)≥________；(a 1
＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a n
)≥________；如果对于n 个实数同号a 1，a 2，a 3，…，
a n (同正或者同负)，那么，根据上述结论，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1
a n
)的取值
范围是________．
解析：根据所给结论及类比的方法可得：(a 1＋a 2＋a 3)·(1a 1＋1a 2
＋
1
a 3)≥33
a 1a 2a 3·3
3
1a 1a 2a 3
＝9，
同理，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4)≥16；(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )(1a 1＋1a 2＋1
a 3
＋…＋
1
a n
)≥n 2
，
当实数a 1，a 2，a 3，…，a n 都是负数时，(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n
)≥n 2
.
答案：9 16 n 2 [n 2
，＋∞) 10．已知a ＞0，b ＞0，设A ＝
a 2＋
b 2
2
，B ＝
a ＋b
2，C ＝ab ，D ＝2
1a ＋
1
b
，试判断A ，B ，
C ，
D 的大小．
解：∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)．
又
a 2＋
b 22
－
a ＋b
2
＝
a 2＋
b 2
2－a ＋b
2
4
＝
a 2＋a 2＋
b 2＋b 2
4
－
a 2＋
b 2＋2ab
4
.
∵a 2
＋b 2
≥2ab ＞0，∴
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
(当且仅当a ＝b 时，取等号)．
又∵21a ＋
1b
＝2ab a ＋b ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab .
∴0＜
1a ＋b ≤12ab ，∴2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ， ∴ab ≥2ab
a ＋b
(当且仅当a ＝b 时，取等号)， ∴
21a ＋
1b
≤ab ≤a ＋b 2
≤ a 2＋b 2
2
(当且仅当a ＝b 时，取等号)，
即A ≥B ≥C ≥D .
11．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋
，试判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22
)
的大小并加以证明．
解：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 2
2)．
证明如下：
f (x 1)＋f (x 2)＝l
g x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg(x 1＋x 22
)．
∵x 1、x 2∈R ＋
， ∴x 1＋x 22
≥ x 1·x 2，
∴lg x 1·x 2≤lg(x 1＋x 2
2
)，
即12lg(x 1·x 2)≤lg(x 1＋x 22)． ∴12(lg x 1＋lg x 2)≤lg(x 1＋x 22)． 故12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22
)． 12．若a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证： (1a
－1)(1b －1)(1
c
－1)≥8.
证明：∵a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 均为正数，
∴(1a －1)(1b －1)(1
c －1)
＝(a ＋b ＋c a －1)(a ＋b ＋c b －1)(a ＋b ＋c c
－1)
＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab c
1 3时取“＝”)
＝8.(当a＝b＝c＝。