【好题】九年级数学上期末第一次模拟试卷(含答案)

【好题】九年级数学上期末第一次模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．已知2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，则y ax b =+和c y x
=的图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．y ＝﹣2（x +1）2+1
B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1
C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1
D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣1
3．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
4．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为（ ）
A ．100°
B ．130°
C ．50°
D ．65°
5．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，
2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >>
6．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝34°，则∠OAC等于()
A．68°B．58°C．72°D．56°
7．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．
8．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0 9．下列函数中是二次函数的为（）
A．y＝3x－1B．y＝3x2－1
C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝x3＋2x－3
10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（）A．36°B．54°C．72°D．108°
11．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）
A．
7
4
-B3或3C．2或3
-D．2或3
-
7
4
-
12．下列说法正确的是（）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．某种彩票的中奖率为
1
1000
，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3
D．“概率为1的事件”是必然事件
二、填空题
13．直线y=kx+6k交x轴于点A，交y轴于点B，以原点O为圆心，3为半径的⊙O与l相交，则k的取值范围为_____________．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．
15．一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c 是整数，则c=_____．（只需填一个）．
16．已知x=2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k 的值为_____．
17．如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切于点C ，若∠P=20°，则∠A=___________°．
18．如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B 出发，沿表面爬到母线AC 的中点D 处，则最短路线长为_____．
19．已知二次函数y ＝kx 2﹣6x ﹣9的图象与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围_____．
20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a≠0）的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．
三、解答题
21．如图，四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是 Rt ∆ABC 和 Rt ∆BED 的边长，已知2=
AE c ，这时我们把关于 x 的形如220++=ax cx b 二次方
程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220
++=
ax cx b，必有实数根；
(3)若x=-1是“勾系一元二次方程” 220
++=
ax cx b的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求∆ABC的面积．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O 相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接P A，PB，PC，且满足∠PCA ＝∠ABC
（1）求证：P A＝PC；
（2）求证：P A是⊙O的切线；
（3）若BC＝8，
3
2
AB
DF
=，求DE的长．
23．某商场今年“十一”期间举行购物摸奖活动，摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地，大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，再记下小球标号．商场规定：两次摸出的小球之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树形图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，3），C（﹣4，1）．以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'，其中点A，B，C旋转后的对应点分别为点A'，B'，C'．
（1）画出△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（2）求经过点B'，B，A三点的抛物线对应的函数解析式．
25．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC ＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与
△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定
y=ax+b 经过一、二、四象限，双曲线c y x
=
在二、四象限． 【详解】 根据二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，
可得a ＜0，b ＞0，c ＜0，
∴y=ax+b 过一、二、四象限， 双曲线c y x
=
在二、四象限， ∴C 是正确的．
故选C ．
【点睛】 此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
2．B
解析：B
【解析】
【详解】
∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），
∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），
∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，
故选B ．
【点睛】
二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，而点（﹣1，0）关于直线x =1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；
∵x =﹣2b a
=1，即b =﹣2a ，而x =﹣1时，y =0，即a ﹣b +c =0，∴a +2a +c =0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形的内切圆得出∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12
∠ACB ，根据三角形的内角和定理求出∠ABC +∠ACB 的度数，进一步求出∠OBC +∠OCB 的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
∵点O 是△ABC 的内切圆的圆心，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12
∠ACB ． ∵∠A =80°，∴∠ABC +∠ACB =180°﹣∠A =100°，∴∠OBC +∠OCB =
12（∠ABC +∠ACB ）=50°，∴∠BOC =180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=180°﹣50°=130°．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，能求出∠OBC +∠OCB 的度数是解答此题的关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】
解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】
∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA
1
2
（180°﹣68°）=56°．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：
A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；
B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；
C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；
D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.
故选D.
考点：轴对称图形和中心对称图形识别
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．
【详解】
∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数，
∴k≠0，
则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴
交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 9．B
解析：B
【解析】
A. y=3x−1是一次函数，故A错误；
B. y=3x2−1是二次函数，故B正确；
C. y=(x+1)2−x2不含二次项，故C错误；
D. y=x3+2x−3是三次函数，故D错误；
故选B.
10．C
解析：C
【解析】
正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是360
5
=72度，
故选C．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【详解】
二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，
此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，
解得m=
7
4
，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；
②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或﹣
故选C．
12．D
解析：D
【解析】
试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B. 某种彩票的中奖概率为
11000
，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B 错误； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为
12
.故C 错误； D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.
故选D. 二、填空题
13．且k≠0【解析】【分析】根据直线与圆相交确定k 的取值利用面积法求出相切时k 的取值再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围【详解】∵交x 轴于点A 交y 轴于点B 当故B 的坐标为（06k ）;当故A 的坐标为（
解析：33
-
k k ≠0． 【解析】
【分析】
根据直线与圆相交确定k 的取值，利用面积法求出相切时k 的取值，再利用相切与相交之间的关系得到k 的取值范围.
【详解】
∵6y kx k =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，
当0,6x y k ==，故B 的坐标为（0,6k ）;
当0,6y x ==-，故A 的坐标为（-6,0）;
当直线y=kx +6k 与⊙O 相交时, 设圆心到直线的距离为h,
根据面积关系可得:116|6|=
22k h ⨯⨯ 解得h = ;
∵直线与圆相交,即,3h r r =＜ ,
3 解得33-k 且直线中0k ≠,
则k 的取值范围为：33-
k ，且k ≠0．
故答案为：33
-
k ，且k ≠0． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键在于根据相交确定圆的半径与圆心到直线距离的大小关系. 14．68°【解析】【分析】根据∠AOE 的度数求出劣弧的度数得到劣弧的度数根据圆心角弧弦的关系定理解答即可【详解】∵∠AOE=78°∴劣弧的度数为78°∵A
B 是⊙O 的直径∴劣弧的度数为180°﹣78°=1
解析：68°
【解析】
【分析】
根据∠AOE 的度数求出劣弧¶AE
的度数，得到劣弧¶BE 的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE =78°，∴劣弧¶AE
的度数为78°． ∵AB 是⊙O 的直径，∴劣弧¶BE
的度数为180°﹣78°=102°． ∵点C 、D 是弧BE 的三等分点，∴∠COE 23
=
⨯102°=68°． 故答案为：68°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键． 15．123456中的任何一个数【解析】【分析】【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根∴△=解得∵c 是整数∴c=123456故答案为123456中的任何一个数【点睛】本题考查根的判别式；根与系数的
解析：1，2，3，4，5，6中的任何一个数．
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵一元二次方程250x x c -+=有两个不相等的实数根，
∴△=2(5)40c -->，解得254
c <， ∵125x x +=，120x x c =>，c 是整数，
∴c=1，2，3，4，5，6．
故答案为1，2，3，4，5，6中的任何一个数．
【点睛】
本题考查根的判别式；根与系数的关系；开放型．
16．﹣3【解析】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0再解关于k 的方程然后根据一元二次方程的定义确定k 的值即可【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x
解析：﹣3
【解析】【分析】把x=2代入kx 2+（k 2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k 2﹣4+2k+4=0，再解关于k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k 的值即可．
【详解】把x=2代入kx 2+（k 2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k 2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
17．35【解析】【分析】【详解】解：∵PC与⊙O相切
∴∠OCP=90°∴∠COP=90°-∠P=90°-
20°=70°∵OA=OC∴∠A=∠ACO∵∠A+∠ACO=∠COP∴∠A=35°故答案为35
解析：35
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵PC与⊙O相切，∴∠OCP=90°，
∴∠COP=90°-∠P=90°-20°=70°，
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ACO=∠COP，
∴∠A=35°，
故答案为35.
18．【解析】【分析】将圆锥侧面展开根据两点之间线段最短和勾股定理即可求得蚂蚁的最短路线长【详解】如图将圆锥侧面展开得到扇形ABB′则线段BF为所求的最短路线设∠BAB′＝n°∵∴n＝120即∠BAB′＝
解析：3
【解析】
【分析】
将圆锥侧面展开，根据“两点之间线段最短”和勾股定理，即可求得蚂蚁的最短路线长.【详解】
如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，
则线段BF为所求的最短路线．
设∠BAB′＝n°．
∵64180
n ππ⋅=， ∴n ＝120，即∠BAB ′＝120°．
∵E 为弧BB ′中点，
∴∠AFB ＝90°，∠BAF ＝60°，
Rt △AFB 中，∠ABF ＝30°，AB ＝6
∴AF ＝3，BF
＝
，
∴最短路线长为
．
故答案为：
【点睛】
本题考查“化曲面为平面”求最短路径问题，属中档题.
19．k ＞﹣1且k≠0【解析】【分析】根据函数与方程的关系求出根的判别式的符号根据△＞0建立关于的不等式通过解不等式即可求得的取值范围【详解】令y ＝0则kx2﹣6x ﹣9＝0∵二次函数y ＝kx2﹣6x ﹣9的
解析：k ＞﹣1且k ≠0．
【解析】
【分析】
根据函数与方程的关系，求出根的判别式的符号，根据△＞0建立关于k 的不等式，通过解不等式即可求得k 的取值范围．
【详解】
令y ＝0，则kx 2﹣6x ﹣9＝0．
∵二次函数y ＝kx 2﹣6x ﹣9的图象与x 轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx 2﹣6x ﹣9＝0有两个不相等的解，
()()206490k k ≠⎧⎪∴⎨=--⨯->⎪⎩
n ， 解得：k ＞﹣1且k ≠0．
故答案是：k ＞﹣1且k ≠0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根，若函数与x 轴有交点说明方程有根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．
．
20．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA 长为2m 根据正方形的性质则可得出BC 坐标代入二次函数y=ax2+c 中即可求出a 和c 从而求积【详解】设正方形的对角线OA 长为2m 则B （﹣mm ）C （mm ）A （02
解析：－2．
【解析】
【分析】
设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．
【详解】
设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；
把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，
①代入②得：am2+2m=m，
解得：a=-1
m
，
则ac=-1
m
⨯2m=-2．
考点：二次函数综合题．
三、解答题
21．（1）2
340
x++=(答案不唯一)（2）见解析（3）1.
【解析】
【分析】
（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据根的判别式即可求解；
（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.【详解】
（1）当a=3,b=4,c=5时，
勾系一元二次方程为2
340
x++=；
（2）依题意得△=）2-4ab=2c2-4ab,
∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得c
∵四边形 ACDE 的周长是，
即，故得到c=2，
∴a2+b2=4，
∵(a+b)2= a2+b2+2ab
∴ab=2,
故∆ABC 的面积为1
2
ab=1.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝8．
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理可得AD＝CD，得PD是AC的垂直平分线，可判断出P A＝PC；（2）由PC＝P A得出∠P AC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠P AC＝90°，即可得出结论；（2）根据AB和DF的比设AB＝3a，DF＝2a，先根据三角形中位线可得OD＝4，从而得结论．
【详解】
（1）证明∵OD⊥AC，
∴AD＝CD，
∴PD是AC的垂直平分线，
∴P A＝PC，
（2）证明：由（1）知：P A＝PC，
∴∠P AC＝∠PCA．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°．
又∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠PCA+∠CAB＝90°，
∴∠CAB+∠P AC＝90°，即AB⊥P A，
∴P A是⊙O的切线；
（3）解：∵AD＝CD，OA＝OB，
∴OD∥BC，OD＝1
2
BC＝
1
8
2
⨯＝4，
∵
3
2 AB
DF
=，
设AB＝3a，DF＝2a，∵AB＝EF，
∴DE＝3a﹣2a＝a，
∴OD＝4＝3
2
a
﹣a，
a＝8，
∴DE＝8．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度适中，需要熟练掌握线段中垂线的性质、圆的切线的求法以及三角形中位线的相关性质.
23．“树状图法”或“列表法”见解析，1 4
【解析】【分析】
列举出所有情况，让两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
解：解法一：
列树状图得：
共有16种结果，且每种结果的可能性相同，
因为6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，所以两次摸出的小球之和为“8”或“6”的有4种，
所以小彦中奖的概率为
41 164
=．
解法二：
列表得：
共有16种结果，且每种结果的可能性相同，
因为6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，所以两次摸出的小球之和为“8”或“6”的有4种，
所以小彦中奖的概率为
41 164
=．
【点睛】
此题考查的是用列表法或用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（1）见解析；（2）抛物线的解析式为y＝﹣1
2
x2+
1
2
x+3．
【解析】
【分析】
（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把B（0，3）代入求出a即可．【详解】
解：（1）如图△A'B'C'即为所求．A′（0，2），B′（3，0），C′（1，4）
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），
把B（0，3）代入得到a＝﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣1
2
x2+
1
2
x+3．
【点睛】
本题考查的知识点是求抛物线解析式以及图形的旋转变换，根据旋转的性质得出A′，B′，C′的坐标是解此题的关键．
25．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣1
3
，0）、（
1
3
，﹣2）、
（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【解析】
【分析】
(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；
(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y 轴于点F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D 点坐标；
(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P 为顶点的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论：
①当OC与CD是对应边时，有比例式OC OD
DC DP
=，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以
过点P作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式OC OD
DP DC
=，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点
G，利用比例式DG PG DP
DF EF DE
==求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右
边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不
同，就得到了符合条件的4个P 点坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （0，﹣3），
∴10{3b c c -+==-，解得2{3
b c =-=-， 故抛物线的函数解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；
（2）令x 2﹣2x ﹣3=0，
解得x 1=﹣1，x 2=3，
则点C 的坐标为（3，0），
∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，
∴点E 坐标为（1，﹣4），
设点D 的坐标为（0，m ），作EF ⊥y 轴于点F （如下图），
∵DC 2=OD 2+OC 2=m 2+32，DE 2=DF 2+EF 2=（m+4）2+12，
∵DC=DE ，
∴m 2+9=m 2+8m+16+1，解得m=﹣1，
∴点D 的坐标为（0，﹣1）；（3）
∵点C （3，0），D （0，﹣1），E （1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，
，
在△COD 和△DFE 中，
∵{90CO DF
COD DFE DO EF
=∠=∠=︒=，
∴△COD ≌△DFE （SAS ），
∴∠EDF=∠DCO ，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD ⊥DE ，①当OC 与CD 是对应边时，
∵△DOC ∽△PDC ， ∴OC OD DC DP
=
1DP ， 解得
DP=
3， 过点P 作PG ⊥y 轴于点G ， 则DG PG DP DF EF DE ==
，即31DG PG ==
解得DG=1，PG=1
3
，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣1
3
，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（1
3
，﹣2）；
②当OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，
∴OC OD
DP DC
=，即
3
DP
=
10
，
解得DP=310，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则DG PG DP
DF EF DE
==，即
310
3110
DG PG
==，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足
条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣1
3
，0）、（
1
3
，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣
10）．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.一次函数与二次函数综合题.。