常州市正衡中学必修五第二章《解三角形》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．2020年5月1日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ） A ．50米
B ．57米
C ．64米
D ．70米
2．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知(
)
62km CD =
+，
30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是
（ ）
A ．43km
B ．210km
C ．10km
D ．62km
3．若ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，c ＝5，△ABC 的面积S ＝
5
cos A ，则a ＝（ ） A ．1 B ． 5 C ． 13
D ． 17
4．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==，B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则
ABC 一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角
三角形
6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：
A ．10km
B ．20km
C ．103km
D ．53km
7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B C
b c
=，则ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形或直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知3a =，(2332)b ∈，，且
223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）
A ．[
1
2，34
] B ．(
1
2，34
) C ．[
1324，3
4
] D ．(
1324，34
) 9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a c
b
+的值为（ ） A ．
24
B ．
22
C ．1
D ．2 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测
得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
11．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
12．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，
13a c
c a
+=+B = （ ）
A ．
56
π B ．
6
π C ．
3
π
D ．
2
π 二、填空题
13．若A ，B ，C 为ABC 的内角，满足sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，则cos C 的最小值是________.
14．在ABC 中，2AB =，4AC =，则C ∠的取值范围为______.
15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西45︒方向上，另一灯塔在南偏西
60︒方向上，则该船的速度是____海里/小时.
16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，
sin C B =，则cos A =________.
17．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足
cos 2b a
C a
-=
，则tan A 的取值范围是__． 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若4a =，2c =，60B =︒，则b = ，C = ．
19．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且
cos cos sin b C c B a A +=，则A =________.
20．一渔船在A 处望见正北方向有一灯塔B ，在北偏东45方向的C 处有一小岛，渔船向正东方向行驶2海里后到达D 处，这时灯塔B 和小岛C 分别在北偏西30和北偏东15的方向，则灯塔B 和小岛C 之间的距离为___________海里.
三、解答题
21．已知在△ABC （A +B ）＝1+2sin 22
C ． （1）求角C 的大小；
（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．
22．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，
2
21
sin cos 22
A B C +-=． （1）求角C ； （2）若2c =，4
A π
=
，求ABC 的面积．
23．ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，4c =，面积sin S bc B =． （1）若60C ∠=，求S ；
（2）若S =
ABC 的周长．
24．在ABC 中，cos sin )sin cos B b C b B C -=．
（1）求B ；
（2）若2c a =，ABC 的面积为
23
3
，求ABC 的周长． 25．如图，在ABC 中，2AB =，3
B π
∠=，点D 在线段BC 上．
（1）若4
BAD π
∠=
，求AD 的长；
（2）若3BD DC =，且23ABC
S
=sin sin BAD
CAD
∠∠的值． 26．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量
(sin ,),(1,sin )m A a n B ==
（1）当2sin m n A =时，求b 的值；
（2）当//m n 时，且1
cos 2
C a =，求tan tan A B 的值．
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
画出图形，在ABC 中，利用余弦定理，即可求解AC 的长，得到答案. 【详解】
由题意，设李华家为A ，有害垃圾点为B ，可回收垃圾点为C ， 则李华的行走路线，如图所示，
在ABC 中，因为80,30,60AB BC B ===， 由余弦定理可得：
22221
2cos60803028030702
AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯
=米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查了解三角形的实际应用，以及余弦定理的应用，其中解答中作出示意图，结合余弦定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．C
解析：C 【分析】
由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】
由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒， 在ADC 中，由正弦定理得
3
62sin 223sin sin 75CD ADC
AC DAC
⋅∠=
=
=∠︒
在BDC 中，由正弦定理得1
62sin 231
sin 22
CD BDC
BC DBC
⨯⋅∠=
=
=∠，
在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠
()
)
2
2
1
23
312233112
=+-⨯⨯
=，所以10km AB =. 故选：C. 【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.
3．A
解析：A 【分析】
由三角形的面积公式和已知条件得出sin A ＝1
2
cos A ，再由同角三角函数间的关系求得cos A 25
，运用余弦定理可求得边a . 【详解】
因为b ＝2，c S cos A ＝12bc sin A A ，所以sin A ＝12cos A .
所以sin 2A ＋cos 2A ＝
1
4
cos 2A ＋cos 2A ＝54cos 2A ＝1.又0A π<<，所以sin >0,A 所以
cos >0A ，故解得cos A .
所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋5－＝9－8＝1，所以a ＝1. 故选：A. 【点睛】
本题综合考查运用三角形面积公式和余弦定理求解三角形，属于中档题.
4．A
解析：A 【详解】
由题设可得060B =11
sin sin 2
A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A
B <⇔<，应选答案A ．
5．D
解析：D 【分析】
根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】
因为cos cos a A b B =，
由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2
A B π
+=
所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】
本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】
由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=， 在ABP ∆
中，利用正弦定理得30sin 30
sin120
PB =
=，
即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
7．A
解析：A 【分析】
由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =，可得
22B C =，或22B C π+=，解得B C =，或2
B C π
+=
，即可判断ABC ∆的形状．
【详解】
22tan tan B C
b c
=， ∴
22sin sin cos cos B C b B c C =，由正弦定理可得：22cos cos b c
b B
c C
=，
可得：cos cos b B c C =，可得sin cos sin cos B B C C =，可得：sin 2sin 2B C =，
22B C ∴=，或22B C π+=， B C ∴=，或2
B C π
+=
，
ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8．D
解析：D 【分析】
本题先求9c b
=，再化简2222
281
9cos 218
b b
c a b A bc +-+-==，接着求出22817545
()42
b b +
∈，，最后求出cos A 的取值范围即可. 【详解】
解：由题意有3a =，223cos cos a b B b A =+，
由余弦定理得：222222
2
233232a c b b c a b b c bc
+-+-=⋅+⋅⨯⨯，整理得：9bc = ， 所以9
c b
=
， 则
2222
2
819cos 218
b b
c a
b A bc
+
-+-=
=
.
因为b ∈，所以2(1218)b ∈，，所以2
2817545
()42
b b +∈，， 则133
cos (,)244
A ∈. 故选：D. 【点睛】
本题考查余弦定理，利用函数k
y x x
=+
，（0k >）的单调性求范围，是中档题. 9．C
解析：C 【分析】
先利用正弦定理边角互化思想得出3
B π
=
，再利余弦定理1
cos 2
B =
以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出
2a c
b
+的值． 【详解】
sin cos 0b A B =
，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，
sin 0A >
，sin 0B B ∴=
，tan B ∴=，则3
B π
=
.
a 、
b 、
c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得
222221
cos 222
a c
b a
c ac B ac ac +-+-===，
化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a c
b
+∴=，故选C ． 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．
10．D
解析：D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
120CBD
sin 45
BC
302sin 45203sin120
BC
3tan 30
203
20AB BC
故选D 【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ．
【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan
2
C
C C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
12．B
解析：B 【分析】
根据正弦定理，边角互化可得2
b a
c =，再根据222
1a c a c b c a ac
+-+-=，利用余弦定理求
角. 【详解】
∵2
sin sin sin B A C =，∴2
1b ac
=，
∴2221a c a c b c a ac
+-+-==
∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．
故选:B ． 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.
二、填空题
13．【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析：
1
2
【分析】
根据sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+，然
后由()2
2222
cos 122a b c a b c C ab ab
+-+-==-，利用基本不等式求解.
【详解】
因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列， 所以2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得2c a b =+，
所以()22222
cos 122a b c a b c C ab ab
+-+-==
-， ()2
2
22
231112222a b c c c a b +-≥
-=-=
+⎛⎫
⎪⎝⎭
，当且仅当a b =时取等号，
所以cos C 的最小值是1
2
. 故答案为：12
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边求出的范围再结合余弦定理可以用表示求出的范围进而求得的取值范围【详解】解：在中内角的对边分别是由题意得即令所以所以根据导数与函数单调性的关系得：函数在上单调 解析：π0,6⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
先根据三角形任意两边之和大于第三边求出a 的范围，再结合余弦定理可以用a 表示
cos C ，求出cos C 的范围，进而求得C ∠的取值范围.
【详解】
解：在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 由题意得2c =，4b =，
b c a b c -<<+，即26a <<，
2222123
cos 2882a b c a a C ab a a
+-+===+，
令()382x f x x =+，所以()222
1312
'828x f x x x
-=-=， 所以根据导数与函数单调性的关系得：
函数()f x 在(2,上单调递减，在()
上单调递增，
所以当26x <<时，()f x 的取值范围为⎫
⎪⎪⎣⎭
.
所以cos C ⎫
∈⎪⎪⎣⎭
又因为0πc <<， 所以π0,6
C ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
.
故答案为：π0,6⎛⎤
⎥⎝⎦
.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，三角形的性质，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.
15．【分析】由题意设得到然后在中利用正弦定理求解【详解】如图所示：设船的初始位置为半小时后行驶到两个港口分别位于和所以则设则在中所以利用正弦定理解得所以船速为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的实际
解析：)
10
1
【分析】
由题意，设BA x =，得到CA x =，然后在Rt BDA 中，利用正弦定理求解.
【详解】 如图所示：
设船的初始位置为A ，半小时后行驶到B ，两个港口分别位于C 和D ， 所以45BCA ∠=︒，15CBD ∠=︒， 则30CDB ∠=︒， 设BA x =，
则CA x =，在Rt BDA 中，10DA x =+. 所以利用正弦定理10sin 60sin 30x x
+=︒︒
，
解得)
5
31x =
所以船速为)
)
1
5
3110312
÷
=.
故答案为：)
1031
【点睛】
本题主要考查正弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正 3 【分析】
由sin 3sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得3=c b ，根据余弦定理
2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .
【详解】
sin 3sin C B =，根据正弦定理：
sin sin b c
B C
=，∴ 3=c b ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，
故可联立方程：222
22
32cos 2c b a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩
，解得：3cos A =.
. 【点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化
解析：，1) 【分析】
先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式
1cos21cos2cos2cos2sin sin 222
C A A C
A B ----==；再由和差化积公式得：cos 2cos 22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求
出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】
解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab
+-=，则22222a b c b a ab a +--=
， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即
1cos21cos2cos2cos2sin sin 222
C A A C
A B ----==①， 由和差化积公式得：cos 2cos 22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；
因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；
在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，
因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪
⎪
<<⎨⎪
⎪
<-<⎪⎩，
∴
6
4
A π
π
<<
，
tan A ∴
的取值范围是，1)；
故答案为：，1)． 【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．
18．【分析】由余弦定理直接进行计算即可得的值根据正弦定理可求结合大边对大角可求的值【详解】解：由余弦定理得：则由正弦定理可得：为锐角故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理在解三角形中的应用考查计
解析：6
π 【分析】
由余弦定理直接进行计算即可得b 的值，根据正弦定理可求sin C ，结合大边对大角可求
C 的值．
【详解】 解：
4a =，2c =，60B =︒，
∴由余弦定理得：
2221
2cos 164242208122
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=-=，
则b =
∴由正弦定理
sin sin b c
B C
=，
可得：2·sin 1sin 2c B C b ===， c a <，C 为锐角，
6
C π
∴=
．
故答案为：6
π． 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力．
19．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为
解析：
2
π 【分析】
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A ． 【详解】
cos cos sin b C c B a A +=，
2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，
sin 0A ≠， sin 1A ∴=，
∴由于A 为三角形内角，可得2
A π
=
．
故答案为：2
π． 【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦．
20．【分析】求得在三角形中利用余弦定理求得【详解】依题意画出图象如下图所示在三角形中由正弦定理得所以在中所以在三角形中由余弦定理得所以故答案为：【点睛】本小题主要考查正弦定理余弦定理解三角形属于中档题
解析：【分析】
求得,BD CD ，在三角形BCD 中利用余弦定理求得BC . 【详解】
依题意，画出图象如下图所示，2AD =，301545BDC ∠=︒+︒=︒，
903060BDA ∠=︒-︒=︒，45,180********CAD ACD ∠=︒∠=︒-︒-︒-︒=︒，
在三角形ACD 中，由正弦定理得
2sin 30sin 45CD
=︒︒
，所以CD = 在Rt ABD △中，906030ABD ∠=︒-︒=︒，所以24BD AD ==.
在三角形BCD 中，由余弦定理得(2
2
2
424cos458BC =+-⨯⨯︒=，
所以BC =
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.
三、解答题
21．（1）3
π
；（2）4+23．
【分析】
（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6
π
）＝1，再根据角的范围可得解；
（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解. 【详解】 （1）∵3sin （A +B ）＝1+2sin 2
2
C
，且A +B +C ＝π， ∴
3sin C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C ，即3sin C +cos C ＝2，
∴sin （C +
6
π
）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +
6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π
，即C ＝3
π．
（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，
∴由正弦定理知，sin AB
ACB ∠＝sin
3
AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23
∵∠ACB ＝
3
π
，∴∠ABC +∠BAC ＝
23
π， ∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝
3
π
，∴∠AIB ＝
23
π，
设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝
3
π
﹣θ，且0＜θ＜
3
π
，
在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BI
πθ-＝sin AI θ＝sin AB
AIB ∠23sin
3
4，
∴BI ＝4sin （
3
π
﹣θ），AI ＝4sin θ，
∴△ABI 的周长为3（
3
π
﹣θ）+4sin θ＝3（
3
2
cos θ﹣12sin θ）+4sin θ
＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3
π
）3
∵0＜θ＜3
π
，∴
3
π
＜θ+
3
π
＜
23
π
， ∴当θ+
3
π
＝
2
π，即6π
θ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3
故△ABI 的周长的最大值为3 【点睛】
关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.
22．（1）2
C π
=或3
C π
=
；（2）
33
3
+或1． 【分析】
（1）利用二倍角余弦公式可得22cos cos C C -=-，从而可得cos 0C =或1cos 2
C =，即求.
（2）由（1）知3
C π
=
或2
C π
=
，当3
C π
=
时，利用正弦定理求出,a b ，再根据三角形
的面积公式即可求解；当2
C π
=时，根据直角三角形即可求解.
【详解】 （1）由2
21sin
cos 22A B C +-=，得222sin 2cos 12
A B
C +-=， 化简得2
2
2cos 12sin
2
A B
C +-=-，
即()2
2cos cos C A B -=+，即22cos cos C C -=-，
即()cos 2cos 10C C -=，解得cos 0C =或2cos 10C -=． 即cos 0C =或1cos 2
C =
． 又0C π<<，所以2
C π
=或3
C π
=
．
（2）由（1）得3
C π
=或2
C π
=
，当3
C π
=
时，
由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C ==得，sin sin c a A C
=⋅=3
， 2sin
sin 34c b B C ππ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝
⎭ 22sin cos cos sin
3434ππππ⎫=
-⎪⎭
1
222⎛⎫=--⨯=
⎪⎝⎭⎦
，
故11sin 22ABC S ab C =
==
△；
当2
C π
=时，由2c =，4A π=，得4B π=，a b ==
因此11
122
ABC S ab =
==△．
综上，ABC 的面积是
33
+或1．
23．（1；（2）4或4． 【分析】
（1）利用三角形的面积公式可得出2a b =，利用余弦定理可求得b 、a 的值，再利用三角形的面积公式可求得S ；
（2）由已知条件可得sin B =，由余弦定理得出2316cos 16b B b +=，结合
22sin cos 1B B +=可求得b 的值，由此可得出ABC 的周长.
【详解】
（1）1
sin sin 2
S bc B bc A ==
，所以，sin 2sin A B =，2a b ∴=，
由余弦定理可得2222222162cos 423c a b ab C b b b b ==+-=+-=，3
b ∴=
，
a =
因此，11sin
222
3S ab C =
==
；
（2）sin 4sin 3S bc B b B ===
，可得sin 6B b
=，2222316cos 216a c b b B ac b
+-+==
，
由22
sin cos 1B B +=可得2
2
2316116b b ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭⎝⎭，
整理可得422748010880b b -+=，即()()
223891340b b --=，解得b =或
b =
.
当b =时，ABC 的周长为34a b c b c ++=+=；
当b =
时，ABC 的周长为34a b c b c ++=+=.
综上所述，ABC 的周长为4或4. 【点睛】
方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
24．（1）3
B π
=；（2）2+.
【分析】
（1cos sin B b A =，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B ；
（2）由三角形面积公式求出a 、c ，再根据余弦定理求b ，即可求ABC 的周长． 【详解】
（1）由cos sin )sin cos B b C b B C -=，得
cos cos sin sin cos B b B C b B C -=，
∴cos sin cos cos sin B b B C b B C =+
cos sin()B b B C =+，
∴
cos sin B b A =．
cos sin sin A B B A =，又sin 0A ≠，
∴
sin B B =
，即tan B 0B π<<，
∴3
B π
=
．
（2）由2,c a ABC =
11sin 222ABC
S ac B a a =
=⨯⨯=
解得a =
2c a ==．
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-
，可得
2
2
21
242b =+-=⎝⎭⎝⎭
，解得2b =． ∴
ABC
的周长为2233
a b c ++=
++=+ 【点睛】 关键点点睛：
（1）利用三角恒等变换及正弦定理，将已知条件化简为一个内角的函数值，根据函数值确定角的大小.
（2）综合应用正余弦定理求三角形的边，进而求其周长. 25．（1
）AD =2
）sin sin BAD
CAD
∠∠=
【分析】
（1）利用正弦定理求解即可.
（2
）用余弦定理求出AC =sin 3sin 2
BAD AC
CAD ∠=∠，
代入AC 值求解即可. 【详解】
解：（1）∵sin sin AD AB
B ADB
=∠，且75ADB ︒∠=
∴=
∴AD =（2）
∵1sin 23
ABC
A S
B B
C π==
⋅⋅， 故算得4,3,1BC BD DC ===， 在ABD △中，利用正弦定理有
32
sin sin BAD ADB
=∠∠，
在ADC 中，有
1sin sin AC DAC ADC =∠∠ ∴sin 3sin 2
BAD AC CAD ∠=∠， ∵2141622412
2AC =+-⨯⨯⨯
=，∴AC =
∴sin sin BAD CAD
∠∠=26．（1）1；（2）2．
【分析】
（1）由题意得sin sin 2sin m n A a B A =+=，即1sin sin a A B
=，由正弦定理有：sin sin a b A B
=，联立即可得解b 的值． （2）由平行条件得sin sin a A B =，由1cos 2C a =，则可得1cos cos 2
A B a =，联立即可得解．
【详解】
解：（1）由题意得：sin sin 2sin m n A a B A =+=， 即得1sin sin a A B
=， 在三角形中由正弦定理有：
sin sin a b A B
=， 由以上两式可知：1b =． （2）由平行条件得sin sin a A B =，
1cos cos()sin sin cos cos 2
C A B A B A B a =-+=-=， 则可得到：1cos cos 2
A B a =， ∴sin sin tan tan 2cos cos A B A B A B ==．。