高考数学一轮复习第6单元平面向量单元训练B卷理

此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）
第 6 单元 平面向量
注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
1．设向量 a  (1, 2) ， b  (2x, 1) ，若 a∥b ，则 x  （ ）
A． 1
B． 1
C．4
D．2
2
4
2．已知向量 a  (5, m) ， b  (2, 2) ，若 (a  b)  b ，则 m  （ ）
A． 1
B．1
C．2
D． 2
3．平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ，| a | 2 | b |1，则| a  2b | （ ）
A． 3
B．12
C．4
4．设非零向量 a ， b 满足 a  b  a  b ，则（ ）
D． 2 3
A． a  b
B． a  b
C． a∥b
D． a  b
5．已知 a  6 ， b  3 ， a  b  12，则向量 a 在 b 方向上的投影为（ ）
A． 4
B． 4
C． 2
D． 2
6．向量 a  (2,t) ， b  (1,3) ，若 a ， b 的夹角为钝角，则 t 的范围是（ ）
A． t  2 3
B． t  2 3
C． t  2 且 t  6 D． t  6 3
7．如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是线段 BD 上靠近 D 的三等分点， F 是线段 BD 的中
uuur uuur 点，则 AF CE  （ ）
A． 4
8．已知
B． 3
的面积为 2，在
C． 6
D． 2
uuur uuur
uuur uuur
所在的平面内有两点 、 ，满足 PA  PC  0 ， QA  2BQ ，
则
的面积为（ ）
A． 1 3
9．已知
B． 1 2
中，
C． 2
D．1
3
uuur uuur 为 的重心，则 AG GC  （ ）
A． 67 18
B．  67 18
C． 26 9
D．  26 9
10．已知向量 a  cos  2,sin ，其中 ，则 a 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
uuur uuur 11．已知平面向量 OA ，OB 满足
uuur OA

uuur OB
uuur uuur  1，OAOB
uuur  0 ，且 OD

1
uuur DA
，
为
2
uuur uuur 则 ED OB  （ ）
A．  1 2
B．  1 6
C． 1 6
12．在 中，
，
uuur BA 
uuur BC

uuur 2 BA
，点
是
uuur 2 uuur 2 uuur 2
uuur uuur
则当 PA  PB  PC 取得最小值时， AP  BC  （ ）
D． 1 2
所在平面内的一点，
A． 3
B．
C．
D．  2
5
5
的外心，
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知向量 a  2 ， b  1，且 a 与 b 的夹角为 45，则 a 在 b 方向上的投影为_____． 14．已知两个单位向量 a ， b ，满足 a  b  3 b ，则 a 与 b 的夹角为_______．


15．如图，在矩形 ABCD 中， AB  2 ， BC  2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在直线 CD 上，
uuur uuur 若 AB  AF 
2
，则
uuur AE

uuur BF

______．
uuur
uuur
18．（12 分）如图，已知正三角形 的边长为 1，设 AB  a ， AC  b ．
16．在平行四边形
ABCD 中，已知
AB

1，
AD

2，
BAD

60 ，若
uuur CE

uuur ED
，
uuur DF

uuur 2FB
，
uuur uuur 则 AE  AF  __________．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）设 t, k  R ，已知 a  (1, 2) ， b  (2,1) ， m  a  (t  2)b ， n  ka  tb ． （1）若 t  1，且 m∥n ，求 k 的值； （2）若 m  n  5 ，求证： k  2 ．
uuur uuur （1）若 是 的中点，用 a, b 分别表示向量 CB ， CD ； （2）求 2a  b ； （3）求 2a  b 与 3a  2b 的夹角．


19．（12 分）设 是单位圆 和 轴正半轴的交点，
，
x

0,
π 2
 
．
是圆 上两点， 为坐标原点，AOP  π ， 4
20．（12
分）已知向量
a

 
cos
x 2
,
sin
x 2
 
，
b

 
cos
3x 2
,
sin
3x 2
 
，且
x

 
π 2
,
π
 
．
（1）求 a  b 以及 a  b 的取值范围；
（2）记函数 f  x  a b  2 a  b ，若
的最小值为  3 ，求实数 的值． 2
（1）当
x

π
uuur uuur 时，求 OP  OQ
的值；
6
uuur uuur
（2）设函数 f  x  OP OQ  sin2x ，求
的值域．


  21．（12
分）已知平面向量
m

  
2

sin
 
2x

π 6
 
,
2
  
，
n

1, sin 2 x
， f  x  m n ，其中
x

0,
π 2
 
．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）设
的内角
，
，
的对边长分别为
，
，
，若
f
 
B 2
 
 1，
，
，求 的值．
22．（12 分）如图，在四边形
uuur uuur uuur uuur 中，CD  2BO ，OA  2AD ，
uuur uuur ，且 BO  AD  1．
uuur uuur uuur （1）用 OA, OB 表示 CB ；
（2）点 在线段 上，且
，求
的值．


单 元 训 练 金 卷 ▪高 三 ▪数 学 卷 （ B） 第 6 单元 平面向量 答 案
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．【答案】B
【解析】因为向量 a  (1, 2) ， b  (2x, 1) ， 若 a∥b ，则 1 (1)  2 2x  0 ，解得 x  1 ，故选 B．
4
2．【答案】B
【解析】因为 a  (5, m) ， b  (2, 2) ，所以 a  b  (3, m  2) ，
又 (a  b)  b ，所以 (a  b) b  0 ，即 3 2  2(m  2)  0 ，解得 m  1．
故选 B． 3．【答案】D
【解析】由题意可得| a  2b | (a  2b)2  a2  4b2  4a  b
 a2  4b2  4 a b cos 60  22  412  4 21 1  2 3 ，故选 D． 2
4．【答案】A
【解析】由题意知： a  b 2  a  b 2 ，即 a2  2a  b  b2  a2  2a  b  b2 ， 整理得 a b  0 ，a  b ，本题正确选项 A．
5．【答案】B
【解析】由题意得： cos  a, b  a  b  12   2 ， a  b 63 3
向量
a
在
b
方向上的投影为
a
cos

a,
b

6
 

2 3
 

4
，本题正确选项
B．
6．【答案】C
【解析】若 a ， b 的夹角为钝角，则 a b  0 且不反向共线， a b  2  3t  0 ，得 t  2 ．
3 向量 a  (2,t) ， b  (1,3) 共线时， 23  t ，得 t  6 ．此时 a  2b ．
所以 t  2 且 t  6 ．故选 C． 3
7．【答案】D
【解析】因为
uuur AF

1
uuur AD

1
uuur AB
，
22
uuur CE

uuur CD

uuur DE

uuur  AB

1
uuur AD

1
uuur AB


2
uuur AB

1
uuur AD
，
33
33
所以
uuur AF
uuur  CE

(1
uuur AD

1
uuur AB)  (
2
uuur AB

1
uuur AD)


1
uuur 2 AD

1
uuur 2 AB


1

4

2
．
2
2
33
6
3
2
故选 D．
8．【答案】C
uuur uuur
uuur uuur
【解析】由题意 PA  PC  0 可知，P 为 AC 的中点， QA  2BQ ，可知 Q 为 AB 的一个三等分点，
如图：
因为 S△ABC

1 2
AB 
AC sin
A

2
，
所以 S△APQ

1 2
AP 
AQ sin
A

1 2

1 2
AB 
2 3
AC sin
A

2 3
．故选
B．
9．【答案】A
【解析】因为 中，
为 的重心，
所以
，由余弦定理可得 cosB  AB2  BC2  AC2   1 ，
2AB  BC
4
    且
uuur AG

1
uuur uuur AC  AB
，
uuur GC

1
uuur uuur AC  BC
，
3
3
    所以
uuur AG

uuur GC

1
uuur uuur AC  AB

uuur uuur AC  BC
9
    1 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur
 AC  AC  AB  AC  BC  AB  BC  AC  AC  AB  BC
9
9

1 9
42

42

3
2

cosB

67 18
．
10．【答案】A


【解析】因为 a  cos  2,sin ，
所以 a  cos  22  sin2  1 4cos  4  5  4cos ，
因为 ，所以
，故 a 的最小值为
11．【答案】A
uuur uuur
uuur uuur
【解析】 OAOB  0  OA  OB ，
uuur uuur 又 OA  OB  1，△OAB 为等腰直角三角形，
．故选 A．
为
的外心，
为
uuur 中点， OE

1
uuur AB

2且
，
2
2
Q
uuur OD

1
uuur DA
，
uuur OD

1
uuur OA
，
2
3
  uuur uuur
 ED OB 
uuur uuur OD  OE
uuur  OB

1
uuur uuur OA  OB
uuur  OE
uuur  OB


uuur OE
uuur OB cosBOE  
2
2 1．
3
22 2
本题正确选项 A．
12．【答案】B
uuur uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur
【解析】Q BA BC | BA  BC cosB  BA |2 ， BC cosB  BA ，
uuur CA

uuur AB
，
CAB

π
，以
A
为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，
2
则
，
设
，则
uuur 2 PA

uuur 2 PB

uuur 2 PC

x2

y2
x
 62

y2

x2


y
 32
，
所以当
x=2，y=1
时
uuur 2 PA

uuur 2 PB

uuur 2 PC
取最小值，
uuur uuur
此时 AP  BC  2,16,3  9 ．故选 B．
第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】 2
【解析】由向量数量积的几何意义可得， a 在 b 方向上的投影为 a cos a,b  2cos 45  2 ，
故答案为 2 ．
14．【答案】 2π 3
【解析】由题意知： a  b 1， a  b  3 ，
a  b2  a2  2a b  b2  2  2cos  a,b  3 ，
cos  a, b   1 ， a, b  2π ，本题正确结果 2π ．
2
3
3
15．【答案】 2 uuur uuur
【解析】在矩形 ABCD 中， AB  2 ， BC  2 ，可以以 AB ， AD 的方向为 x, y 轴的正方向的直
角坐标系，如下图所示：
所以 A(0, 0) ， B( 2, 0) ， C( 2, 2) ， D(0, 2) ，点 E 为 BC 的中点，故 E( 2,1) ， uuur uuur
设 F(x, 2) ， AB  AF  2, ( 2, 0)  (x, 2)  2  x  1 ， uuur uuur
 F(1, 2) ， AE  BF  ( 2,1)  (1 2, 2)  2(1 2)+1 2= 2 ． 16．【答案】 5
2
【解析】由题意，如图所示，


uuur
uuur
设 AB  a ， AD  b ，则 a  1， b  2 ，
又由
uuur CE

uuur ED
，
uuur DF

uuur 2FB
，所以
E
为
CD
的中点，
F
为
BD
的三等分点，
则
uuur AE

b

1
a
，
uuur AF

b

2
(a

b)

2
a

1
b
，
2
3
33
uuur 所以 AE
uuur  AF

 
1 2
a

b
 
 
2 3
a

1 3
b
 

1 3
a2

5 6
ab
1 b2 3
 1 12  5 1 2cos 60  1  22  5 ．
36
3
2
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） k  1 ；（2）见证明． 3
【解析】（1）当 y  1 x  t 时， m  a  3b  (5,5) ， n  ka  b  (k  2, 2k 1) ， 2
∵ m∥n ，∴ 5(k  2)  5(2k 1) ，解得 k  1 ． 3
（2） m  n  a  (t  2)b(ka  tb)  ka2  ta  b  k(t  2)a  b  t(t  2)b2  5k  5t(t  2) ，
∵ m  n  5 ，∴ 5k  5t(t  2)  5，∴ k  t2  2t 1  (t 1)2  2  2 ．
18．【答案】（1）
uuur CB

a

b
，
uuur CD

1
a

b
；（2）
；（3）120 ．
2
【解析】（1）
uuur CB

uuur AB

uuur AC

a

b
，
uuur CD

uuur AD

uuur AC

1
uuur AB

uuur AC

1
a

b
．
2
2
（2）由题意知， a  b 1，且 a, b  60 ，
则 2a  b 2  4a2  4a  b  b2  4 a 2  4 a b cosa,b  b 2  4  2 1  7 ，
所以 2a  b = 7 ．
（3）与（2）解法相同，可得 3a  2b = 7 ，
设 2a  b 与 3a  2b 的夹角为 ，
则 cos  2a  b 3a  2b  6a2  a  b  2b2 
7 2
1 ，
2a  b 3a  2b 2a  b 3a  2b 7  7 2
因为
，所以 2a  b 与 3a  2b 的夹角为120 ．
19．【答案】（1）
6 4
2
；（2）
 

2 2
,
2

 
．
【解析】（1）由题意得： cos
uuur uuur OP, OQ

cos
 
π 4

π 6
 

cos
π 4
cos
π 6

sin
π 4
sin
π 6

6 4
2，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur OP OQ  OP  OQ cos OP,OQ 
6
2．
4
（2）
f
x
uuur uuur  OP OQ  sin2x

cos
x
π
 sin2x

2 cosx 
2 sinx  2sinxcosx ，
4
2
2
设 t  sinx  cosx 
2sin
 
x

π 4
 
，则
，
又
x

0,
π 2
 
，则
x

π 4

 
π 4
,
3π 4
 
，t

1,
2  ， f t   t2 
2 t 1， 2
，
当 时， f t   f 1  2 ；当
时，
，
min
2
 的值域为 

2 2
,
 2

．
20．【答案】（1）见解析；（2）   1 ． 2
【解析】（1）易得 a  b  cos x cos 3x  sin x sin 3x  cos2x ． 2 2 22
因为 |
a

b
|2 
 
cos
x 2

cos
3x 2
2 

 
sin
x 2
 sin
3x 2
2 

2
2 cos
2x

4 cos2
x
，
又
x

 
π 2
,
π
 
，所以
，所以 a  b  2cosx 0, 2．
（2）依题意，得 f  x  a b  2 a  b  cos2x  4cosx  2cos2x  4cosx 1．
令
，由（1）知，
，


则有
．
①当
，即 时，有 g t   g 1  2  4 1   3 ，
min
2
解得   5 ，此与 8
矛盾；
②当
，即
时，有 g t   g    22 1   3 ，
min
2
解得   1 （    1 舍）；
2
2
③当
，即 ，有
，此与题设不符．
综上所述，所求实数   1 ． 2
21．【答案】（1）增区间为
 
π 3
,
π 2
 
；（2）
的值为
或
．
【解析】（1）
f
x

m
n

2

sin
 
2x

π 6
 

2sin2 x

2

 
sin2xcos
π 6

cos2xsin
π 6
 
 1 cos2x
 1 cos2x  2
3 2
sin2x

1

cos
 
2x

π 3
 

1
，
由 2kπ  π  2x  π  2kπ, k  Z ，得 kπ  2π  x  kπ  π , k  Z ，
3
3
6
又∵
x

0,
π 2
 
，∴函数
的增区间为
 
π 3
,
π 2
 
．
（2）由
f
 
B 2
 

1，得
cos
 
B

π 3
 

0
，
又因为
，所以 π  B  π  4π ，从而 B  π  π ，即 B  π ．
3
33
32
6
因为 ，
，所以由正弦定理 b  c ，得 sinC  csinB  3 ，
sinB sinC
b2
故 C  π 或 2π ， 33
当 C  π 时， A  π ，从而
；
3
2
当 C  2π 时， A  π ，又 B  π ，从而
，
3
6
6
综上 的值为 或 ．
22．【答案】（1）
uuur CB


3
uuur OA

uuur OB
；（2）
cosPCB

2
5．
2
5
【解析】（1）因为
uuur OA

uuur 2 AD
，所以
uuur DO

3
uuur AO
．
2
因为
uuur CD

uuur 2BO
，所以
uuur uuur uuur uuur CB=CD+DO+OB

uuur 2BO

3
uuur AO

uuur OB


3
uuur OA

uuur OB
．
2
2
uuur uuur （2）因为 CD  2BO ，所以 OB∥CD ．
uuur uuur 因为 OA  2AD ，所以点
共线．
因为
，所以
．
以 为坐标原点， 所在的直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
因为 BO  AD  1， CD  2BO ， OA  2AD ，
uuur
uuur
所以
，所以 AC  1, 2 ， AB  2,1．
因为点 在线段 上，且
，所以
uuur AP

1 3
uuur AB

 

2 3
,
1 3
 
，
所以
uuur CP

uuur AP

uuur AC

 

5 3
,

5 3
 
．
uuur
因为 CB  3, 1 ，所以 cos PCB 
uuur uuur CP CB uuur uuur CP  CB
5
5 5 3
2 5．
2  10 5
3





。