浅谈一元三次方程解法

浅谈一元三次方程解法
尤茗雯
鞍山市第一中学20届创新2班
【摘要】
一元三次方程在高一外围知识中有时是一个大题中必要的解题环节，利用因式分解、试根法和倒数法可以快速巧妙解决一元三次方程根的问题，规避运用繁琐的公式解根和虚数问题.
【关键词】
一元三次方程；降次;根
一元方程中含：一元一次方程、一元二次方程和高次方程。

前两者在初中,就已经接触了，在高中继续作为学习内容。

它们都一定有确定解根的方法（有根的情况下）。

但高次方程则不一样，只有其中的一元三次方程在高中作为选修内容稍做提及，且解法较为复杂，简单的试根法有猜测部分,这种未知引起了我的兴趣，在这个假期我对它进行了初步的研究。

1.定义
只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是3的整式方程叫做一元三次方程。

2.原理:
作为一个现阶段只上了半年高中的高中生，想利用现有公式解决一元三次方程根的问题还不能够达到,因为这涉及到了虚数“i”。

而所学知识中涉及到的最高此项只有二次，所以想用现有知识解决问题，必须降次。

所以降次成为方法的主要方向。

未知数相乘，使次数产生，由此反推，只要能够找到一个因式，并除以这个因式，就可以达到降次.
2。

一元三次方程解法
2。

1根的个数
可以用导数证明一元三次函数的根的个数分为：1个、2个或3个。

f(x)= ax3+bx2+cx+d，f’（x）=3ax2+2bx+c
2。

2因式分解法
与二次方程相似，一元三次方程可以分解为：
（x-x1)(x—x2)(x—x3)=0
的形式,那么x1、x2、x3就是这个方程的根。

因式分解好的人，这个方法的确不错,较简单、较快.理论上所有的一元三次方程都可
以分，但有些x1、x2、x3就会变成分数，所以对于实际解题来说，并不是所有的方程都适合，还是有局限性的
2。

3试根法
2。

3。

1
作为2。

2的特殊情况,一元三次方程中，如果各项系数之和等于零,则1是方程的根;如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和,则—1是方程的根.（即x1=1或-1）。

这时可将该方程用大除法或因式分解法除以（x—1）或者（x+1），降低方程次数后,按照一元二次方程的根的解法即可求根.
这是一个在解一元三次方程中是本人较为喜欢的一种，是最简单，快捷的。

但局限性较大，对于系数的要求高。

2.3。

2
变式:还有有时因式未知数的系数并不唯1【（px-q)】,原理相同。

若此时把因式做整式的乘法，可得，p为三次项系数的约数,q为常数项系数的约数。

2。

4倒数法
作为2。

2另一种看起来就很趣有的变式,系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。

如：
ax3+bx2+cx+d=0，其中a=d,b=c或a=—d,b=-c。

显然，此类方程没有零根.且必有一个根为1或-1(见2。

3.1），且可由计算得除以因式（x—1）或（x+1）后，该方程仍是一个倒数方程,这就是此类方程的求根方法，可以达到降次的目的，之后就是一元二次方程的解法了。

另外：若k是这个方程的根,那么1\k也是这个方程的根。

设：k为方程ax3+bx2+cx+d=0的根。

ak3+bk2+ck+d=0两边同时除以k3，得
a+b\k+c\k2+d\k3=0
即d\k3+c\k2+b\k+a=0
此时可以得出另一个结论：k为方程ax3+bx2+cx+d=0的根，则1\k为方程
dx3+cx2bx+a=0的根.
又因为，a=d，b=c或a=—d,b=—c
所以，方程可以改为
a\k3+b\k2+c\k+d=0(—a\k3-b\k2-c\k—d=0同)
所以，1\k也是这个方程的根。

所以，原题得证。