人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课时 全称量词与存在量词

− = ,解得 = ,所以函数 = − 的图象与轴有一个交点,②正确；③中,
互相包含的两个集合相等,③正确；④中,空集不是本身的真子集,④错误.故选B.
探究点二 全称量词命题与存在量词命题的辨析
【例2】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题.
（1）对任意的 ∈ ,2 + 1是奇数；
（4）一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃, ∈ ,使( + )2 = ( − )2 ”.
（5）含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意
义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
过关自诊
用符号“∃”表示下列存在量词命题:
（1）存在一个实数对(, ),使2 + 3 + 3 < 0成立；
（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性
质的命题.注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定.
（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
（3）一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀, ∈ , 2 + 2 ≥ 0”.
（4）全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，
解 含有全称量词“任意”，故为全称量词命题.
（2）有些三角形不是等腰三角形；
解 含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.
（3）有的实数是无限不循环小数；
解 含有存在量词“有的”，故为存在量词命题.
（4）所有的正方形都是矩形.
解 含有全称量词是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练1下列命题中真命题有()
B
① 2 + 2 − 1 = 0是一元二次方程；
②函数 = 2 − 1的图象与轴有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
[解析]①中,当 = 时, + − = 是一元一次方程,①错误；②中,令 = ,则
探究点一 命题真假的判断
【例1】 （多选题）下列四个命题中为真命题的是( AC
)
A.“ > 2”是“ < 3”的既不充分也不必要条件
B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件
C.关于的方程 2 + + = 0( ≠ 0)有实数根的充要条件是“Δ = 2 − 4 ≥ 0”
正确；当集合 = 时,“ ∈ ”是“ ∈ ”的充要条件,故D不正确.故选.
规律方法
判断命题真假的方法
（1）真命题的判定方法
要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的
定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
（2）假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性,这是判断一个命题为假命题的常用方法.
解∀ ∈ ,2 ≥ 0.
（2）所有的二次函数的图象的开口都向上.
解 ∀二次函数,它的图象的开口都向上.
知识点2 存在量词与存在量词命题
1.概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“∃
.
.
（有即可）”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
∃ ∈ ,()
类命题？
提示 这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全
称量词的命题,叫做全称量词命题.
（2）命题④是全称量词命题吗？它的量词是什么？
提示 是全称量词命题.它的量词是“所有的”（“每一个”等）.即所有的自然数都是正整数.
2.用符号“∀”表示下列全称量词命题:
（1）自然数的平方大于或等于零；
解∃(, ) ∈ {(, )| ∈ , ∈ },2 + 3 + 3 < 0.
（2）有些整数既能被2整除,又能被3整除；
解 ∃ ∈ ,既能被2整除,又能被3整除.
（3）某个四边形不是平行四边形.
解 ∃ ∈ {|是四边形},不是平行四边形.
02
重难探究·能力素养全提升
命题()为假.
（2）要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题
()为真；要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素,使命题
()为假.
变式训练3 指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.
解（2）是全称量词命题,（1）（3）是存在量词命题.
（1）存在一个实数,它的绝对值不是正数；
解 真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.
（2）每一条线段的长度数值都是正有理数；
解假命题.如边长为1的正方形,其对角线的长度为 2， 2就不是有理数.
（3）存在一对整数0 ,0 ,使2 0 + 4 0 = 3.
解假命题.∃0 ,0 ∈ ,2 0 + 4 0 = 3.由2 0 + 4 0 = 3,得0 + 2 0 =
D.若集合 ⊆ ,则“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件
[解析]{| > } ⊄ {| < }且{| < } ⊄ {| > },所以A正确；正三角形一定是
等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,所以“三角形为正三角形”是“三角形为等
腰三角形”的充分不必要条件,故B错误；一元二次方程有实根则 ≥ ,反之亦然,故C
理解时需要把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有
的平行四边形的对角线都互相平分”.
过关自诊
1.给出下列命题：①所有的矩形都是平行四边形；②对任意一个 ∈ ,都有 2 > 0；
③每一个菱形的对角线都垂直；④自然数是正整数.
（1）上述命题①②③中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义？如何定义这
解假命题，因为方程 2 + + 8 = 0的判别式Δ = −31 < 0,所以该方程无实数解.
规律方法判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
（1）要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素,使命题
()为真；但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素,使
则0 + 2 0 也是整数,即0 + 2
3
0 不可能等于 ,所以该命题是假命题.
2
3
,若0 ,0
2
∈ ,
1.知识清单：
（1）全称量词命题、存在量词命题的概念.
（2）命题真假的判断.
（3）含有量词的命题的真假判断.
2.方法归纳:定义法、转化法、特例法.
3.常见误区:省略了量词的命题的判断.
1.概念：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀
.
.
（表示所有，缺一不可）”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
∀ ∈ ,()
2.表示：全称量词命题“对中任意一个,()成立”可用符号简记为____________.
名师点睛
对全称量词与全称量词命题的理解
1
2
所以 2 + 1 ≥ 1,所以 2 + 1 > 恒成立.
（2）∃, ∈ ,( − )2 = ( + )2 ；
解真命题，例如 = 0, = 1,符合题意.
（3）存在一个数既是偶数又是负数；
解真命题，如−2，−4等，就既是偶数又是负数.
（4）存在一个实数,使等式 2 + + 8 = 0成立.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词与存在量词
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.掌握全称量词
与存在量词命题真假的方法.
01
基础落实·必备知识全过关
知识点1 全称量词与全称量词命题
有”,所以该命题是全称量词命题.
（4）若 > 0,则 + 2 > 2.
解该命题可以改写为“对所有实数,若 > 0,则有 + 2 > 2”,是全称量词命题.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例3】 判断下列命题的真假.
1
2
（1）∀ ∈ , 2 + 1 > ；
解真命题，因为对∀ ∈ , 2 ≥ 0,
2.表示：存在量词命题“存在中的元素,()成立”,可用符号简记为____________.
名师点睛
对存在量词与存在量词命题的理解
（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有
某种性质的命题.
（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.
（3）含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题.
变式训练2 判断下列命题是全称量词命题,还是存在量词命题.
（1）所有不等式的解集,都满足 ⊆ ；
解 含有全称量词“所有”,所以该命题为全称量词命题.
（2）有一个实数不能有平方根；
解 含有存在量词“有一个”,所以该命题为存在量词命题.
（3）不相交的两条直线是平行直线；
解 该命题可以改写为“所有不相交的两条直线都是平行直线”,因为含有全称量词“所