北京理工2014高三数学一轮 不等式单元辅导与训练

北京理工大学附中2014高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检
测：不等式
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则z=2x+y 的最大值为( )
A ．—2
B ． 4
C ． 6
D ． 8
【答案】C
2．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是( )
A ．22
2a b ab +> B ．2a b ab +≥ C ．
112a b ab
+> D ．2b a a b +≥
【答案】D
3．已知满足不等式2
435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，则实数p 的值为( )
A ．-2
B ．8
C ．-2或8
D ．不能确定
【答案】B 4．不等式
1
1
112-≥-x x 的解集为( ) A ． (1，+∞) B ． [1，+∞)
C ． [0，1]∪(1，+∞)
D ． (—1，0]∪(1，+∞)
【答案】D
5．设不等式组表示的平面区域为
,n n D a 表示区域D n
中整点的个数(其
中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=( ) A ． 1012 B ． 2012
C ． 3021
D ． 4001
【答案】C
6．对于任意实数d c b a ,,,，命题： ①bc ac c b a >≠>则若,0,； ②2
2
,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,2
2
； ④b
a b a 1
1,<>则若； ⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0． 其中真命题的个数是( )
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
【答案】A
7．设a ，b ，c ，R d ∈，且,,
d c b a <>则下列结论中正确的是( )
A ．d b c a +>+
B ．c b d a +>+
C ．bd ac >
D ．
c
b d a > 【答案】B
8．若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ． 1a <-
B ． ||1a ≤
C ．||1a <
D ． 1a ≥
【答案】B
9．已知O 是坐标原点，点A (-1,1），若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，
则OA OM •的取值范围是( ) A ．[-1.0] B ．[0.1] C ．[0.2]
D ．[-1.2]
【答案】C
10．下列命题中正确的是( )
A ．若a b >，则22ac bc >
B ．若0ab >，a b >，则11a b
< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-
D ．若a b >，c d <，则a b
c d
>
【答案】B
11．设变量y x ,满足约束条件0121x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≤≥，则目标函数y x z +=5的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D
12．不等式04)2(2)2(2
<--+-x a x a 对于R x ∈恒成立，那么a 的取值范围是( )
A ．)2,2(-
B ．]2,2(-
C ．]2,(-∞
D ．)2,(--∞
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知不等式1x m -<成立的充分不必要条件是11
32
x <<，则m 的取值范围 ． 【答案】14,23⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
14．设实数,x y 满足不等式1≤+y x ，若y ax +的最大值为1，则常数a 的取值范围是 。

【答案】11a -≤≤
15．设,x y 满足21046020(0)x y x y x y k k --≥⎧⎪
--≤⎨⎪++≥<⎩
若224z x y =+的最小值为25，则_____k =
【答案】-7
16．已知变量x y ，满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，，，则目标函数2z x y =-的最大值为 .
【答案】7
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17． ⑴证明：当a ＞1时，不等式23
a 12a 13a a +>+成立.
⑵要使上述不等式23
a 12a 13a a +>+
成立，能否将条件“a ＞1”适当放宽？若能，请放宽条
件并说明理由；若不能，也请说明理由.
⑶请你根据⑴、⑵的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明. 【答案】（1）证：∵1)-1)(a -(a -a -a 5a 1a 12a 1
3323
=+
,
∵a ＞1，∴1)-1)(a -(a 5a
13＞0，
∴原不等式成立
(2）∵a-1与a 5
-1同号对任何a ＞0且a ≠1恒成立， ∴上述不等式的条件可放宽为a ＞0且a ≠1 (3）根据（1）（2）的证明，可推知： 结论1:
若a ＞0且a ≠1，n 为正整数(或n>0),则11
11
n n n n a a a a
+++>+ 证: ∵()()12111111n n n
n n n a a a a a a a
++⎛⎫+
-+=-- ⎪⎝⎭ ∵a-1与a 2n
-1同号对任何a ＞0且a ≠1恒成立 ∴(a-1)(a 2n
-1)>0 ∴11
11n n n n a a a a
+++
>+ 结论2:
若a ＞0且a ≠1，m ＞n ＞0，则n m
a 1n a 1
m a a +>+
证：左式-右式=1)-1)(a -(a 1)-(a -1)-(a
a -a -a n m n -m a 1n -m a 1n
-m n
a 1a 1n
m
m m n m +==+
若a ＞1，则由m ＞n ＞0⇒a m-n
＞0,a m+n
＞0⇒不等式成立；
若0＜a ＜1，则由m ＞n ＞0⇒0＜a m-n ＜1, 0＜a m+n
＜1⇒不等式成立 ∴n m
a 1n a 1m a a +>+
18．记c bx ax x f +-=2)(，若不等式0)(>x f 的解集为（1，3），试解关于t 的不等式
)2()8|(|2t f t f +<+.
【答案】由题意知)3)(1())(()(21--=--=x x a x x x a x f . 且0<a 故二次函数在区间),2[+∞上是增函数. 又因为22,8||82≥+>+t t ，
故由二次函数的单调性知不等式)2()8|(|2t f t f +<+ 等价于22||8t t +>+即06||||2<--t t 故3||<t 即不等的解为：33<<-t .
19．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部
分），这两栏的面积之和为18000cm 2,
四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？
【答案】解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2b a 4025•=18500+.245001000=ab 当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b=
a 8
5
,代入①式得a=120，从而b=75. 即当a=120，b=75时,S 取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,2
25
-y 其中x ＞20，y ＞25
两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ,由此得y=,2520
18000
+-x 广告的面积S=xy=x(
252018000+-x )＝2520
18000
+-x x, 整理得S=
.18500)20(2520
360000
+-+-x x 因为x －20＞0，所以S ≥2
.2450018500)20(2520
360000
=+-⨯-x x
当且仅当
)20(2520
360000
-=-x x 时等号成立，
此时有(x －20)2
＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=
20
18000
-x +25,得y ＝175，
即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.
20．上的是定义在已知R )(x f 单调．．
函数， :,总有对任意的实数n m ；)()()(n f m f n m f ⋅=+ 1)x (f 00x <<>时，
且. (1）证明：f(0)=1且x<0时f(x)>1;
(2）
.a 41
2x)-f (a 1)x (f 161)4(f 2的取值范围恒成立的参数对任意实数时，求使当x ≤⋅-=
【答案】(1）在f(m+n)=f(m)·f(n)中，取m>0，n=0，有f(m)=f(m)·f(0) ，
∵x>0时0<f(x)<1 ∴f(0)=1
又设m=x<0，n=–x>0 则0<f(–x)<1 ∴f(m+n)= f(0)= f(x)·f(–x)=1 ∴f(x)=
)
(1
x f ->1， 即x<0时，f(x)>1 (2）16
1)4(1)0(R )(=>=f f x f 上的单调函数，又是定义域 ∴f(x)是定义域R 上的单调递减函数.
.4
1)2(f ,0)(1,161)2(f )4(f 2=>=
=所以）可知且由（x f ),2(f )2x -a 1-x (f 41
)]2x a ()1x [(f 22≤+≤-+-，即于是原不等式变为
恒成立，
对任意实数得，上的单调递减函数，可是定义域x 22x -a 1-x R )x (f 2≥+ 4,0)3(44x 03-a 2x -x 2≥∴≤--=∆⇔≥+a a 恒成立对任意实数即
21．证明不等式：1111
2112123123n +
+++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【答案】证明：1111
112123123n
++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
＜21111
1222
n -++++
=2－
1
1
2n -＜2 22．解关于x 的不等式2220x ax a --< 【答案】由原不等式得(2)()0x a x a -+< 当0a >时，解得2a x a -<< 当0a =时，解得x ∈∅
当0a <时，解得2a x a <<-
所以，当0a >时，不等式的解集为(,2)a a - 当0a =时，不等式的解集为∅ 当0a <时，不等式的解集为(2,)a a -。