金版新学案新编高三总复习-第4课时省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

(2)若数列{bn}满足：bn＝ann(n∈N*)，试求{bn}
的前 n 项和公式 Tn.
第五章 数列
栏目导引
解析： (1)∵Sn＝1－an，① ∴Sn＋1＝1－an＋1.② ②－①得 an＋1＝－an＋1＋an.∴an＋1＝12an(n∈N*)． 又当 n＝1 时，a1＝1－a1，∴a1＝12.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意
将两式“错位项对齐”以便下一步准确写出
“Sn－qSn”的表达式．
第五章 数列
栏目导引
数列{an}中 a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线 y＝ x＋2 上， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝an·3n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
＋2 010)＝1 005.
答案： D
第五章 数列
栏目导引
2．若数列{an}的通项公式为 an＝2n＋2n－1，则
数列{an}的前 n 项和为( )
A．2n＋n2－1
B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2
D．2n＋n－2
解析： Sn＝211－－22n＋n1＋22n－1
＝2n＋1－2＋n2.
答案： C
⑦an＝(－1)nf(n)，可采用相邻两项合并求解，
即采用“并项法”．
第五章 数列
栏目导引
从近两年高考试题来看，错位相减法求和 是高考旳热点，题型以解答题为主，往往 和其他知识相结合，考察较为全方面，在 考察基本运算、基本概念旳基础上又注重 考察学生分析问题、处理问题旳能力．
第五章 数列
栏目导引
(本小题满分 12 分)(2010·全国新课标卷)设数列 {an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
＝2
1＋1＋…＋1
n个－21＋212＋…＋21n
＝2n－2111－－1221n＝2n－1－21n
＝2n－2＋2n1－1.
第五章 数列
栏目导引
错位相减法求和
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是 等比数列，求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采 用错位相减法． 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比 为负数的情形；
第五章 数列
栏目导引
2．分组转化法 把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、 等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下 首尾若干项．
第五章 数列
栏目导引
4．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和 公式的推导过程的推广)． 5．错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相
整理得：Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.
第五章 数列
栏目导引
裂项相消法求和
数列通项形如
an
＝
1 nn－1
，
bn1等可用此法．使用裂项法，要
注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪
些项；
第五章 数列
栏目导引
你是否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成 一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零 后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的， 切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前 后对称的特点．实质上，正负项相消是此法的 根源和目的．
第五章 数列
栏目导引
3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，
则 S5 等于( )
A．1
5 B.6
1
1
C.6
D.30
第五章 数列
栏目导引
解析： an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1 ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 ＝1－12＋12－31＋…＋51－16＝56. 答案： B
第五章 数列
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数列求和的方法 (1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先 求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有 关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的 方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前 n 项和公式直接求解； ②an＝a·qn－1，利用等比数列前 n 项和公式直接求解，
＝2n＋1－n3n2＋5－2.
第五章 数列
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【变式训练】 1.求和 Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14
＋…＋1＋12＋41＋…＋2n1－1 解析： 和式中的第 k 项为： ak＝1＋21＋14＋…＋2k1－1＝11－－1212k＝21－21k.
第五章 数列
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∴Sn＝21－12＋1－212＋…＋1－21n
Tn.
第五章 数列
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解析： (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差 为 d， 由于 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d ＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an，
所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)求 Sn.
解析： (1)依题意 an＝2n－3n－1， ∴an＜0 即 2n－3n－1＜0. 当 n＝3 时，23－9－1＝－2＜0. 当 n＝4 时，24－12－1＝3＞0，
∴2n－3n－1＜0 中 n 的最大值为 3.
第五章 数列
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(2)Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝211－－22n－3·nn2＋1－n
【规范解答】 (1)由已知，当 n≥1 时，an＋1 ＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.4 分
而 a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式
为 an＝22n－1.6 分
第五章 数列
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(2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ①8 分 从而 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.② 9分 ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1 －n·22n＋1，10 分
第五章 数列
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4．已知数列{an}的通项 an＝－5n＋2，则其前 n
项和 Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝－5(1＋2＋3＋…＋n)＋2n ＝－5n2n＋1＋2n
＝－5n22－n.
答案：
－5n2－n 2
第五章 数列
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5．数列 1,412，714，1018，…前 10 项的和为________． 解析： 1＋421＋714＋1081＋…＋285112
∴an＝21·12n－1＝12n(n∈N*)．
第五章 数列
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(2)由(1)得 bn＝ann＝n·2n(n∈N*)． ∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③ ∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1④ ③－④得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1 ＝211－－22n－n×2n＋1.
但要注意对 q 分 q＝1 与 q≠1 两种情况进行讨论；
第五章 数列
栏目导引
③an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或 等差数列，采用分组转化法求{an}前 n 项和； ④an＝bn·cn，{bn}是等差数列，{cn}是等比数 列，采用错位相减法求{an}前 n 项和； ⑤an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an} 前 n 项和； ⑥an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；
第五章 数列
栏目导引
解析： (1)∵an＝1＋2＋31＋…＋n＝nn1＋1＝ 2
2n1－n＋1 1， ∴Sn＝21－12＋212－13＋…＋2n1－n＋1 1 ＝21－n＋1 1＝n2＋n1，∴bn＝Snn＝n＋2 1(n∈N*)．
第五章 数列
栏目导引
(2)证明：Cn＝bn·bn＋1＝n＋2 1·n＋2 2＝ n＋14n＋2＝4n＋1 1－n＋1 2，∴Tn＝412－13＋ 431－14＋…＋4n＋1 1－n＋1 2＝421－n＋1 2＜ 4×21＝2， 即 Tn＜2 对任意 n∈N*成立．
第五章 数列
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等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比数列，S5＝a52. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 bn＝n2a＋n·ann＋＋11，求数列{bn}
的前 99 项的和．
第五章 数列
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解析： (1)设数列{an}的公差为 d(d＞0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a23＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d＞0，∴a1＝d，① ∵S5＝a25，∴5a1＋5×2 4·d＝(a1＋4d)2② 由①②得 a1＝35，d＝35，
＝275＋2.75＝277.75.
第五章 数列
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【变式训练】 3.已知数列 1，1＋1 2，1＋12＋3，…， 1＋2＋31＋…＋n的前 n 项和为 Sn，bn＝Snn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 Cn＝bn·bn＋1，{Cn}的前 n 项和为 Tn，求证：
Tn＜2 对任意 n∈N*成立．
解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线 y＝x＋2 上， ∴an＋1＝an＋2，即 an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
第五章 数列
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(2)∵bn＝an·3n，∴bn＝(2n＋1)·3n， ∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋ (2n＋1)·3n，① ∴3Tn＝3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n＋(2n＋ 1)·3n＋1，②
第4课时 数列求和
第五章 数列
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求数列的前 n 项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 Sn＝__n_a_1_2＋__a_n___＝na1＋_n__n_2－__1__d_. (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； ②当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
＝(1＋4＋7＋…＋28)＋21＋14＋18＋…＋5112
＝145551112.
答案：
511 145512
第五章 数列
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分组转化求和 分组转化求和就是从通项入手，若无通项， 则先求通项，然后通过对通项变形，转化为 等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求 之．
第五章 数列
栏目导引
已知函数 f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在 f(x)的 图象上，an 的前 n 项和为 Sn. (1)求使 an＜0 的 n 的最大值．
∴an＝53＋(n－1)×35＝53n(n∈N*)．
第五章 数列
栏目导引
(2)bn＝53nn2·＋35nn＋＋11＝295·nn2＋n＋n＋11 ＝2951＋n1－n＋1 1， ∴b1＋b2＋b3＋…＋b99 ＝295 1＋1－12＋1＋12－31＋1＋31－14＋…＋1＋919－1100 ＝29599＋1－1100
即 Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2].12 分
第五章 数列
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【阅后报告】 考生解答难点为：一是不会 利用累加法求 an，同时不对 n＝1 时进行验证： 二是①－②后易漏掉 n·22n＋1 或忘记等式两边 同除－3.
第五章 数列
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1．(2010·山东卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7， a5＋a7＝26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝a2n－1 1(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和
乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推
导过程的推广．
第五章 数列
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1．数列{(－1)n·n}的前 2 010 项的和 S2 010 为
()
A．－2 010
B．－1 005
C．2 010
D．1 005
解析： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋…－2 009
＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 009
由①－②得
－2Tn＝3×3＋2(32＋33＋…＋3n)－(2n＋1)·3n＋1 ＝9＋2×911－－33n－1－(2n＋1)·3n＋1
∴Tn＝n·3n＋1.
第五章 数列
栏目导引
【变式训练】 2.已知数列{an}满足：Sn＝1－ an(n∈N*)，其中 Sn 为数列{an}的前 n 项和． (1)试求{an}的通项公式；