2020高考数学二轮复习 专题二第1讲三角函数的图像与性

一、选择题
1．已知点P (sin 3π4，cos 3π
4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.π4
B.3π
4 C.
5π4
D.7π4
解析：tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4
sin π4＝－1，
又sin 34π>0，cos 3
4
π<0，
∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)， ∴θ＝7π4.
答案：D
2．将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π
6个单位长度，平移
后的图像如图所示，则平移后的图像所对应函数的解析式是( )
A ．y ＝sin(x ＋π
6)
B ．y ＝sin(x －π
6)
C ．y ＝sin(2x ＋π
3)
D ．y ＝sin(2x －π
3
)
解析：将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π
6个单位长度，平移后的图像所对应的解
析式为y ＝sin ω(x ＋π6)，由图像知，ω(7π12＋π6)＝3π
2
，所以ω＝2.
答案：C
3．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2
)的最小正周期为π，且
f (－x )＝f (x )，则( )
A ．f (x )在(0，π
2)单调递减
B ．f (x )在(π4，3π
4)单调递减
C ．f (x )在(0，π
2)单调递增
D ．f (x )在(π4，3π
4
)单调递增
解析：y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π
4
)，由最小正周期为π得
ω＝2.又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π
2可得φ＝π4
，所以y ＝2cos2x ，在(0，
π
2
)单调递减． 答案：A
4．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0
C.⎝
⎛⎭
⎪⎫π9，0
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫π16，0
解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋π4图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，再向右平移π8个单位，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin2x ，令2x ＝k π，k ∈Z 可得x ＝12k π，k ∈Z ，即该函数的对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12k π，0，k ∈Z ，故应选A. 答案：A 二、填空题
5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2cos π3x ，x ≤2 000，x －12，x >2 000，
则f [f (2 012)]＝________.
解析：∵2 012>2 000，∴f [f (2 012)]＝f (2 000)．
f (2 000)＝2cos
2 000π3＝2cos 2π3＝2cos(π－π
3
)＝－1. 答案：－1
6．函数f (x )＝(12
)|cos x |
在[－π，π]上的单调减区间为__________．
解析：在[－π，π]上，y ＝|cos x |的单调递增区间是[－π2，0]和[π
2，π]，而f (x )随
|cos x |取值的递增而递减．故[－π2，0]和[π
2
，π]为f (x )的递减区间．
答案：[－π2，0]和[π
2
，π]
7．①存在α∈(0，π2)使sin α＋cos α＝1
3；
②存在区间(a ，b )使y ＝cos x 为减函数且sin x ＜0； ③y ＝tan x 在其定义域内为增函数；
④y ＝cos2x ＋sin(π
2－x )既有最大、最小值，又是偶函数；
⑤y ＝|sin (2x ＋π
6)|的最小正周期为π，
以上命题错误的为________(填序号)．
解析：①当α∈(0，π
2)时，sin α＋cos α＞1，故①错；②若y ＝cos x 为减函数，则x
∈[2k π，π＋2k π]，k ∈Z ，此时sin x ＞0，故②错；③当x 分别取π，2π时，y 都是0，故③错；④∵y ＝cos2x ＋sin(π2－x )＝2cos 2
x ＋cos x －1，∴既有最大、最小值，又是偶函数，
故④对；⑤y ＝|sin(2x ＋π6)|的最小正周期为π
2
，故⑤错．
答案：①②③⑤ 三、解答题
8．已知定义在区间[－π，3π2]上的函数y ＝f (x )图像关于直线x ＝π4对称，当x ≥π
4
时，
f (x )＝－sin x .
(1)作出y ＝f (x )的图像； (2)求y ＝f (x )的解析式． 解：(1)y ＝f (x )的图像如图所示．
(2)任取x ∈[－π，π
4]，
则
π2－x ∈[π4，3π2
]， 因函数y ＝f (x )图像关于直线x ＝π
4
对称，
则f (x )＝f (π
2
－x )，
又当x ≥π
4
时，f (x )＝－sin x ，
则f (x )＝f (π2－x )＝－sin(π
2－x )＝－cos x ，
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－cos x ，x ∈[－π，π4
]，－sin x ，x ∈[π4，3π
2
].
9．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3cos x ，cos x )，若f (x )＝a·b －3
2
. (1)写出函数f (x )图像的一条对称轴方程；
(2)求函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域．
解：(1)f (x )＝a·b －32＝3cos 2
x ＋sin x cos x －32
＝
32cos2x ＋1
2
sin2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
∴图像的对称轴方程为x ＝12k π＋π12(k ∈Z)(写出一条就给分，如x ＝π
12)．
(2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π
3.
∴－
32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，
分别当x ＝π2，x ＝π
12时，f (x )取到函数的最小值，最大值，
所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.
10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2
，x ∈
R)的图像的一部分如右图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－6，－2
3]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最
大
值与最小值及相应的x 的值．
解：(1)由图像知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.
又图像经过点(－1,0)， ∴2sin(－π
4＋φ)＝0.
∵|φ|<π2，∴φ＝π
4.
∴f (x )＝2sin(π4x ＋π
4)．
(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)
＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π
4)
＝22sin(π4x ＋π
2)
＝22cos
π4
x ， ∵x ∈[－6，－2
3]，
∴－3π2≤π4x ≤－π6
.
∴当π4x ＝－π6.即x ＝－2
3时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；
当π
4
x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值为－2 2.。