2007年江苏省苏州市高中数学教师基本功竞赛(解题)试卷

2007年江苏省苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）试卷
本试卷共5页，全卷共三大题21小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案代号填在答卷的表格内． 1． 已知角α的终边上一点坐标为（2sin 3
π，2cos 3
π），则角α的最小正值为
A ．
56
π B ．
116
π C ．23
π
D ．
53
π
2．AB = (1，2)，按a =（3，4）平移后得A B '' ，则A B ''
的坐标为
A ．(4，6)
B ．(－2， －2)
C ．(1，2)
D ．（3，4）
3．已知P = { x
x >，x ∈R }，Q ={ x |2x x >，x ∈R }，则“x P ∈”是“x Q ∈”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．不充分也不必要条
件
4．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511
--++-+-+-=-n S n n ，则S 15 + S 22 - S 31
的值是
A ．12
B ．-76
C ．46
D ．76
5．二项式（
n
x x
x )1-的展开式中含4
x 的项， 则n 的一个可能值是
A ．8
B ．9
C ．6
D ．10
6．函数3
2
()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，
则(1)(1)f f -+的值一定
A ．大于0
B ．小于0
C ．大于－2
D ．小于－2
7．如图，设P 为△ABC 内一点，且2155
A P A
B A
C =+
，
则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A ．
15
B ．
25
C ．
14
D ．
13
8．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程
02
2
=++c by
ax
中的系数，则得到不同的椭圆标准方程．．．．
的个数为 A ．6 B ．9 C ．18 D ．36
B
A
C
P
第7题
9．将一个铁管切割成三段做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四
种长度的铁管中，选用最合理（够用，又浪费最少）的是
A．4.6米B．4.8米C．5米D．5.2米
10．一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，那么这个三棱锥的体积大小
A．有唯一确定的值B．有2不同的值C．有3个不同的值D．有3个以上不同的值
2007年苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）答卷
得分
第一部分 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将正确的答案代号填在下面表格内
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请将答案直接填在相应的横线上． 11．已知函数2log ,(0),()3,
(0).
x
x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 那么1
[()]4f f 的值为 ．
12．集合A = {,2
n x x n =
∈Z }，B = {,3
n x x n =∈Z }，则A ∩B = ．
13．双曲线
2
2
164
36
x
y
-
=上的点P 到右焦点的距离为17，则P 到左焦点的距离为 ．
14．一只箱子中有形状相同的4个红球和2个白球，在其中任取一只球，放回后再取一只球，则取出的两球为一红一白的概率为 ．
15．若)2,0[π∈x ，则关于x 的方程2
tan 4tan 10x x -+=的所有根之和为 ．
16．如图，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面ABC 1D 1均成30°角，则这样的直线l 的条数为 ．
三、解答题：本大题共5小题，满分70分． 17．（本题满分10分）
在等差数列{a n }中，已知,p q S q S p ==（p ≠q ），求p q S +的值．
1
A
18．（本题满分14分）
已知函数()f x sin cos a x b x ωω=+（,,a b ω∈R ，且0ω>）的部分图象如图所示． （Ⅰ）求,,a b ω的值；
（Ⅱ）若方程[]2
3()()0f x f x m -+= 在
2(,
)3
3
x π
π∈-
内有两个不同的解，求实数m 的
取值范围．
19．（本题满分14分）
如图，在矩形ABCD 中，2A B B C =，E 为A B 上一点，以直线EC 为折线将点B 折起至点P ，并保持∠PEB 为锐角，连结P A 、PC 、PD ，取PD 的中点F ，若有AF ∥平面PEC ． （Ⅰ）试确定点E 的位置；
（Ⅱ）若异面直线PE 、CD 所成的角为60°，求证：
平面PEC ⊥平面AECD ．
20．（本题满分16分）
设圆锥曲线C 1的焦点为27(0,)4
F -
，相应准线为l ：294
y =-
，且C 1经过点M (2，-3)．
（Ⅰ）求C 1的方程；
（Ⅱ）设曲线C 2：225x y +=，过点P （0，a ）作与y 轴不垂直的直线m 交C 1于A ，D 两点，
交C 2于B ，C 两点，且 AB CD
＝，求实数a 的取值范围．
P A F
C B
E D
21．（本题满分16分）
已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：
（1）21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+（12,x x ∈R ，a 为常数）； （2）(0)(
)14
f f π
==；
（3）当0,4x π
∈
［］时，()f x ≤2．
求：（Ⅰ）函数()f x 的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．
2007年苏州市高中数学教师基本功竞赛（解题）初赛
参考答案和评分标准
一、选择题（共50分）
二、填充题（共30分）
三、解答题（共70分）
17．设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则11(1) 2
(1) 2
p q p p S a p d q q q S a q d p -⎧
=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩①②
①－②得22
1() 2
p q p q
a p q d q p --+-+
=－．
∴11
()()() 2
p q a p q p q d q p --+-=＋－．
∵P ≠q ∴11(
)12
p q a d +=＋－－． ∴P q S +＝11()(())()2
p q p q a d p q ++=+＋－－．
18．（Ⅰ）由图象易知函数()f x 的周期为4T =（
6
7π23
π-
）=2π，
∴1ω=．
上述函数的图象可由sin y x =的图象沿x 轴负方向平移
3
π
个单位而得到，
∴其解析式为()sin 3f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
．∴1,2
2
a b =
=
（Ⅱ）2(,)33
x π
π∈-
∴(0,)3
x π
π+
∈，∴0sin()13
x π
<+
≤．设()f x t =，
问题等价于方程2
30t t m -+=在（0，1）仅有一根或有两个相等的根．
方法一：
∵- m = 3t 2
- t ，t ∈（0，1），作出曲线C ：y = 3t 2
- t ，t ∈（0，1）与 直线l ：y = - m 的图象如图所示．
∵t =
16
时，y =112
-
；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2．
∴当 - m =112
-或0≤-m <2时，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点．
∴m 的取值范围是：20m -<≤或112
m =
方法二：
当 230t t m -+=仅有一根在（0，1）时，令2()3g t t t m =-+ 则(0)(1)0g g <得到20m -<<
或(0)0g =时0m =，或(1)0g =时2m =-（舍去）
当两个等根同在（0,1）内时得到1120m ∆=-=，112
m = 综上所述，m 的取值范围是：20m -<≤或112
m =
19．（Ⅰ）点E 为AB 的中点 …………………………………………2分
证明如下：
取PC 的中点G ，连GF GE ，． 由条件知CD
EA CD GF
////，，EA
GF
//∴．
则F A E G 、、、四点共面．
//
AF 平面PEC ，
平面
GEAF 平面GE
PEC
=，GE FA //∴．
则四边形GEAF 为平行四边形．
BA
CD EA CD GF 21212
1=
=
∴=
， ．则E 为AB 的中点．
（Ⅱ）CD PE CD EA 、，// 所成的角为o 60，∠PEB 为锐角， ∴∠PEB ＝60°．
PE BE = ，∴△PEB 为等边三角形．
∴P B P E P C ==．
作PH ⊥平面AECD ，垂足为H ，则HB = HE = HC ． ∴H 为△CBE 的外心．
∵△CBE 是直角三角形且∠B 为直角，
P
A
F
C
B
E D
G
H
∴外心H 为斜边CE 的中点．
∴H 在CE 上PH ∴⊂平面PEC ，∴平面⊥
PEC
平面AECD ．
19．
（Ⅰ）∵1|3|
4
e =
=-+
，
∴C 1为抛物线，其中顶点为(0，-7)，开口向上，p =1
2
，方程为y = x 2
- 7．①
（Ⅱ）AB CD
＝ ∴| AB | = | CD |，无论A 、B 、C 、D 的顺序如何
均有AD 的中点与BC 的中点重合．
直线m 与两轴都不垂直，设AD ：y = kx + a ，②
联立①②，得x 2 - 7 = kx + a ，即x 2
- kx - ( a +7 ) = 0． 设A （x 1，y 1），D （x 2，y 2），M （x 0，y 0）， 则x 1 + x 2 = k ，x 0 =2
k ．代入②，得y 0 =
2
2
k
+ a ．
∴M （
2
k ，
2
2
k
+ a ）．
∵AD 的中点与BC 的中点重合，而BC ⊥OM ，
∴AD ⊥OM ．∴2
2
12
k
a k k +⋅=-，即2
21k a =--．③
当且仅当点M 在圆内部时，直线m 与圆相交且与抛物线也相交，∴2
2
2
()()522k
k
a ++<．④
由③，得 - 2a - 1 > 0，∴12
a <-．
③代入④，得10a >-． ∴-10 < 12
a <-
．
21．（Ⅰ）在2
1212122()()2()cos 24sin f x x f x x f x x a x ++-=+中,
分别令120x x x =⎧⎨=⎩；1244x x x ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；124
4
x x x
ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得
2
2
()()2cos 24sin , (+)()2 2(+)()2cos 2)4sin 224
f x f x x a x f x f x a f x f x x a x π
πππ⎧
⎪+-=+⎪⎪+=⎨⎪
⎪+-+⎪⎩，
＝（＋（＋）①②③
由①＋②－③，得
1cos 2(
)
1cos 24
2()22cos 22cos(
2)4422
2
x x
f x a x x a a
ππ-+-=+-++［］-［］
＝22(cos 2sin 2)2(cos 2sin 2)a x x a x x ++-+
∴())sin(2)4
f x a a x π
=+-+
（Ⅱ）当0,
4
x π
∈［］时，sin(2)4
x π
+
∈2． （1）∵()f x ≤2，当a <1
时，1(1)]2
a a =+
-≤()f x
≤)a a +-≤2．
即1-
(1a -
≤2-
a ≤1．
（2）∵()f x ≤2，当a ≥1时，- 2
≤a a +
)≤()f x ≤1．
即1≤a
≤4+
故满足条件a 的取值范围[
4+．。