【精准解析】河南省南阳市第一中学2020届高三第十次考试数学(理)试题

南阳一中2020年春期高三第十次考试
数学（理）试题
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.“
1
12
x <<”是“不等式11x -<成立”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解出不等式11x -<，再根据充分条件的定义即可得出结论．
【详解】解：不等式11x -<成立，化为111x -<-<，解得02x <<， ∴“
1
12
x <<”是“不等式11x -<成立”的充分不必要条件， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题． 2.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a 等于( ) A. −2 B.
1
2
C. 12
-
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
先化复数代数形式，再根据纯虚数概念列式求解.
【详解】因为()()()12221ai i a a i ++=-++，所以20,210a a -=+≠,即2a =，选D. 【点睛】本题考查纯虚数，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.已知1cos 4
α=
，则sin(2)2π
α-=（ ）
A.
18
B. 18
-
C.
78
D. 78
-
【答案】D 【解析】 【分析】
由题由诱导公式结合二倍角公式即可得解.
【详解】由题得sin 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=2
2172=2cos 12148cos αα⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭
. 故选D
【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式和三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
4.正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )
A. 1
B. 2
C.
2
【答案】D 【解析】 【分析】
设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ．
【详解】由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，
可得222
337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，
5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，
设公比为q ，则()2
237q a a 4q 8+==，
则q =
负的舍去)，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算
能力，属于基础题． 5.函数()()1
e
2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
排除法，根据()1f 和()0f 的符号可排除B ，D ，再对函数求导，判断函数在()2,+∞上的单调性即可得出结论． 【详解】解：
()11f =-，∴舍去B ，()02cos10f e =->，∴舍去D ，
2x >时，()()2
2cos 1x f x e x -=--，
()()12sin 120x f x e x e -'∴=+-≥->，
∴函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
6.设1F 、2F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点
P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线
方程为 A. 340x y ±=
B. 350x y ±=
C. 430x y ±=
D.
540x y ±=
【答案】C 【解析】
试题分析：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是
其中点，由勾股定理知，可知|PF 1=4b 根据双曲定义可知4b-2c=2a ，整理得c=2b-a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2-4ab=0，求得b a =4
3
∴双曲线渐进线方程为y=±43x ，即
4x±3y=0故选C
考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用．
点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，可知答案．
7.已知函数()()()2sin 0012f x x f πωϕϕ⎛
⎫=+<<= ⎪⎝⎭，且，若函数()f x 的图象关于
4
9
x π=对称，则ω的取值可以是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
先由(0)1f =求出ϕ，利用正弦函数的性质得492
k π
ωπϕπ+=+，
取整数k ，确定选项. 【详解】∵()()2sin f x x ωϕ=+， ∴由()01f =，得1
sin 2
ϕ=. 又∵02
π
ϕ<<
，∴6π
ϕ=
，∴()2sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 又∵()f x 关于4
9
x π=对称， ∴4962k ππ
ωππ⋅+
=+，
39
44
k ω=+，令1k =，则3ω=.
【点睛】本题考查正弦函数图像的对称性，已知函数值求角，考查运算求解能力，属于中档
题.
8.若向量,a b 的夹角为3
π
，且||2a =，||1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为（ ） A.
3
π B. 6π
C. 23
π D. 56π
【答案】B 【解析】 【分析】
结合数量积公式可求得(2)a a b +、2a b +、a 的值，代入向量夹角公式即可求解．
【详解】设向量2a b +与a 的夹角为α，因为,a b 的夹角为
3
π
，且2a =，1b =， 所以22
1(2)()22cos 4221632
a a
b a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=，
2222(2)()4(2)a b a b a a b b +=+=+
+23==，
所以(2)cos 222a a b a a b
α+=
=
=⨯+， 又因为[0,]απ∈ 所以6
π
α=
，故选B
【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题．
9.已知直线l 经过不等式组210
34020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，且与圆22
:16O x y +=相交于
A 、
B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（ ）
A. 20y -=
B. 40x y -+=
C. 20x y +-=
D.
32130x y +-=
【答案】D 【解析】 【分析】
画出不等式组表示的区域，过点P 的直线l 与圆C ：x 2+y 2＝16相交于A 、B 两点，则|AB |的最
小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．
【详解】不等式组表示的
区域如图阴影部分，其中AB 的中点为P ，则AP ⊥OP ，所以|OP |最长时，AB 最小，因为最小l 经过可行域，由图形可知点P 为直线x ﹣2y +1＝0与y ﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP |最长，因为k OP 23=，则直线l 的方程为：y ﹣23
2
=-（x ﹣4），即32130x y +-=． 故选D ．
【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB |的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．
10.已知ABC ∆是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN
AC λ=-（R λ∈）
，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）
A.
22
3 B. 2
C.
3
3
D. 43【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可求得AB AC ⋅，再根据题意得()()()
1f AC AB AB AC λλλ⎡⎤=--⋅-⎣⎦，由此可求
出()f
λ，根据二次函数的单调性即可求出答案．
【详解】解：由题得2
21
cos 32
AB AC a a π
⋅==， ∴
()f BN CM λ=⋅()()BA AN CA AM =+⋅+()()
1AC AB AB AC λλ⎡⎤=--⋅-⎣⎦()()22211A A B AC C AB λλλλ⋅-=--+-()
()2222
1112
a a a
λλλλ=-+⋅---
()
22
112a λλ=--+2
2113224a λ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
∴当1
2
λ=
时，()f λ的最大值为2328a -
=-，即2163
a =
a ∴=
，或a = 故选：C ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，考查平面向量的线性运算，考查二次函数的单调性，属于中档题．
11.已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数2()()(2||)g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (1)-∞，
B. (1)+∞，
C. (01]，
D. (01)，
【答案】D 【解析】 【分析】
利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
【详解】∵g （﹣x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）＝g （x ），∴g （x ）是偶函数， 若g （x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）恰有4个零点， 等价于当x ＞0时，g （x ）有两个不同的零点，
∵f （x ）是奇函数，∴由g （x ）＝f （x 2）+f （a ﹣2|x |）＝0， 得f （x 2）＝﹣f （a ﹣2|x |）＝f （2|x |﹣a ），
∵f （x ）是单调函数，∴x 2＝2|x |﹣a ，即﹣a ＝x 2﹣2|x |， 当x ＞0时，﹣a ＝x 2
﹣2|x |=x 2
﹣2x 有两个根即可， 设h （x ）＝x 2
﹣2x ＝（x ﹣1）2
﹣1， 要使当x ＞0时，﹣a ＝x 2﹣2|x |有两个根， 则﹣1＜﹣a ＜0，即0＜a ＜1， 即实数a 的取值范围是（0，1）， 故选D
【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．
12.已知数列{}n a 中，12a =，若2
1n n n a a a +=+，设12
12222111
m m m a a a S a a a =
++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）
A. 1009
B. 1010
C. 2019
D. 2020
【答案】B 【解析】 【分析】
由2
1n n n a a a +=+可得1(+1
6n n n a a a +=≥）,则111111
(+1+16
n n n n n a a a a a +==-≤）.再结合212(1)11m m m a a a =-++,可化简1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++1221+m m a +=-223
m ≤-,
从而可以求出正整数m 的最大值. 【详解】
2
1n n n a a a +=+,12a =
∴0n a >,∴2
10n n n a a a +-=>,即数列{}n a 为单调增数列,
1(+16n n n a a a +∴=≥）,即111111(+1+16n n n n n a a a a a +==-≤）, 1
111
+1n n n a a a +∴
=-, 21
2(1)11m m m a a a =-++ 12
12222111
m m m a a a S a a a ∴=
++⋅⋅⋅++++
121112(1)2(1)2(1)111m a a a =-
+-+⋅⋅⋅+-+++ 12111
22(
)111m m a a a =-++⋅⋅⋅++++ 1312211111122(
)m m m a a a a a a +=--+-+⋅⋅⋅+- 111122(
)m m a a +=-- 1
221+
m m a +=-
223
m ≤-
2020m S <,
2220203m ∴-
<,即110103
m <+, ∴正整数m 的最大值为1010,
故选:B.
【点睛】本题考查了数列的递推关系,运用了裂项相消法,放缩法等方法,属于数列的综合应用题,对学生的计算及推理能力有一定要求.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．
某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．
【答案】D 【解析】 【分析】
当甲乙两人中某人听报告D ，通过数据比对与分析，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ， 甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ．
【详解】解：通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D ， 当甲乙两人中某人听报告D ，则此人不能听报告B ，C ，E ，F ， 故听报告D 最不合适， 故答案为D ．
【点睛】本题考查了对数据的分析能力及进行简单的合情推理，属简单题．
14.已知
=a sinxdx π⎰，则5
ax ⎛ ⎝ 的二项展开式中，2
x 的系数为__________．
【答案】80 【解析】 【分析】
由题得a=2,再利用二项式展开式的通项求出2x 的系数.
【详解】由题得0(cos )|2a x π
=-=，所以5ax
⎛+ ⎝
=5
2x ⎛+ ⎝，
设二项式展开式的通项为35552
15
5(2)2r r
r
r r r
r T C x C x ---+==⋅， 令3
52,2,2
r r -
=∴= 所以2x 的系数为2
3
5280C =. 故答案为80
【点睛】本题主要考查定积分的计算和二项式展开式的某一项的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
15.安排,,,,,A B C D E F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________．
【答案】42 【解析】
试题分析：6人分组为种，当
照顾老人甲时有
种，同理义工
照顾
老人乙也有30种，再加上
同时分别照顾老人甲和乙有种，所以共有
种．
考点：1．平均分组问题；2．特殊元素优先排序法；3．排除法；
16.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=︒.若四棱锥
P ABCD -的五个顶点在以4为半径的同－球面上，当PA 最长时，四棱锥P ABCD -的体
积为______. 【答案】
814
3
【解析】 【分析】
画出示意图，由题意可得AB ⊥平面PAD ，从而可得当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长，此时90PDA ∠=︒，从而有PD ⊥平面ABCD ，由此得214PD =，再根据体积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，
由90PAB ∠=︒及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ， 即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，
易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=︒；
又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ， ∴28PB R ==，底面边长为2的正方形， 易求出高214PD =， 故四棱锥体积1814
421433
V =
⨯⨯=
， 故答案为：
8143
． 【点睛】本题主要考查棱锥的外接球问题，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于难题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=.
（1）若C B >，且()13
cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且1
2
S CA CD =⋅，求AC 的长度.
【答案】（1）3
C π
=；（2）6AC =【解析】 【分析】
（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值； （2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求
tan 1C =，可得4
C
π
，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值．
【详解】（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅= ∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯= ∴11
cos 14
B =
∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠=
∴0,
2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
∴sin 14B === ∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=， ∴()0,C B π-∈ ∵()13
cos 14
C B -=
且()0,C B π-∈ ∴()sin C B -=
14==
∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B
=---13111
14142
=
⨯-= 在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3
C π
=
.
（2）∵ACD ∆的面积1
2
S CA CD =⋅ ∴
11
sin cos 22
CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =
∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos C
C C
=
=，则4
C π
在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC AB
B C
=
又∵sin B =
14AB =
，sin sin 4C π==
=
，则AC =【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦
函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题． 18.如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，
//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，1
12
AF AD DE ===，2AB =.
（1）求证：//BF 平面CDE ；
（2）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQ
BE
的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在；1
7
BQ BE = 【解析】 【分析】
（1）由题意AB CD ∥，则AB ∥平面CDE ，同理AF 平面CDE ，从而平面ABF ∥平面
CDE ，从而//BF 平面CDE ；
（2）连接BD ，可证得DA ，DB ，DE 两两垂直，以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可求出答案． 【详解】（1）证：由底面ABCD 为平行四边形，知AB CD ∥， 又
AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，
AB
∴平面CDE ，同理AF 平面CDE ，
又AB
AF A =，∴平面ABF ∥平面CDE ，
又
BF ⊂平面ABF ，BF ∴∥平面CDE ；
（2）解：连接BD ，
∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF
平面ABCD AD =，DE AD ⊥，
DE ∴⊥平面ABCD ，则DE DB ⊥，又DE AD ⊥，AD BE ⊥， DE BE E ⋂=，AD ∴⊥平面BDE ，则AD BD ⊥，
故DA ，DB ，DE 两两垂直，
∴以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,0C -，()0,0,2E ，()1,0,1F ，
()0,1,2BE ∴=-，()1,0,1EF =-，设平面BEF 的一个法向量为(),,m x y z =，
由0m BE ⋅=，0m EF ⋅=，得20
0y z x z -+=⎧⎨-=⎩
，令1z =，得()1,2,1m =，
设线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ， 设()0,,2BQ BE λλλ==
-，
（[]0,1λ∈）， ()0,1,2DQ DB BQ λλ∴=+=-.设平面CDQ 的法向量为(),,u a b c =，
又()1,1,0DC =-，0u DQ ∴⋅=，0u DC ⋅=，即()120
0b c a b λλ⎧-+=⎨-+=⎩
，
令1b =，得11,1,
2u λλ-⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
， 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u ⋅=，即11202λλ-++
=，解得[]1
0,17
λ=∈， ∴线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时
1
7
BQ BE =． 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，考查利用空间向量判断面面垂直，属于中档题．
19.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，M 是椭圆C 的上顶点，1F ，F2是椭圆
C 的焦点，12MF F ∆的周长是6．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过动点P （1，t ）作直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|PA|=|PB|，过P 作直线l ，使l 与直线AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=；
（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题得到关于a,b,c 的方程组，解方程组即得椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，进一步求出直线的方程为114y x k ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
， 所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫
⎪⎝⎭.综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【详解】解：（Ⅰ）由于M 是椭圆C 的上顶点，由题意得226a c +=， 又椭圆离心率为
12，即1
2
c a =， 解得2a =，1c =， 又2223b a c =-=，
所以椭圆C 的标准方程22
143
x y +=．
（Ⅱ）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为()1y t k x -=-，
联立()22
34121x y y t k x ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩
，得
()()()2
2
2
3484120k x
k t k x t k ++-+--=，
由题意，>0∆， 设()()1122,,
,A x y B x y ，
则()122
834-+=-
+k t k x x k ，
因为PA PB =，所以P 是AB 的中点．
即
1212
x x +=，得()
28234--=+k t k k ，
340kt += ①
又l AB ⊥，l 的斜率为1
k
-
， 直线l 的方程为()1
1y t x k
-=-
- ② 把①代入②可得：114y x k ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭
所以直线l 恒过定点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.
当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =，
此时直线l 为x 轴，也过1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
.
综上所述直线l 恒过点1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆中直线的定点问题，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知函数2
2f x alnx x a x +++（）＝（）． 1（）讨论函数f x （
）的单调性； 2（）设0a <，若不相等的两个正数12x x ，满足12=f x f x （）（），证明：12'02x x f +⎛⎫
⎪⎝⎭
＞． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】
(1)对a 分0a ≥和a ＜0讨论，利用导数求函数f x （）的单调性；（2）12f x f x 由（）＝（）得
212x x a +++= ()1221ln ln a x x x x --，再求出1221'2x x a f x x +⎛⎫=
⎪-⎝⎭ 21221121ln 1
x x x x x x ⎛⎫⎛⎫- ⎪
⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，不妨设210x x ＞＞，则211x x ＞，转化为证明21221
121ln 01x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭-<+，令211x t x =＞，224
2ln 11
t g t lnt t t t -=
---++构造函数（）＝，再证明()1g t g
<（）即得证. 【详解】1'22a f x x a x +++（）（）＝（）＝ ()222x a x a x
+++=
()()21x a x x ++，0x ＞，
当0a ≥时，()'0f x f x ∴（）＞，在∞（0，+）
单调递增， 当0a ＜时，02a x -
当＜＜时，()'0f x ＜，当2
a
x -＞时，()'0f x ＞， f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
()
122f x f x （）＝（），
2211122222alnx x a x alnx x a x ∴++++++（）＝（），
()()221221212a lnx lnx x x a x x ∴--++（）＝﹣ ()()21212x x x x a =-+++
212x x a ∴+++=
()1221
ln ln a x x x x --，
()()'22a
f x x a x
+++＝，
122112
2'22x x a f x x a x x +⎛⎫∴=++++ ⎪+⎝⎭ ()121221ln ln 2a x x a
x x x x -=++-
21122121ln 2x x a
a x x x x x x ⎛
⎫ ⎪ ⎪=-
=+-- ⎪ ⎪⎝⎭
()212211212ln x x x a x x x x x ⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭ 21
221121ln 1x x x x x x ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
不妨设210x x ＞＞，则
2
1
1x x ＞，
所以只要证21221
1
21ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+， 令211x t x =＞，2242ln 11
t g t lnt t t t -∴=---++（）＝t ， ()()()()()
22
222
4114
1'0111t t t g t t t t t t t -+-∴=-==-<+++（）， g t ∴（）在1（，）
+∞上单调递减， ()2211011g t g ln -∴<=-+（）＝，21
221
1
21ln 01x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭∴-<+，12'02x x f +⎛⎫
∴ ⎪⎝⎭
＞． 【点睛】本题主要考利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为
205⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭p p ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；
（2）以（1）中确定的0p 作为p 的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量X ，求每盘游戏出现音乐的概率1p ，及随机变量X 的期望EX ；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【答案】（1）013=p ；（2）1927
，19
9EX =；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率()f p .然后求得导函数
()f p ',并令()0f p '=求得极值点.再根据()f p 的单调情况,求得()f p 的最大值.
（2）由（1）可知,01
3
==
p p .先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量X 的期望EX ;
（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.
【详解】（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
()()2
13231363=-=-+f p C p p p p p ,
()()()3311'=--f p p p
由()0f p '=得1
3
p =
或1p =（舍） 当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f p '>；
当12,
35⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
p 时,()0f p '<, ∴()f p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增,在12,
35⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减, ∴当1
3
p =
时,()f p 有最大值,即()f p 的
最大值点013
=
p ； （2）由（1）可知,013
==
p p 则每盘游戏出现音乐的概率为3
111911327
⎛⎫=--=
⎪⎝⎭p
由题可知193,27⎛⎫ ⎪⎝⎭
X
B ∴19193279
=⨯
=EX ； （3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ,则ξ的可能值为-300,50,100,150； ∴()()3
3001=-=-P p ξ；
()()21
3501==-P C p p ξ；
()()2231001==-P C p p ξ；
()3150==P p ξ；
∴()()()32
12233330015011001150=--+-+-+EX p C p p C p p p 327300312⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
p p p ； 令()327312=-+-g p p p p ,则()()22713631022
'=-+=-+>g p p p p ； 所以()g p 在20,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭
单调递增； ∴()2205125⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭
g p g ； 即有0<EX ；
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.
【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法,利用导数求得函数的最值,数学期望的求法,综合性较强,计算量较大,属于难题.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：(1sin )acos x a t y t =+⎧⎨=⎩
（0a >，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：()6R π
θρ=∈．
（1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（2）若直线3
C 方程为y =，设2C 与1C 的交点为O ，M ，3C 与1C 的交点为O ，N ，若OMN ∆的面积为a 的值．
【答案】(1) 1C 是以(,0)a 为圆心，a 为半径的圆. 1C 的极坐标方程2cos a ρθ=.(2) 2a =
【解析】
【分析】
（1）消去参数t 得到1C 的普通方程.可得1C 的轨迹.
再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程.
（2）先得到3C 的极坐标方程，再将6π
θ=，53
πθ=代入2cos a ρθ=，解得1ρ，2ρ，利用三角形面积公式表示出OMN ∆的面积，进而求得a.
【详解】(1)由已知得：1x sint a y cost a
⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩平方相加消去参数t 得到22y 1a x a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）=1，即()222x a y a -+=，∴1C 的普通方程：()2
22x a y a -+=. ∴1C 是以(),0a 为圆心，a 为半径的圆.
再将cos x ρθ=，sin y ρθ=带入1C 的普通方程，得到1C 的极坐标方程2cos a ρθ=.
（2）3C 的极坐标方程()53R πθρ=
∈， 将6π
θ=，53
πθ=代入2cos a ρθ=
，解得1ρ=， 2a ρ=，
则OMN ∆
的面积为21sin 2632
a a ππ⎛⎫⨯⨯+== ⎪⎝⎭2a =. 【点睛】本题考查了直角坐标系下的参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.
23.已知不等式111x x x m +++-≥+对于任意的x ∈R 恒成立.
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若m 的最大值为M ，且正实数a ，b ，c 满足23a b c M ++=.
求证
11222a b b c +≥++【答案】（1）[]3,1-（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=，0x ≥，得112x x x +++-≥，则12m +≤，由此可得答案；
法二：由题意()min 111m x x x +≤-+++，令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶
函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，由此可得出答案；
（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．
【详解】解：（1）法一：()()11112x x x x ++-≥+--=（当且仅当11x -≤≤时取等号）， 又0x ≥（当且仅当0x =时取等号）， 所以112x x x +++-≥（当且仅当0x =时取等号）， 由題意得12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，
故m 的取值范围是[]3,1-；
法二：因为对于任意x ∈R 恒有111x x x m +++-≥+成立，即
()min 111m x x x +≤-+++，
令()11f x x x x =+++-，易知()f x 是偶函数，且[)0,x ∈+∞时为增函数，
所以()()min 02f x f ==，即12m +≤，则212m -≤+≤，解得31m -≤≤，
故m 的取值范围是[]3,1-；
（2）由（1）知，1M =，即231a b c ++=， ∴1122a b b c +++()112322a b c a b b c ⎛⎫=++⋅+ ⎪++⎝⎭
()()23211222a b b c a b b c +++⎛
⎫=⋅+ ⎪++⎝⎭ ()32124222b c a b a b b c +⎡⎤+=
++⎢⎥++⎣⎦ 1
422
⎡≥+=+⎣
故不等式11222a b b c
+≥++ 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．。