教师招聘考试二次函数综合题(有答案)

二次函数综合题
1. （2014•海南,第24题14分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．
，解得
（﹣OM
（x）﹣
x
﹣
时，四边形的面积有最大值为，此时点坐标为（，）
=2±．
，
2+
﹣
=（
，∴
2. （2014•黑龙江龙东,第23题6分）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．.
分析：（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（3）根据图象直接写出答案．
解答：解：（1）∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，
∴对称轴是x==﹣1．
又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴D（﹣2，3）；
（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（3）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组．解题时，要注意数形结合数学思想的应用．另外，利用待定系数法求二次函数解析式时，也可以采用顶点式方程．
3. （2014•黑龙江绥化,第25题8分）如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．
（1）求tan∠DBC的值；
（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
=4=．由正切三角函数定义知=；
=的坐标为（﹣，）
=4
．
=
=
=
﹣
，）
4. （2014•湖北宜昌,第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+C．
（1）填空：△AOB≌△DNA或△DP A≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，4﹣t）；
（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；
（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；
（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着的增大向上移动时，求t的取值范围．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得：△AOB≌△DNA或DP A≌△BMC；根据图中相关线段间的和差关系来求点A的坐标；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等易推知：OM=OB+BM=t+4﹣t=4，则C（4，t）．把点O、C的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可以求得b=t﹣4a；
（3）利用待定系数法求得直线OD的解析式y=x．联立方程组，得，所以ax2+（﹣﹣4a）x=0，解得x=0或x=4+．
对于抛物线的开口方向进行分类讨论，即a＞0和a＜0两种情况下的a的取值范围；
（4）根据抛物线的解析式y=ax2+（﹣4a）x得到顶点坐标是（﹣，﹣（t﹣16a）2）．结合已知条件求得a=t2，故顶点坐标为（2﹣，﹣（t﹣）2）．哟抛物线的性质知：只与顶点坐标有关，故t的取值范围为：0＜t≤．
解答：解：（1）如图，∵∠DNA=∠AOB=90°，
∴∠NAD=∠OBA（同角的余角相等）．
在△AOB与△DNA中，，
∴△AOB≌△DNA（SAS）．
同理△DNA≌△BM C．
∵点P（0，4），AP=t，
∴OA=OP﹣AP=4﹣t．
故答案是：DNA或△DP A；4﹣t；
（2）由题意知，NA=OB=t，则OA=4﹣t．
∵△AOB≌△BMC，
∴CM=OB=t，
∴OM=OB+BM=t+4﹣t=4，
∴C（4，t）．
又抛物线y=ax2+bx+c过点O、C，
∴，
解得b=t﹣4a；
（3）当t=1时，抛物线为y=ax2+（﹣4a）x，NA=OB=1，OA=3．
∵△AOB≌△DNA，
∴DN=OA=3，
∵D（3，4），
∴直线OD为：y=x．
联立方程组，得，
消去y，得
ax2+（﹣﹣4a）x=0，
解得x=0或x=4+，
所以，抛物线与直线OD总有两个交点．
讨论：①当a＞0时，4+＞3，只有交点O，所以a＞0符合题意；
②当a＜0时，若4+＞3，则a＜﹣．
又a＜0
所以a＜﹣．
若4+＜0，则得a＞﹣．
又a＜0，
所以﹣＜a＜0．
综上所述，a的取值范围是a＞0或a＜﹣或﹣＜a＜0．
（4）抛物线为y=ax2+（﹣4a）x，则顶点坐标是（﹣，﹣（t﹣16a）2）．又∵对称轴是直线x=﹣+2=2﹣，
∴a=t2，
∴顶点坐标为：（2﹣，﹣（1﹣4t）2），即（2﹣，﹣（t﹣）2）．
∵抛物线开口向上，且随着t的增大，抛物线的顶点向上移动，
∴只与顶点坐标有关，
∴t的取值范围为：0＜t≤．
点评：本题考查了二次函数综合题型．此题难度较大，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图象的性质等知识点，综合性比较强，需要学生对所学知识进行系统的掌握．
5. （2014•湖南衡阳,第28题10分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B （1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）如答图2，求出S的表达式，再根据二次函数的性质求出最值；
（3）△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，所以△ACD必为直角三角形．本问分多种情形，
需要分类讨论，避免漏解．
解答：解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x﹣1）．
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）=﹣3m，∴m=a，
∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x﹣1）=mx2+2mx﹣3m．
（2）当m=2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6，则P（x，2x2+4x﹣6）．设直线AC的解析式为y=kx+b，则有
，解得，
∴y=﹣2x﹣6．
如答图①，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，则F（x，﹣2x﹣6）．
∴PF=yF﹣yP=（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）=﹣2x2﹣6x．
S=S△PF A+S△PFC=PF•AE+PF•OE=PF•OA=（﹣2x2﹣6x）×3
∴S=﹣3x2﹣9x=﹣3（x+）2+
∴S与x之间的关系式为S=﹣3x2﹣9x，当x=﹣时，S有最大值为．
（3）∵y=mx2+2mx﹣3m=m（x+1）2﹣4m，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m）．
如答图②，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA﹣OE=2；
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m．
由勾股定理得：
AC2=OC2+OA2=9m2+9；
CD2=CF2+DF2=m2+1；
AD2=DE2+AE2=16m2+4．
∵△ACD与△BOC相似，且△BOC为直角三角形，
∴△ACD必为直角三角形．
i）若点A为直角顶点，则AC2+AD2=CD2，
即：（9m2+9）+（16m2+4）=m2+1，
整理得：m2=﹣，
∴此种情形不存在；
ii）若点D为直角顶点，则AD2+CD2=AC2，
即：（16m2+4）+（m2+1）=9m2+9，
整理得：m2=，
∵m＞0，∴m=．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=，BC=．
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2=AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）=16m2+4，
整理得：m2=1，
∵m＞0，∴m=1．
此时，可求得△ACD的三边长为：AD=2，CD=，AC=3；
△BOC的三边长为：OB=1，OC=3，BC=．
∵=，
∴满足两个三角形相似的条件．∴m=1．
综上所述，当m=1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了函数的图象与性质、待定系数法、相似、勾股定理、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问重点考查了图形面积的计算方法；第（3）问重点考查了分类讨论的数学思想．
6. （2014•湖南永州,第25题10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．
x x
x x﹣）+2=（）2+
，）
）代入得
x，
，
）
=|﹣|=||
MQ||=|
ME•|3
|•|3
||=|3
，
=3
××
﹣2+
7. （2014•河北，第24题11分）如图，2×2网格（每个小正方形的边长为1）中有A，B，C，D，E，F，
G、H，O九个格点．抛物线l的解析式为y=（﹣1）n x2+bx+c（n为整数）．
（1）n为奇数，且l经过点H（0，1）和C（2，1），求b，c的值，并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）n为偶数，且l经过点A（1，0）和B（2，0），通过计算说明点F（0，2）和H（0，1）是否在该抛物线上；
（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样条件的抛物线条数．
，
，
8、（2014•随州，第25题12分）平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．
（1）直接写出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；
（3）如图2，D（0，﹣）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB 方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t＜6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．
）根据题意得：，
，
x x
=2
．
交，
=
的坐标是（
的距离是的直线有两条．的坐标是（，
﹣
时，有=
=，则有=
﹣（
PB =﹣t BQ ﹣
（t ．．
已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，与y 轴相交于
点()()030C m m ->，，顶点为点D 。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；
⑵如图①，当2m =时，点P 为第三象限内抛物线上的一个动点， 设APC ∆的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；
⑶如图②，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似？
【考点】待定系数法求二次函数的表达式，三角形面积公式，梯形面积公式，相似三角形的判定定理.
⑵当2m =时，点C 的坐标为()06-，，该二次函数的解析式为2
246y x x =+-
∵点A 的坐标为()30-，，点C 的坐标为()06-， ∴直线AC 的解析式为
136
x y
+=--，即26AC y x =-- 过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F
∵点P 为第三象限内抛物线上的一个动点且点P 的横坐标为x ()30x -<<
图①
图②
∴点P 的坐标为()
2246x x x +-，，点E 的坐标为()0x ，
，点F 的坐标为()26x x --， ()()222OAC PAE OAC
OAPC OCPE OC PE OE AE PE OA OC
S S S S S S ∆∆∆+⎡⎤=-=+-=+-
⎢⎥⎣⎦
四边形梯形()()()()()()()()()2
22
11
22111
3632223332723246623932224P P P AE PE OE OC OE PE OA OC AE PE OE PE OE OC OA OC AE OE PE OC OA OE OA PE OC AE y x y x x x x x x x =
++-=++-⎡⎤=+--=-=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎛⎫=--+=--+--=--=-++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭其余略
∴当32x =-时，S 有最大值27
4
方法二
()()()()()11333
322222
P F P F F P S OA PF PE EF y y y y y y ==⨯⨯-=-=---=-⎡⎤⎣⎦
()()()()()22222
22333
262462624626222
393273933332424x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=
---+-=----+=--⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=-+=-+-=-++
⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴当32x =-时，S 有最大值27
4
； 另解：()()221133
324626246262222
P F S OA PF y y x x x x x x =
=⨯⨯-=+----=+-++ 2
2233926333224x x x x x ⎛
⎫=+=+=+- ⎪⎝
⎭ ∵30x -<<，∴333222x -<+<，∴23924x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∴2
39024x ⎛
⎫+-< ⎪⎝
⎭，
∴222
3939327333242424S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=-+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∴当32x =-
时，S 有最大值274
⑶∵()()()
()()22
2
31231414y m x x m x x m x m x m ⎡⎤=+-=+-=+-=+-⎣⎦
，∴点D 的坐标为()14m --，
∴()()()()()()222222
2
2
30033399A C A C AC x x y y m m m =-+-=--+--=-+=+⎡⎤⎣⎦
()()()()()()2
2
2
2
2
2
22
310424416A D A D AD x x y y m m m =-+-=---+--=-+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()2
2
2
2
2201341C D C D CD x x y y m m m =-+-=--+---=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
∵OBC ∆是直角三角形，∴欲使以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似，必有Rt ACD ∆
②若在ACD
∆中，90ADC =∠，则222AD CD AC +=，即()()
222416199m m m +++=+ 化简整理得：21
2
m =
，∵0m >
，∴2m =（舍去负值）
此时，AD CD =====
21CO OB ==， ∴
AD CO
CD OB
≠
虽然90ACD COB ==∠∠，但是
AD CO
CD OB
≠
，∴ACD ∆与OBC ∆不相似，应舍去； ∴综上所述，只有当1m =时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似。

【答案】⑴该二次函数的解析式为()()2
3123y m x x mx mx m =+-=+- ⑵当32x =-
时，S 有最大值274
⑶当1m =时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆
【点评】：本题综合性强，难度大，是代数、几何的综合题，每一问难度逐渐上升，第一问就是求二次函数表达式的一般问题，第二问虽然常见，但是在表示APC ∆的面积时，难度较大，计算量也大，一些学生会放弃，第三问分情况讨论，虽然3种情况容易想到，但是还是计算，往往造成会思路但不得分的情况. 10、（2014•无锡，第26题10分）如图，二次函数y =ax 2+bx （a ＜0）的图象过坐标原点O ，与x 轴的负半轴交于点A ，过A 点的直线与y 轴交于B ，与二次函数的图象交于另一点C ，且C 点的横坐标为﹣1，AC ：BC =3：1．
（1）求点A 的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F ，其对称轴与直线AB 及x 轴分别交于点D 和点E ，若△FCD 与△AED 相似，求此二次函数的关系式．
=，即
=
==，
11、（2014•无锡，第28题10分）如图1，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N．设P运动的时间为t（0＜t＜2）秒．
（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S．
①试求S关于t的函数关系式；
②在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由．
，即．
，）
，即
•2×+•×）﹣•2）代入得
解得﹣x 的横坐标为．（•﹣×
t ．．12、（2014•江西，第24题8分）如图1，抛物线2
(0)y ax bx c a =++>的顶点为M ，直线y =m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段
AB 的距离称为碟高。

（1）抛物线2
12
y x =
对应的碟宽为____；抛物线24y x =对应的碟宽为_____；抛物线2y ax =（a >0）对应的碟宽为____；抛物线2
(2)3(0)y a x a =-+>对应的碟宽____；
（2）若抛物线2
5
4(0)3
y ax ax a =-->对应的碟宽为6，且在x 轴上，求a 的值； （3）将抛物线2
(0)n n n n n y a x b x c a =++>的对应准蝶形记为F n （n =1,2,3，…），定义F 1，F 2，…..F n
为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比。

若F n 与F n -1的相似比为1
2
，且F n 的碟顶是F n -1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y 1，其对应的准蝶形记为F 1.
①求抛物线y 2的表达式
② 若F 1的碟高为h 1,F 2的碟高为h 2，…F n 的碟高为h n 。

则h n =_______,F n 的碟宽右端点横坐标为_______；F 1，F 2，….F n 的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出改直线的表达式；若不是，请说明理由。

【答案】 （1）4、、2a 、2a ；（2）13 ；（3）①22288333y x x =-+；②1133 222n n --+　、　、5y x =+. 【考点】 二次函数解析式与图像性质，等腰直角三角形性质，探索规律.
【分析】 （1）根据准碟形的定义易算出含具体值的抛物线y =1
2 x 2、抛物线y =4x 2的碟宽，且都利用第一
象限端点B 的横纵坐标的相等，类似推广至含字母的抛物线y =ax 2（a ＞0）．而抛物线y =a (x -2)2+3（a ＞0）为顶点式，可看成y =ax 2向右、向上平移得到，因而发现碟宽的规律，只与a 有关，碟宽= 2a
．
亦可先根据2
y ax =画出二次函数的大致图像，根据题意并从图像分析可知，其准碟形碟宽两端点A 、B 和抛物线的顶点M 围成的△AMB 是等腰直角三角形，进而知道A 、B 两点的纵坐标和横坐标绝对值相等，代入2
y ax =即可求出二次项系数a 与碟宽之间的关系式，而y =a (x -2)2+3（a ＞0）为顶点式，可看成y =ax 2平移得到，只与a 有关。

（2）根据（1）中的结论，根据碟宽为6，列出方程2
a =6，求出a 的值．
（3）①把(2)中求出的a 代入，得出y 1的解析式，易推出y 2．
②结合画图，易知123h h h ，，，…，1h n -，h n 都在直线x =2上，但证明需要有一般推广，可以考虑
n h ∥1n h -，且都过F n -1的碟宽中点，进而可得．另外，画图时易知碟宽有规律递减，所以推理也可得右端
点的特点．对于F 1，F 2，…，F n 的碟宽右端点是否在一条直线上，如果写出所有端点规律不可能，找规律更难，所以可以考虑基础的几个图形关系，如果相邻3个点构成的两条线段不共线，则结论不成立，反正
结论成立．而最后一空的求直线表达式只需考虑特殊点即可． 【解答】 解：（1）4、12 、2a 、2
a
.
∵a ＞0，∴y =ax 2的图象大致如图1，其必经过原点O .
记线段AB 为其准蝶形碟宽，AB 与y 轴的交点为C ，连接OA ，O B ． ∵△OAB 为等腰直角三角形，AB ∥x 轴， ∴OC ⊥AB ，
∴∠AOC =∠BOC ＝12 ∠AOB ＝1
2
×90°=45°，
即△AOC =△BOC 亦为等腰直角三角形，∴AC =OC =B C ．
∴A A B B x y x y ==，，即A 、B 两点x 轴和y 轴坐标绝对值相同． 代入2
y ax =，得方程2x ax =，解得1
x a
=. ∴由图像可知，A （－
1a ，1a ），B （1a ，1a ），C （0，1a
），
即AC =OC =BC ＝
1a
， ∴AB =
1a ·2＝2a
， 即2
y ax =的碟宽为AB ＝
2
a
. ∴①抛物线y =1
2 x 2对应的1a 2=，得碟宽2a
=4；
②抛物线y =4x 2对应的a =4，得碟宽2a =1
2
； ③抛物线2
y ax =(a ＞0)的碟宽为
2a
； ④抛物线y =a （x -2）2+3（a ＞0）可看成y =ax 2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，
∵平移不改变形状、大小、方向，
∴抛物线y =a （x -2）2+3（a ＞0）的准碟形≌抛物线y =ax 2的准碟， ∵抛物线y =ax 2（a ＞0），碟宽为
2
a
， ∴抛物线y =a （x -2）2+3（a ＞0），碟宽为2a
. （2）解法一：
∵y =ax 2―4ax －53 ＝a (x －2)2－（4a ＋53
)
∴同（1）得其碟宽为2
a ，
∵y =ax 2―4ax －5
3 的碟宽为6，
∴2a =6，解得，a =13 . ∴y ＝1
3(x -2)2-3．
解法二： ∵2
54(0)3y ax ax a =-->可得，25(2)43
y a x a =---， 又已知碟宽在x 轴上， ∴碟高＝543a --
＝62
=3，解得a ＝±13 ，
又∵a ＞0，a ＝－ 13 错误！未定义书签。

不合题意舍去，∴a 1＝1
3 .
(3) ①解法一：
∵F 1的碟宽︰F 2的碟宽=2：1， ∴
12
22
2:1a a =: ∵11a ,3= ∴22a .3=
∵2
11y x 233
=--（）的碟宽AB 在x 轴上（A 在B 左边）， ∴A （-1，0），B （5，0）， ∴F 2的碟顶坐标为（2，0）， ∴2
22
y x 23
=-（） 解法二：
∵2
15(2)43
y a x a =---，a ＝13 ，
∴211
(2)33
y x =
--， 即碟顶1M 的坐标为（2，－3）.
∵2F 的碟顶是的碟宽的中点，且1F 的碟宽线段在x 轴上，
∴2F 的碟顶2M 的坐标为（2,0），设2
22(2)y a x =-，
∵2F 与1F 的相似比为
1
2
，1F 的碟宽为6， ∴2F 的碟宽为6×1
2
＝3，即22a ＝3，2a ＝23
. ∴2
2222222288(2)(2)(44)33333
y a x x x x x x =-=
-=-+=-+. ②∵n F 的准碟形为等腰直角三角形， ∴n F 的碟宽为2n h ， ∵
n n 12h 1
2h 2
-= ∴231n n 1n 2n 311111
h h ()h ()h ...()h 2222
n ----=
====. ∵1h =3， ∴n 1
n 1h 2
-=（）·
3. ∵n h ∥n 1h -，且都过n 1F -的碟宽中点，
∴123n 1n h h h h h -⋯，，，
，，都在同一条直线上， ∵1h 在直线x =2上，
∴123n 1n h h h h h -⋯，，，
，，都在直线x =2上， ∴n F 的碟宽右端点横坐标为2+n 1
1
2
-（）·
3. F 1，F 2，…，F n 的的碟宽右端点在一条直线上，直线为y =-x +5． 理由：
考虑F n -2，F n -1，F n 情形，关系如图2， F n -2，F n -1，F n 的碟宽分别为AB ，DE ，GH ； 且C ，F ，I 分别为其碟宽的中点，都在直线x =2上， 连接右端点，BE ，EH ．
∵AB ∥x 轴，DE ∥x 轴，GH ∥x 轴， ∴AB ∥DE ∥GH ，
∴GH 平行相等于FE ，DE 平行相等于CB ， ∴四边形GFEH 、四边形DCBE 都是平行四边形，
∴HE ∥GF ，EB ∥DC ，
∵∠GFI =1
2 •∠GFH = 1
2 •∠DCE =∠DCF ，
∴GF ∥DC ， ∴HE ∥EB ，
∵HE ，EB 都过E 点， ∴HE ，EB 在一条直线上，
∴n 2n 1n F F F --，，的碟宽的右端点是在一条直线，
∴12n F F F ⋯，，
，的碟宽的右端点是在一条直线． 根据②中得出的碟高和右边端点公式，可知
2
11=x 233
--y （）准碟形右端点坐标为（5，0）
， 2
22=x 23-y （）
准碟形右端点坐标为2121112()3,()322--⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭
，即(3.5，1.5) ∴待定系数可得过两点的直线为y =－x +5，
∴F 1，F 2，…，F n 的碟宽的右端点是在直线y =-x +5上．
【点评】 本题考查学生对新定义和新知识的学习、模仿和应用能力．题目中主要涉及特殊直角三角形，二次函数解析式与图象性质，多点共线证明等知识，综合难度较高，学生对题意要清晰的理解比较困难。

13．(2014•陕西,第25题10分)已知抛物线C ：y =﹣x 2+bx +c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M ，它的对称轴与x 轴的交点记为N ． （1）求抛物线C 的表达式； （2）求点M 的坐标；
（3）将抛物线C 平移到C ′，抛物线C ′的顶点记为M ′，它的对称轴与x 轴的交点记为N ′．如果以点M 、N 、M ′、N ′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C 怎样平移？为什么？
考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质． 分析： （1）直接把A （﹣3，0）和B （0，3）两点代入抛物线y =﹣x 2+bx +c ，求出b ，c 的值即可； （2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；
（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论． 解答： 解：（1）∵抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）两点，
∴
，解得
，
故此抛物线的解析式为：y =﹣x 2﹣2x +3；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y =﹣x 2﹣2x +3，
∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，
∴M（﹣1，4）．
（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，
∴MN∥M′N′且MN=M′N′．
∴MN•NN′=16，
∴NN′=4．
i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；
ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．
∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．
点评：本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．
14．（2014•四川成都,第26题8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．
15．（2014•四川成都,第28题12分）如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
+
（
﹣
×
+
，∴3 3=
，即：
，（
x
=
）
，=，∴∠
DF
DF
x
×，
）
2
16．（2014•四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
得，解得
x x
OA
．
∴x，
，﹣，﹣
，﹣）时，
，﹣）时，
：
m m，
m
=m
∴
=﹣
m﹣m
﹣（+﹣m
∴﹣m﹣
或
∴﹣
（﹣，﹣
的坐标为（﹣，﹣
17．（2014•四川绵阳,第25题14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
，+
，）代入，得=+
x﹣
=2
，））
，直线+
，+，=
﹣
﹣；
﹣+
=
，
时，﹣=0
=2
=，解得±；
=2，解得2
，+），）22
=2
，2
，）代入，
，解得
=
+
，解得（﹣，
，
18．（2014•浙江绍兴,第20题8分）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
=
=
，
2=
mm，
=
=
﹣
x x﹣
×
19．（2014•浙江绍兴,第22题12分）如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．
（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．
（2）探究下列问题：
①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．
②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？
），
个单位，再向下平移个单位得到．
20．（2014•重庆A,第25题12分）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．（2）设M点横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长d=﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积．
（3）设F（n，﹣n2﹣2n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得．
解答：解：（1）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3），
令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得x=﹣3或x=1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y=﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，
设M点的横坐标为m，则PM=﹣m2﹣2m+3，MN=（﹣m﹣1）×2=﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2=﹣2m2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，
∴当m=﹣2时矩形的周长最大．
∵A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC解析式为；y=kx+b，
解得k=1，b=3，
∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E（﹣2，1），
∴EM=1，AM=1，
∴S=•AM•EM=．
（3）∵M点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=﹣1代入y=﹣x2﹣2x+3，解得y=4，
∴D（﹣1，4）
∴DQ=DC=，
∵FC=2DQ，
∴FG=4，
设F（n，﹣n2﹣2n+3），
则G（n，n+3），
∴|﹣n2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，
即n2+2n﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1，
∴F（﹣4，﹣5）或（1，0）．
点评：本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．
21．（2014•贵州黔西南州, 第26题16分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△P AE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．
第1题图
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，则代入求得a，b，c，进而得解析式与顶点D．
（2）由P在AD上，则可求AD解析式表示P点．由S△APE=•PE•y P，所以S可表示，进而由函数最值性质易得S最值．
（3）由最值时，P为（﹣，3），则E与C重合．画示意图，P'过作P'M⊥y轴，设边长通过解直角三角形可求各边长度，进而得P'坐标．判断P′是否在该抛物线上，将x P'坐标代入解析式，判断是否为y P'即可．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，
∴，
解得，
∴解析式为y=﹣x2﹣2x+3
∵﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
（2）∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y=kx+b，有，
解得，
∴AD解析式：y=2x+6，
∵P在AD上，
∴P（x，2x+6），
∴S△APE=•PE•y P=•（﹣x）•（2x+6）=﹣x2﹣3x（﹣3＜x＜﹣1），当x=﹣=﹣时，S 取最大值．
（3）如图1，设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE=∠P′FE，PF=P′F=3，PE=P′E=，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE=∠FEN，
∵∠PFE=∠P′FE，
∴∠FEN=∠P′FE，
∴EN=FN，
设EN=m，则FN=m，P′N=3﹣m．
在Rt△P′EN中，
∵（3﹣m）2+（）2=m2，
∴m=．
∵S△P′EN=•P′N•P′E=•EN•P′M，
∴P′M=．
在Rt△EMP′中，
∵EM==，
∴OM=EO﹣EM=，
∴P′（，）．
当x=时，y=﹣（）2﹣2•+3=≠，
∴点P′不在该抛物线上．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等常规考点，题目考点适中，考法新颖，适合学生练习巩固．
22. （2014•黑龙江哈尔滨,第27题10分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x
轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．
第2题图
（1）求a，b的值；
（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点
M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，
求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于
点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出a，b的值；
（2）利用已知得出AD=BD则∠BAD=∠ABD=45°，进而得出tan∠BOD=tan∠MPF，故==3，
MF=3PF=3t，即可得出d与t的函数关系；
（3）首先利用S△ACN=S△PMN，则AC2=2t2，得出AC=2t，CN=2t，则M（4﹣2t，6t），求出t的值，。