八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷

八年级初二数学下学期勾股定理单元测试提优卷
一、选择题
1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．121 B．110 C．100 D．90
2．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和210，则斜边长为
（）
A．10 B．410C．13D．213
3．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是()
A．13 cm B．4cm C．4cm D．52 cm
4．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者137 5．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（）
A．B．C．D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，现将Rt△ABC沿BD进行翻折，使点A 刚好落在BC上，则CD的长为（）
A．10 B．5 C．4 D．3
7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（）
A．3 B．5 C．4.2 D．4
8．已知直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则BE的长是（）
A．7
2
B．
7
4
C．
25
4
D．
15
4
9．下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A．6，8，10 B．5，12，13 C．3，5，6 D235 10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）
A．7,24,25B．111
,4,5
222
C．3,4,5D．
11
4,7,8
22
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，AB =AD，BC=DC，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE 与BD交于点F，且CE∥AB，若 A =60°，AB=4，CE=3，则BC的长为_______．
12．如图，ACB △和ECD 都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ABC 的顶点A 在ECD 的斜边上．若3AE =，7AD =，则AC 的长为_________
13．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.
14．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
15．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.
16．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．
17．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52ABCD 的面积是_______．
18．如图所示，四边形ABCD 是长方形，把△ACD 沿AC 折叠到△ACD′，AD′与BC 交于点
E ，若AD ＝4，DC ＝3，求BE 的长．
19．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．
20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.
三、解答题
21．（1）计算：1312248233⎛÷ ⎝ （2）已知a 、b 、c 满足2|2332(30)0a b c -+-=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．
22．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，动点D 在直线AB （点A 与点B 重合除外）上时，以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ，且90ECD ∠=︒，连接AE ．
（1）判断AE 与BD 的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若4BD =，P ，Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==，试求PQ 的长． （3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段AB 的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ 的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由．
23．已知a ，b ，c 满足88
a a -+-＝|c ﹣17|+
b 2﹣30b +225， （1）求a ，b ，
c 的值；
（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．
24．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
25．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 与点E .
（1）根据题意用尺规作图补全图形（保留作图痕迹）；
（2）设,BC m AC n ==
①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根吗？并说明理由.
②若线段2AD EC =，求m n
的值.
26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
27．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .
（1）直接写出BC =__________，AC =__________；
（2）求证：ABD ∆是等边三角形；
（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；
（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =
，连接PE ，直接写出PE 的长. 28．阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离
()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂
直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .
（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
29．在平面直角坐标系中，点A （0，4），B （m ，0）在坐标轴上，点C ，O 关于直线AB 对称，点D 在线段AB 上．
（1）如图1，若m ＝8，求AB 的长；
（2）如图2，若m ＝4，连接OD ，在y 轴上取一点E ，使OD ＝DE ，求证：CE 2DE ；
（3）如图3，若m＝43，在射线AO上裁取AF，使AF＝BD，当CD+CF的值最小时，请在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值．
30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG≌△BDF；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(4)求线段EF长度的最小值.
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形．90
∠=︒，
CBF
∴∠+∠=︒，
90
ABC OBF
又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，
OBF ACB ∴∠=∠，
在OBF ∆和ACB ∆中，
BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，
AC OB =∴，
同理：ACB PGC ∆≅∆，
PC AB ∴=，
OA AP ∴=，
所以，矩形AOLP 是正方形，
边长347AO AB AC =+=+=，
所以，3710KL =+=，4711LM =+=，
因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，
故选B ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据已知设AC ＝x ，BC ＝y ，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，根据勾股定理分别列等式，从而求得AC ，BC 的长，最后根据勾股定理即可求得AB 的长．
【详解】
如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 为△ABC 的两条中线，且AD ＝10，BE ＝5，求AB 的长．
设AC ＝x ，BC ＝y ，
根据勾股定理得：
在Rt △ACD 中，x 2+（12
y ）2＝（10）2，
在Rt△BCE中，（1
2
x）2+y2＝52，
解之得，x＝6，y＝4，
∴在Rt△ABC中，22
64213
AB=+=，
故选：D．
【点睛】
此题考查勾股定理的运用，在直角三角形中，已知两条边长时，可利用勾股定理求第三条边的长度.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【详解】
如图，
由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm，
∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，
∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202，
所以彩带最短是52cm．
故选D．
【点睛】
本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆
柱底面周长，高等于圆柱的高，
4．C
解析：C
【分析】
如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论．
【详解】
当如图1所示时，AB=2，BC=3，
∴AC=22
；
23=13
当如图2所示时，AB=1，BC=6，
∴AC=22
1+6=37；
故选C．
【点睛】
本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【详解】
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：
故选B.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．6．B
解析：B
【分析】
根据“在Rt △ABC 中”和“沿BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解．
【详解】
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC=2286+=10，
根据翻折的性质可得A′B=AB=6，A′D=AD ，
∴A′C=10-6=4．
设CD=x ，则A′D=8-x ，
根据勾股定理可得x 2-（8-x ）2=42，
解得x=5，
故CD=5．
故答案为：B ．
【点睛】
本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
根据题意可设折断处离地面的高度OA 是x 尺，折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】
设折断处离地面的高度OA 是x 尺，则折断处离竹梢AB 是（10－x ）尺，
由勾股定理可得：222=OA OB AB +
即：()2
224=10x x +-，
解得：x ＝4.2
故折断处离地面的高度OA 是4.2尺．
故答案选：C ．
【点睛】
本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．
8．C
解析：C
【分析】
根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．
【详解】
解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，
∴AE ＝BE ，
设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，
在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，
即x 2＝62+（8﹣x ）2，
解得，x ＝
254， ∴BE ＝254
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9．C
解析：C
【分析】
求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可．
【详解】
A 、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、32+52≠62，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D 、222
+=，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
10．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．
【详解】
A 、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；
B 、222
11145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不能组成直角三角形，故错误； C 、222345+=，能组成直角三角形，故正确；
D、
22
2
11
478
22
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，能组成直角三角形，故正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
二、填空题
11．7
【分析】
连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD，BO＝OD，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF，由勾股定理可求OC，BC的长．
【详解】
连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，
∵CE∥AB，
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE＝3，
∴DE＝AD−AE＝1，
∵∠CED＝∠ADB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF＝1，
∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，
22
OC CF OF3
∴-=
22
BC=OB+OC=7
∴
故答案为：7
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
12．5
【分析】
由题意可知，AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°，求出∠ACE ＝
∠BCD 可证△ACE ≌△BCD ，可得AE ＝BD ＝3，∠ADB ＝90°，由勾股定理求出AB 即可得到AC 的长．
【详解】
解：如图所示，连接BD ，
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠E ＝45°， 且∠ACE ＝∠BCD ＝90°-∠ACD ，
在ACE 和BCD 中，
AC=BC ACE=BCD CE=CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴AE ＝BD 3E ＝∠BDC ＝45°，
∴∠ADB ＝∠ADC+∠BDC ＝45°+45°＝90°，
∴AB 22AD +BD =7+3=10，
∵AB=2BC ，
∴BC ＝2AB=52
5
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．21
【分析】
在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出
AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．
【详解】
如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，
∵AC 平分∠BAD ，
∴∠DAC=∠EAC ．
在△AEC 和△ADC 中，
AE AD DAC EAC
AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝
∴△ADC ≌△AEC （SAS ），
∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，
又∵CF ⊥AB ，
∴EF=BF ，
设EF=BF=x ．
∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，
∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，
∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，
∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，
∴x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB 的长为21．
故答案是：21.
【点睛】
考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．
14．355
【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
．
则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣1
2
=
3
2
．
在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC=22
2+1=5．
设AC边上的高线长是x．则1
2
AC•x=5
2
x=
3
2
，
解得：x=3
5
5
．
故答案为3
5 5
.
15．100
【解析】
蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线：
第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，
则所走的最短线段AB==10cm；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，
所以走的最短线段AB==10cm；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，
所以走的最短线段AB==100cm；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故答案为100cm．
点睛：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．
16．8或10或12或25 3
【详解】
解：①如图1：
当BC=CD=3m时，AB=AD=5m，AC⊥BD，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×6×4=12（m2）；
②如图2：
当AC=CD=4m时，AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
×4×4=8（m2）；
③如图3：
当AD=BD时，设AD=BD=xm，
在Rt△ACD中，CD=（x-3）m，AC=4m，
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，
解得x=25
6
，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×
25
6
×4=
25
3
（m2）；
④如图4，
延长BC到D，使BD=AB=5m，故CD=2m，
此时等腰三角形绿地的面积：1
2
BD·AC=
1
2
×5×4=10（m2）；
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或25
3
m2．
点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形．
17．49
【解析】
连接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC=22
AB BC
=10．
在△ADC中，∵AD=CD=52，∴AD2+CD2=（52）2+（52）2=100．
∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形
ABCD =S△ABC+S△ACD=
1
2
AB•BC+
1
2
AD•DC=
1
2
×8×6+
1
2
×52×52=24+25=49．
点睛：本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．7 8
【解析】
试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°，再根据折叠性质得∠DAC=∠D′AC，而∠DAC=∠ACB，则∠D′AC=∠ACB，所以AE=EC，设BE=x，则EC=4-x，AE=4-x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可．
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=3，BC=AD=4，AD∥BC，∠B=90°，
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∴∠D′AC=∠ACB，∴AE=EC，
设BE=x，则EC=4﹣x，AE=4﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，
∴32+x2=（4﹣x）2，解得x=7
8
，
即BE的长为7
8
．
19．49【分析】
先计算出BC 的长，再由勾股定理求出阴影部分的面积即可.
【详解】
∵∠ACB=90︒，25AB = ，24AC =,
∴22222252449BC AB AC =-=-=,
∴阴影部分的面积=249BC =，
故答案为：49.
【点睛】
此题考查勾股定理，能利用根据直角三角形计算得到所需的边长，题中根据勾股定理的图形得到阴影部分面积等于BC 的平方是解题的关键.
20．4913
【解析】
【分析】
如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】
如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==
,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线
1123,52
B CG B
C ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=
123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴
CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒
390B ∴∠+∠=︒
230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒
CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==
7512AG AD DG ∴=+=+=
在Rt ACG ∆中，13AC ===
13CE AB AC ==∴= 由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=
⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013
CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-
=
故答案为：49 13
．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．
三、解答题
21．（1）42
3
；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，
6
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；
（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.
【详解】
解：（1）
1
31224823
3
⎛
÷
⎝
=
2
(63343)23
3
÷
=
28
(3)(23) 3
÷
＝42
3
；
（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：
∵a、b、c满足2
|a2332b(c30)0
-+-=，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，c300，
∴a＝3，b＝2，c30
∵，，
∴以a 、b 、c 为边能组成三角形，
∵a ＝，b ＝，c
∴a 2+b 2＝c 2，
∴以a 、b 、c 为边能构成直角三角形，直角边是a 和b ，
则此三角形的面积是
12
⨯. 【点睛】
此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.
22．（1）AE=BD 且AE ⊥BD ；（2）6；（3）PQ 为定值6，图形见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，可得AE ⊥BD ； （2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ，可得AE=BD ，∠EAC=∠DBC ，可得AE ⊥BD ，由等腰三角形的性质可得PA=AQ ，由勾股定理可求PA 的长，即可求PQ 的长．
【详解】
解：（1）AE=BD ，AE ⊥BD ，
理由如下：∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE ⊥BD ；
（2）∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴，
∴PQ=2AQ=6；
（3）如图3，若点D 在AB 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D 在BA 的延长线上，
∵△ABC ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB ，且AC=BC ，CE=CD ，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ）
∴AE=BD ，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ ，AE ⊥BD ，
∴PA=AQ ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=22=2516=3EQ AE --，
∴PQ=2AQ=6.
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明AE ⊥BD 是本题的关键．
23．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60
【分析】
（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长
【详解】
解：（1）∵a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，
∴2881||7(15)a a c b -+-+-＝﹣，
∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，
∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；
（2）能．
∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，
∴82+152＝172．
∴a 2+c 2＝b 2，
∴此三角形是直角三角形，
∴三角形的周长＝8+15+17＝40；
三角形的面积＝
12
×8×15＝60． 【点睛】
此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状. 24．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =216;(3)BC=2OC=273,AB=10.
【分析】
(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【详解】
(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2
222631267BE DE +=
+= ∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以22228373AC OA +=+所以73
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
25．（1）详见解析；（2）①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根，理由详见解析；②
512
m n = 【分析】
（1）根据题意，利用尺规作图画出图形即可；
（2）①根据勾股定理求出AD ，然后把AD 的值代入方程，即可得到答案；
②先得到出边长的关系，然后根据勾股定理，列出方程，解方程后得到答案.
【详解】
（1）解：作图，如图所示：
（2）解：①线段AD 的长度是方程2220x mx n +-=的一个根.
理由如下：依题意得， BD BC m ==，
在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒
222BC AC AB ∴=+
22AB m n =+22AD AB BD m n m ∴=-=+
222AD m AD n ∴+-
)()
2222222m n m m m n m n =+++-
22222222m n m m n =+-+-
0=；
∴线段AD 的长度是方程22 20x mx n +-=的一个根
②依题意得：,,AD AE BD BC AB AD BD ====
2AD EC =
2233
AD AE AC n ∴=== 在RT ABC 中，90ACB ∠=
222BC AC AB ∴+=
2
2223m n n m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 22224493
m n n mn m +=++ 25493
n mn = 512
m n ∴= 【点睛】
本题考查的是基本作图，勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12
ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
27．（1）2，2）证明见解析（3（4【分析】
（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2，再由勾股定理即可求出AC 的长； （2）由ED 为AB 垂直平分线可得DB=DA ，在Rt △BDE 中，由勾股定理可得BD=4，可得BD=2BE ，故∠BDE 为60°，即可证明ABD ∆是等边三角形；
（3）由（1）（2）可知，AC AD=4，进而可求得CD 的长，再由等积法可得BCD ACD ACBD S S S =+四边形，代入求解即可；
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，构造Rt △PQE ，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
（1）∵Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，
∴122
BC AB =
=，∴AC = （2）∵ED 为AB 垂直平分线，∴ADB=DA ，
在Rt △BDE 中，
∵122BE AE AB ==
=，DE =
∴BD =，
∴BD=2BE ，∴∠BDE 为60°，
∴ABD ∆为等边三角形；
（3））由（1）（2）可知，AC ，AD=4，
∴CD =
∵BCD ACD ACBD S S
S =+四边形， ∴111()222
BC AD AC AC AD BF CD +⨯=⨯+⨯，
∴7BF =
（4）分点P 在线段AC 上和AC 的延长线上两种情况，
如图，过点E 作AC 的垂线交AC 于点Q ，
∵AE=2，∠BAC=30°，∴EQ=1， ∵=23AC ，∴=3CQ QA =，
①若点P 在线段AC 上， 则23=3333PQ CQ CP =-=， ∴22233
PE PQ EQ =+； ②若点P 在线段AC 的延长线上， 则2533333PQ CQ CP =+=， ∴22221=3
PE PQ EQ =+； 综上，PE 23221. 【点睛】 本题考查勾股定理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法表示并求出BF 的长，二是对点P 的位置要分情况进行讨论.
28．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 73
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；
（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.
【详解】
解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --
∴()(
)22AB 234813=+++=
故A 、B 两点间的距离为：13.
∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1
∴()MN 415=--= 故M 、N 两点的距离为5.
（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F
∴()()
22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=
-+-= ()()22EF 343252=--+-=
∴DE=DF ，222DE DF EF +=
∴△DEF 为等腰直角三角形
（3）
作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短
设直线DF'的解析式为y=kx+b
将D （1,6），F'（4，-2）代入得：
642k b k b +=⎧⎨+=-⎩
解得83263k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线DF'的解析式为：826y 33x =-
+ 令y=0，解得13x 4=
，即P 的坐标为（1304
，） ∵PF=PF'
∴PD+PF=PD+ PF'= DF'=()()22146273-++= 故当P 的坐标为（
1304
，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度为73. 【点睛】 本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x 轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.
29．（1）AB ＝45；（2）见解析；（3）CD +CF 的最小值为47.
【分析】
（1）根据勾股定理可求AB 的长；
（2）过点D 作DF ⊥AO ，根据等腰三角形的性质可得OF ＝EF ，根据轴对称的性质等腰直角三角形的性质可得AF ＝DF ，设OF ＝EF ＝x ，AE ＝4﹣2x ，根据勾股定理用参数x 表示 DE ，CE 的长，即可证CE ＝2DE ；
（3）过点B 作BM ⊥OB ，在BM 上截取BM ＝AO ，过点C 作CN ⊥BM ，交MB 的延长线于点N ，根据锐角三角函数可得∠ABO ＝30°，根据轴对称的性质可得AC ＝AO ＝4，BO ＝BC ＝43，∠ABO ＝∠ABC ＝30°，∠OAB ＝∠CAB ＝60°，根据“SAS ”可证
△ACF ≌△BMD ，可得CF ＝DM ，则当点D 在CM 上时，CF +CD 的值最小，根据直角三角形的性质可求CN ，BN 的长，根据勾股定理可求CM 的长，即可得CF +CD 的最小值．
【详解】
（1）∵点A （0，4），B （m ，0），且m ＝8，
∴AO ＝4，BO ＝8，
在Rt △ABO 中，AB ＝2245AO BO +=
（2）如图，过点D 作DF ⊥AO ，
∵DE ＝DO ，DF ⊥AO ，
∴EF ＝FO ，
∵m ＝4，
∴AO ＝BO ＝4，
∴∠ABO ＝∠OAB ＝45°，
∵点C ，O 关于直线AB 对称，
∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，AO ＝AC ＝OB ＝BC ＝4，
∴∠CAO ＝∠CBO ＝90°，
∵DF ⊥AO ，∠BAO ＝45°，
∴∠DAF ＝∠ADF ＝45°，
∴AF ＝DF ，。