重庆市第一中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题
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x1 x2 21 ，求直线 l 的方程． x2 x1 2 21．已知锐角 VABC 的角 A, B,C 对边分别是 a,b,c ，且满足 3 sin A cos A b a ．
c (1)求角 C 的大小；
试卷第 3 页，共 4 页
(2)若 c
3
，求
uuur AB
uuur BC
uuur BC
uuur CA
uuur CA
uuur AB
的取值范围．
22．如图， P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， AC 为底面直径，△ ABD 为底面圆
O 的内接正三角形，且△ ABD 的边长为 3 ，点 E 在母线 PC 上，且 AE 3 ， CE 1．
(1)求证：直线 PO// 平面 BDE ，并求三棱锥 P BDE 的体积： (2)若点 M 为线段 PO 上的动点，当直线 DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此 时点 M 到平面 ABE 的距离．
重庆市第一中学校 2022-2023 学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 i 为虚数单位，复数 z a2 1 (a 1)i (a R) 为纯虚数，则 z （ ）
A． 2
uuuur MC)
t2
1
t
0 的点
M
只有
2
1 个，则正实数 t 的值为________．
四、解答题
17．已知
ar
(1, 0)
，
r b
(2,1)
．
(1)当
k
为何值时，
kar
r b
与
r b
垂直？
(2)若
uuur AB
2ar
r 3b
，
uuur BC
ar
r mb
且
A
、
B
、
C
三点共线，求
m
的值．
18．在平面直角坐标系中，圆 C 过点 A(4,0) ， B(2, 2) ，且圆心 C 在 x y 2 0 上．
(1)求圆 C 的方程；
(2)若已知点 P(4, 2 3) ，过点 P 作圆 C 的切线，求切线的方程．
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ， AD AB ， PA AD AB 2 ， BC 1 ， M 为 PC 中点．
D．过点 P 1, 2 且在 x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为 x y 3 0
10．已知直线 l ： y kx 2k 2(k R) 与圆 C ： x2 y2 2y 8 0 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．直线 l 过定点 (2,2) B．直线 l 与圆 C 相离 C．圆心 C 到直线 l 距离的最大值是 2 2 D．直线 l 被圆 C 截得的弦长最小值为 4 11． VABC 的角 A, B,C 对边分别是 a,b,c ，则下列说法正确的是（ ） A．若 sin A sin B ，则 A B
uuur uuur B．若 AC CB 0 ，则 VABC 是锐角三角形．
C．若 cos( A B)cos( B C)cos(C A) 1 ．则 VABC 是等边三角形
D．若
A
B
2
，则
sin
A
sin
B
2
12．已知异面直线 m, n 相互垂直，点 A, B 分别是 m, n 上的点，且 AB m ， AB n ，动
(1)求证： PB DM ； (2)求二面角 P CD A 的余弦值．
20．已知一个动点 P 在圆 x2 y2 36 上移动，它与定点 Q 4, 0 所连线段的中点为 M .
(1)求点 M 的轨迹方程；
(2)过定点 0, 3 的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A x1, y1 ， B x2, y2 且满足
A． 3x 3y 1 0 C． 2x 2y 1 0
B． 3x 3y 1 0 D． 2x 2y 1 0
试卷第 1 页，共 4 页
二、多选题 9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y 3x 2 在 y 轴上的截距是 2 B．直线 2x y 5 0经过第一、二、三象限
C．过点 5, 0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 x 5 0
方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球的截面面积的最小值为（ ）
A． 2π
B． 3 π 2
C． π
D． π 2
8．已知点 P 为直线 l ：x y 2 0 上的动点，过点 P 作圆 C ：x2 2x y2 0 的切线 PA ，
PB ，切点为 A, B ，当 PC AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
(x 6)2 ( y 2)2 9 上的动点，则 PF PE 的最大值为________．
16．在 VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 ac b 2 4 ，cos(A C) 1 cos B ， 2
点
M
为
VABC
内部一动点（包含边界），若满足
uuur 别位于直线 m, n 上，直线 CD 与直线 AB 所成角为 60o ， CD 4 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． AB 2
B．若连接点 A, B,C, D 构成三棱锥 A BCD ，则三棱锥 A BCD 的体积最大值为 6 2 C．若点 M 为线段 CD 的中点，则点 M 的轨迹为圆 D．若连接点 A, B,C, D 构成三棱锥 A BCD ，则其外接球的表面积为16π
三、填空题 13．若圆锥的底面半径为 2．体积为 4π ，则母线长为________． 14．在△ ABC 中，a 、b 、c 分别为 A 、 B 、C 的对边.已知 a 4 ，b 2 ，C 60 ，则 △ ABC 外接圆的半径是________.
试卷第 2 页，共 4 页
15．已知点 P 在直线 y x 2 上运动，点 E 是圆 x2 y2 1 上的动点，点 F 是圆
B．2
C． 2 2
D．4
2．直线 x 3y 1 0 的倾斜角为
A． 6
B． 3
C． 2
3
D． 5
6
3．平面向量
ar
，
r b
满足| ar
|
r 2 ，| b
| 1，向量 ar
与
r b
的夹角为
2π 3
，则
rr a 2b
（
）
A． 2 2
B．4
C．2
D． 2
4．已知直线 ax 2y 6 0与直线 x (a 1) y a2 1 0 互相平行，则实数 a 的值为( )
试卷第 4 页，共 4 页
A． 2
B．2 或 1
C．2
D． 1
5．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB 2, AA1 1 ，点 D 为 AB 中点，则异面直线 BC 与
C1D 所成角的余弦值为（）
A． 3 4
B． 3 2
C． 2 3
D． 1
2
6．设 m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m / / ， m / / ，则 / /
B．若 / / ， m ， n ，则直线 m // n
C．若 m ， m // n ，则 n
D．若 ， m ，则 m
7．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 AB 的中点，过点 M 的平面 截正
c (1)求角 C 的大小；
试卷第 3 页，共 4 页
(2)若 c
3
，求
uuur AB
uuur BC
uuur BC
uuur CA
uuur CA
uuur AB
的取值范围．
22．如图， P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， AC 为底面直径，△ ABD 为底面圆
O 的内接正三角形，且△ ABD 的边长为 3 ，点 E 在母线 PC 上，且 AE 3 ， CE 1．
(1)求证：直线 PO// 平面 BDE ，并求三棱锥 P BDE 的体积： (2)若点 M 为线段 PO 上的动点，当直线 DM 与平面 ABE 所成角的正弦值最大时，求此 时点 M 到平面 ABE 的距离．
重庆市第一中学校 2022-2023 学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 i 为虚数单位，复数 z a2 1 (a 1)i (a R) 为纯虚数，则 z （ ）
A． 2
uuuur MC)
t2
1
t
0 的点
M
只有
2
1 个，则正实数 t 的值为________．
四、解答题
17．已知
ar
(1, 0)
，
r b
(2,1)
．
(1)当
k
为何值时，
kar
r b
与
r b
垂直？
(2)若
uuur AB
2ar
r 3b
，
uuur BC
ar
r mb
且
A
、
B
、
C
三点共线，求
m
的值．
18．在平面直角坐标系中，圆 C 过点 A(4,0) ， B(2, 2) ，且圆心 C 在 x y 2 0 上．
(1)求圆 C 的方程；
(2)若已知点 P(4, 2 3) ，过点 P 作圆 C 的切线，求切线的方程．
19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面四边形 ABCD 为直角梯形， AD∥BC ， AD AB ， PA AD AB 2 ， BC 1 ， M 为 PC 中点．
D．过点 P 1, 2 且在 x 轴，y 轴上的截距相等的直线方程为 x y 3 0
10．已知直线 l ： y kx 2k 2(k R) 与圆 C ： x2 y2 2y 8 0 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．直线 l 过定点 (2,2) B．直线 l 与圆 C 相离 C．圆心 C 到直线 l 距离的最大值是 2 2 D．直线 l 被圆 C 截得的弦长最小值为 4 11． VABC 的角 A, B,C 对边分别是 a,b,c ，则下列说法正确的是（ ） A．若 sin A sin B ，则 A B
uuur uuur B．若 AC CB 0 ，则 VABC 是锐角三角形．
C．若 cos( A B)cos( B C)cos(C A) 1 ．则 VABC 是等边三角形
D．若
A
B
2
，则
sin
A
sin
B
2
12．已知异面直线 m, n 相互垂直，点 A, B 分别是 m, n 上的点，且 AB m ， AB n ，动
(1)求证： PB DM ； (2)求二面角 P CD A 的余弦值．
20．已知一个动点 P 在圆 x2 y2 36 上移动，它与定点 Q 4, 0 所连线段的中点为 M .
(1)求点 M 的轨迹方程；
(2)过定点 0, 3 的直线 l 与点 M 的轨迹交于不同的两点 A x1, y1 ， B x2, y2 且满足
A． 3x 3y 1 0 C． 2x 2y 1 0
B． 3x 3y 1 0 D． 2x 2y 1 0
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二、多选题 9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y 3x 2 在 y 轴上的截距是 2 B．直线 2x y 5 0经过第一、二、三象限
C．过点 5, 0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 x 5 0
方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球的截面面积的最小值为（ ）
A． 2π
B． 3 π 2
C． π
D． π 2
8．已知点 P 为直线 l ：x y 2 0 上的动点，过点 P 作圆 C ：x2 2x y2 0 的切线 PA ，
PB ，切点为 A, B ，当 PC AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ）
(x 6)2 ( y 2)2 9 上的动点，则 PF PE 的最大值为________．
16．在 VABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 ac b 2 4 ，cos(A C) 1 cos B ， 2
点
M
为
VABC
内部一动点（包含边界），若满足
uuur 别位于直线 m, n 上，直线 CD 与直线 AB 所成角为 60o ， CD 4 ，则下列说法
正确的是（ ）
A． AB 2
B．若连接点 A, B,C, D 构成三棱锥 A BCD ，则三棱锥 A BCD 的体积最大值为 6 2 C．若点 M 为线段 CD 的中点，则点 M 的轨迹为圆 D．若连接点 A, B,C, D 构成三棱锥 A BCD ，则其外接球的表面积为16π
三、填空题 13．若圆锥的底面半径为 2．体积为 4π ，则母线长为________． 14．在△ ABC 中，a 、b 、c 分别为 A 、 B 、C 的对边.已知 a 4 ，b 2 ，C 60 ，则 △ ABC 外接圆的半径是________.
试卷第 2 页，共 4 页
15．已知点 P 在直线 y x 2 上运动，点 E 是圆 x2 y2 1 上的动点，点 F 是圆
B．2
C． 2 2
D．4
2．直线 x 3y 1 0 的倾斜角为
A． 6
B． 3
C． 2
3
D． 5
6
3．平面向量
ar
，
r b
满足| ar
|
r 2 ，| b
| 1，向量 ar
与
r b
的夹角为
2π 3
，则
rr a 2b
（
）
A． 2 2
B．4
C．2
D． 2
4．已知直线 ax 2y 6 0与直线 x (a 1) y a2 1 0 互相平行，则实数 a 的值为( )
试卷第 4 页，共 4 页
A． 2
B．2 或 1
C．2
D． 1
5．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB 2, AA1 1 ，点 D 为 AB 中点，则异面直线 BC 与
C1D 所成角的余弦值为（）
A． 3 4
B． 3 2
C． 2 3
D． 1
2
6．设 m ，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 m / / ， m / / ，则 / /
B．若 / / ， m ， n ，则直线 m // n
C．若 m ， m // n ，则 n
D．若 ， m ，则 m
7．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 为 AB 的中点，过点 M 的平面 截正