广州市2019届高三12月调研测试数学文试题(小题解析版)

秘密 ★ 启用前 试卷类型： A
2019届广州市高三期末调研测试
文科数学 2018．12
本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B
铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合(){
}
2
11P x x =-<，{}
11Q x x =-<<，则P
Q =
A ．()1,2-
B ．()1,0-
C ．()1,2
D ．()0,1 答案：D
考点：集合的运算，一元二次不等式。

解析：{
}2
20P x x x =-<＝{
}02x x <<，所以，P Q =()0,1
2．若复数z 满足()1i +z 12i =+，则z =
A ．
22 B ．32 C ．102
D ．12
答案：C
考点：复数的运算，复数模的概念。

解析：121(12)(1)31
222i
i i i z i +++-==
=+，所以，z =9144+＝10
2
3．下列函数中，既是奇函数，又在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增的是 A ．2sin x y x =- B ．122x
x y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．sin y x x =-
D ．cos y x x =-
答案：B
考点：函数的奇偶性和单调性。

解析：A 、D 不是奇函数，排除。

对于C ，'cos 1y x =-＜0，所以，在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减的，排除。

对于D ，11
()2
()()2()22
x
x x x f x f x ---=-=-=-，是奇函数， 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，2x
y =是增函数，1()2x y =-是增函数，所以，122x
x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
是增函数。

4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年
12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误．．的是 A ．年接待游客量逐年增加
B ．各年的月接待游客量高峰期在8月
C ．2015年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：C 考点：统计图。

解析：年接待游客量总体趋势向上，逐年增加，所以A 正确；
由图可知，各年的8月接待游客量最高，所以，月接待游客量高峰期都在8月，B 正确； 从图象上看，各前前6月比较稳定，波动小，D 正确；
对于C ，2015年1月至12月月接待游客量的中位数为，6月、7月的平均数：2937
2
+＝33 大约是33万，且6、7月游客量的中点不在30万上，所以，C 错误，选C 。

5.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
A ．
6π B ．
863
π
C ．86π
D ．24π
答案：A
考点：三视图，球的体积。

解析：如图，该几何体为四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 为矩形， 其中PA ⊥底面ABCD ，AB ＝2，AD ＝1，PA ＝1， 该阳马外接球的直径为PC ＝1146++=， 所以，该阳马外接球的体积为：V ＝
346
()32
π⨯⨯＝6π
6．已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足4BD DC =，则AD 可表示为
A ．1344AD A
B A
C =+ B ． 31
44AD AB AC =+ C ．4155AD AB AC =+ D ． 14
55
AD AB AC =+
答案：D
考点：平面向量的三角形法则。

解析：44()55AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+
=+-＝14
55
AB AC +
7．已知双曲线C 的中心为坐标原点，离心率为3，点()
22,2P -在C 上，则C 的方程为
A ．22142x y -=
B ．221714x y -=
C ．22124x y -=
D ．22
1147
y x -=
答案：B
考点：双曲线的标准方程与性质。

解析：离心率3c
e a
=
=，又222c a b =+，所以，222b a =， 设双曲线方程为：222212x y a a -=，点()
22,2P -代入，得：2282
12a a
-=
解得：2
a ＝7，所以，双曲线方程为：22
1714
x y -=，
焦点在y 轴上时不符合，所以，选B 。

8．由12sin(6)6y x π=-的图象向左平移3
π
个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后， 所得图象对应的函数解析式为
A ．12sin(3)6
y x π=- B ．12sin(3)6y x π=+ C ．12sin(3)12
y x π=- D ．12sin(12)6
y x π=-
答案：A
考点：三角函数图象的平移与伸缩变换。

解析：12sin 66y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的图象向左平移
3
π
个单位，得到：
12sin 6()2sin(62)2sin(6)3666y x x x πππππ⎛
⎫=+-=+-=- ⎪⎝
⎭，
再将2sin(6)6y x π
=-
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到：2sin(3)6
y x π
=-，
所以，选A 。

9．3=a 是直线0=3+2+a y ax 和7-=1-+3a y a x )(平行的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：C
考点：充分必要条件，直线方程。

解析：3=a 时，两条直线为：3290x y ++=和324x y +=-，斜率相等，是平行的，充分性成立。

当a =1时，两直线不平行，当a ≠1时，两直线平行，得：
321
a a -
=-
-，化为：2
60a a --=，解得：a =3或a ＝－2， 当a ＝－2时，两条直线为：30x y -+=和30x y -+=重合，不是平行的，所以舍去 即a =3，必要性成立，选C 。

10. 若实数x ，y 满足不等式组()()125002x y x y x --+-≥⎧⎪⎨
≤≤⎪⎩，
，
则2z x y =-的取值范围是
A ．[]5,3-
B ．[]5,1-
C ．[]1,3
D ．[]5,5- 答案：A
考点：线性规划。

解析：原不等式组化为：1025002x y x y x --≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤≤⎩，，（1） 或1025002x y x y x --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≤≤⎩
，，（2）
（1）没有公共部分，不符合，不等式组（2）的平面区域如下图：
2z x y =-过点A （0,5）时取得最小值－5 2z x y =-过点B （2,1）时取得最大值3，
所以，取值范围为：[]5,3-
11．已知ABC ∆的内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ，且
222sin sin sin A B C c +-=
sin sin cos cos A B
a B
b A
+，若4a b +=，则c 的取值范围为 A ． ()0,4 B ．[)2,4 C ． [)1,4 D ．(]2,4 答案：B
考点：正弦定理，余弦定理，基本不等式。

解析：因为222sin sin sin A B C c +-=
sin sin cos cos A B
a B
b A +，由正弦定理，得： 222sin a b
c C +-=sin cos sin cos ab
A B B A +＝sin(+)sin ab ab A B C
=
， 所以，2
2
2
a b c ab +-=，由余弦定理，得：
cosC ＝2221222a b c ab ab ab +-==，所以，C ＝3
π，
2222cos c a b ab C =+-＝2()3a b ab +-＝2
163163(
)42
a b ab +-≥-⨯=， 所以，c ≥2，
又三角形的两边之和大于第三边，所以，2≤c ＜4，选B 。

12．已知椭圆Γ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴是短轴的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直
线与Γ相交于A ，B 两点．若3AF FB =，则k = A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
答案：D
考点：椭圆的性质，平面向量的坐标运算，要求有较强的计算能力。

解析：依题意，得：2a b =，又2
2
2
a b c =+，所以，2
2
43
a c =
所以，椭圆的方程变为：22
22114
x y a a +=，即：2224x y a += ①， 过右焦点F （c ，0）且斜率为(0)k k >的直线为：()y k x c =- ②， 由①②，消去y ，得：2
2
2
2
4()x k x c a +-=，即：
222222(14)840k x k cx k c a +-+-=，
设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则1x +2x ＝22814k c k +，1x 2x ＝222
2
414k c a k
-+，
又3AF FB =，得：1122(,)3(,)c x y x c y --=-，即有：1234x x c +=，
解得：1x ＝224214k c c k -+，2x ＝22
4214k c c
k ++，
所以，224214k c c k -+⨯
224214k c c k ++＝222
2
414k c a k -+，即 42222224
164(14)(4)3
k c c k k c c -=+-，化简，得2k ＝2，
所以，2(0)k k =
>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知13
2a =，则()2log 2a = ． 答案：
43
考点：指数运算，对数运算。

解析：13
2a =得：143
3
2222a =⨯=，换为对数，得：()2log 2a =
43
14．设θ为第二象限角，若1
tan 42
πθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则cos θ = ． 答案：310
10
-
考点：两角和的正切公式，同角三角函数之间的关系。

解析：tan 11tan 41tan 2
πθθθ+⎛⎫
+== ⎪
-⎝
⎭，解得：1
tan 3θ=-， 即
sin 1
cos 3
θθ=-，又22sin cos θθ+＝1，且θ为第二象限角， 解得：cos θ＝310
10
-
15圆锥底面半径为1，高为22，点P 是底面圆周上一点，则一动点从点P 出发，绕圆锥侧面一
圈之后回到点P ，则绕行的最短距离是
答案：33
考点：圆锥的侧面展开图，三角函数。

解析：圆锥底面半径为r ＝1，高为h ＝22，如下图， 母线长SP ＝3， 由：3
21180
θππ⨯⨯⨯=
，得：120θ=︒，
绕行的最短距离是为P 'P ＝2×3sin60º＝33
16．已知过点(,0)A a 作曲线:x
C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是 ． 答案：()
(),40+-∞-∞，
考点：函数的导数及其应用。

解析：设切点坐标为()00y x ，，
因为'(1)x
y x e =+，所以，切线斜率为：00(1)x
k x e =+， 切线方程为：
又因为切线过点(,0)A a ， 所以，
化简，得：
（1）
因为过点作曲线C 的切线有且仅有两条，所以方程（1）有两个解，
实数a 的取值范围是()(),40+-∞-∞，
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，1222n n a a a -=+-()2n ≥． （1）证明：数列{}1n a +为等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？
18．（本小题满分12分）
某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.
如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.
求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF
AB ，2AB =,
1BC EF ==,6AE =,3DE =,60BAD ∠=，G 为BC 的中点.
（1）求证：FG
平面BED ；
（2）求证：BD ⊥平面AED ； （3）求点F 到平面BED 的距离.
20.（本小题满分12分）
已知动圆C 过定点(1,0)F ，且与定直线1x =-相切． （1）求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；
（2）过点()2,0M -的任一条直线l 与轨迹E 交于不同的两点,P Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N （异于点M ），使得QNM PNM π∠+∠=？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数()f x x =e ()ln x
a x x ++.
（1）若a =-e ，求()f x 的单调区间；
（2）当0a <时，记()f x 的最小值为m ，求证：1m ≤．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=2
3c o s
2s i n ρθθ+，直线1:()6
l π
θρ=
∈R ，直线
2:()3
l π
θρ=
∈R ．
以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求直线1l ，2l 的直角坐标方程以及曲线C 的参数方程；
（2）已知直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AOB ∆的面积．
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()()1
3
f x x a a =
-∈R ． （1）当2a =时，解不等式()1
13
x f x -
+≥； （2）设不等式()13x f x x -+≤的解集为M ，若11,32M ⎡⎤
⊆⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的取值范围．
2019届广州市高三年级调研测试 文科数学试题参考答案及评分标准
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
题号 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 答案
D
C
B
C
A
D
B
A
C
A
B
D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
4
3 14．31010
- 15．33 16．()(),40,-∞-+∞
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 解：（1）证明：∵37a =，3232a a =-，∴23a =, ……………………………………1分
∴121n n a a -=+， ……………………………………2分 ∴11a =， ……………………………………3分
111122211
n n n n a a a a ---++==++()2n ≥， ……………………………………5分
∴{}1n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列． …………………………………………6分 （2）解：由（1）知，12n
n a +=， ……………………………………7分 ∴21n
n a =-， ……………………………………8分
∴()12122212
n n n S n n +-=
-=---， ……………………………………9分
∴()()
12222210n n n n n S a n n ++-=+----=， ……………………10分 ∴2n n n S a +=. ……………………11分 即n ，n a ，n S 成等差数列． ……………………12分 18．解：
（1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
4500.0015100+⨯⨯ ……………………………2分 265=. ……………………………3分 故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤. …………………………4分 （2）当日需求量不低于250公斤时，利润=()2515250=2500y ⨯－元, ………………5分
当日需求量低于250公斤时，利润2515250=()()5=151250x y x x ---⨯-元 , ……6分
所以151250,0250,
2500,250500.
x x y x -≤<⎧=⎨
≤≤⎩ ……………………………8分
由1750y ≥得，200500x ≤≤, ……………………………9分 所以(1750)P y ≥＝(200500)P x ≤≤ ……………………………10分
=0.0030100+0.0025100+0.0015100⨯⨯⨯
=0.7.
…………………………11分 故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . ……………………………12分 19． 解：（1）证明：取BD 的中点O ，连接OE ，OG
在BCD ∆中，因为G 是BC 的中点，
所以OG DC 且1
1
2
OG DC =
=，……………1分 因为EF AB ，AB
DC ，1EF =，
所以EF
OG 且EF OG =，……………………2分
所以四边形OGFE 是平行四边形，所以FG
OE ， ………………………3分
又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以FG
平面BED ． ……………………………4分
（2）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ∠=，
由余弦定理得22
1
1221232
BD =+-⋅⋅⋅=， …………………………5分 因为2
2
2
314BD AD AB +=+==，
所以BD AD ⊥. …………………………6分 因为平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,平面AED
平面ABCD AD =，
所以BD ⊥平面AED . ……………………………7分
（3）解法1：由（1）FG
平面BED ，
所以点F 到平面BED 的距离等于点G 到平面BED 的距离， ……………………8分 设点G 到平面BED 的距离为h ，
过E 作EM DA ⊥，交DA 的延长线于M ，
则EM ⊥平面ABG ，所以EM 是三棱锥E ABG -的高． ……………………9分 由余弦定理可得2cos 3
ADE ∠=
， 所以5
sin 3
ADE ∠=
,sin 5EM DE ADE =⋅∠=. ………………………………10分 13,24DBG S DB BG ∆=
⋅=133
22
BDE S BD DE ∆=⋅=
. 因为G BDE E DBG V V --=，………………………………11分 即113
3BDE DBG S h S EM ∆∆⋅=
⋅，解得56
h =. 所以点F 到平面BED 的距离为
6
5
． ………………………………12分
解法2：因为EF AB ，且1
2
EF AB =
, 所以点F 到平面BED 的距离等于点A 到平面BED 的距离的
1
2
， ……………8分 由（2）BD ⊥平面AED .
因为BD ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面AED ．
过点A 作AH DE ⊥于点H ，又因为平面BED
平面AED ED =，故⊥AH 平面BED .
所以AH 为点A 到平面BED 的距离．…………………9分 在ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，
由余弦定理可得2cos 3
ADE ∠=
所以5
sin 3
ADE ∠=
， …………………10分 因此3
5
sin =
∠⋅=ADE AD AH ， ……………………………………11分 所以点F 到平面BED 的距离为
6
5
． …………………………………12分
20．（1）解法1：依题意动圆圆心C 到定点(1,0)F 的距离，与到定直线1x =-的距离相等，…1分 由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，1x =-为准线的抛物线， ……2分
其中2p =．∴动圆圆心C 的轨迹E 的方程为2
4y x =． …………………………3分
解法2：设动圆圆心C (),x y ，依题意：
()
2
211x y x -+=+. ………………………2分
化简得：2
4y x =，即为动圆圆心C 的轨迹E 的方程． ………………………3分 （2）解：假设存在点()0,0N x 满足题设条件．
由QNM PNM π∠+∠=可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即0PN QN k k += ① ……4分
直线PQ 的斜率必存在且不为0，设:2PQ x my =-, ………………………5分
由242
y x x my ⎧=⎨=-⎩得2480y my -+=． ………………………………6分 由()2
4480m ∆=--⨯>,得2m >
或2m <-． ……………………………7分
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12124,8y y m y y +==． ……………………………………8分 由①式得12
1020PN QN y y k k x x x x +=
+
--()()()()
12021010200y x x y x x x x x x -+-==--, ()()1202100y x x y x x ∴-+-=,即()12210120y x y x x y y +-+=．
消去12,x x ，得
()2
2122101211044
y y y y x y y +-+=, …………………………………………9分 ()()12120121
04
y y y y x y y +-+=, …………………………………………………10分 120,y y +≠0121
24x y y ∴==, ………………………………………………11分
∴存在点()2,0N 使得QNM PNM π∠+∠=． …………………………………………12分
21．（1）解：当a e =-时， ()(ln )x
f x xe e x x =-+，()f x 的定义域是(0,)+∞ ……1分
()()11'()1(1)x x x f x x e e xe e x x +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭
， …………………………………2分
当01x <<时，'()0f x <；当1x >时，'()0f x >． …………………………………3分 所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞． …………………………4分 （2）证明：由（1）得()f x 的定义域是(0,)+∞，1'()()x
x f x xe a x
+=
+， 令()x
g x xe a =+，则'()(1)0x
g x x e =+>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，……………………5分 因为0a <,
所以(0)0g a =<，()0a
g a ae
a a a --=-+>-+=，
故存在()00,x a ∈-，使得000()0x
g x x e a =+=． …………………………………6分 当0(0,)x x ∈时，()0g x <，1'()()0x
x f x xe a x
+=
+<，()f x 单调递减；
当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，1'()()0x
x f x xe a x
+=
+>，()f x 单调递增； 故0x x =时，()f x 取得最小值，即()()00000ln x
m f x x e a x x ==++, ……………………8分 由000x
x e a +=得(
)()00
00ln ln x
x m x e a x e
a a a =+=-+-， ……………………9分
令0x a =->，()ln h x x x x =-，则()()'11ln ln h x x x =-+=-，
当(0,1)x ∈时，()'ln 0h x x =->，()ln h x x x x =-单调递增， ……………………10分 当(1,)x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-<，()ln h x x x x =-单调递减，……………………11分 故1x =，即1a =-时，()ln h x x x x =-取最大值1，故1m ≤． ………………12分
22．解：（1） 依题意，直线1l 的直角坐标方程为3
3
y x =
，2l 的直角坐标方程为3y x =． ……………………………………………………………2分
由=23cos 2sin ρθθ+得2=23cos 2sin ρρθρθ+，
因为2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， …………………………………………………3分 所以22(3)(1)4x y -+-=， …………………………………………………………………4分 所以曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α
⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩（α为参数）．………………………………5分
（2）联立6=23cos 2sin πθρθθ⎧
=⎪
⎨⎪+⎩
得14OA ρ==， ……………………………………6分 同理，223OB ρ==． ……………………………………………………………………7分
又6
AOB π
∠=
， ………………………………………………………………………………8分
所以111
sin 42323222
AOB S OA OB AOB ∆=
∠=⨯⨯⨯=， …………………………9分 即AOB ∆的面积为23． ……………………………………………………………10分 23．解：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-≥， …………………………1分
①当1
3
x ≤时，1323x x -+-≥，解得0x ≤，所以0x ≤； ……………………………2分 ②当
1
23
x <<时，3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x ≤<； ……………………3分 ③当2x ≥时，3123x x -+-≥，解得3
2
x ≥，所以2x ≥． ……………………………4分
综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ≤≥或． ………………………………5分 （2）不等式()1
3
x f x x -
+≤可化为313x x a x -+-≤， 依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32x ⎡⎤
∈
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，……………………………………6分 所以313x x a x -+-≤，即1x a -≤，即11a x a -≤≤+， ……………………………8分
所以1131
12
a a ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423a -≤≤，
故所求实数a 的取值范围是14,23⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦． ………………………………………………………10分。