积分中值定理省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

o a b x 的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x)可导，且 lim f ( x) 1， x
求 lim
x2
3
t sin f (t)dt .
x x
t
解 由积分中值定理知有 [ x, x 2],
使
x2 t sin x
3 t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
lim
x
x2
3
x
t sin t
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx_______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e x dx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx（ k 是常数 ）.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
于是
2 e xdx
2
xdx.
0
0
性质5旳推论：
（1）如果在区间[a, b]上 f ( x) g( x)，
则 b a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
.
(a b)
证 f ( x) g( x), g( x) f ( x) 0,
b
a[g( x) f ( x)]dx 0,
b
b
a g( x)dx a f ( x)dx 0,
于是
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
.
性质5旳推论：
（2）
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx.
(a b)
则 b a
f
(
x)dx
0.
(a b)
证 f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2,, n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
max{x1, x2 ,, xn }
n
lim
0 i1
f (i )xi
b
f ( x)dx 0.
a
例 1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
练习题
一、填空题：
1、如果积分区间 a , b 被点c 分成a , c与c , b，则
定积分的可加性为 b f ( x)dx __________； a
2、如 果 f ( x)在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为
M 与 m ，则 a f ( x)dx 有如下估计式：_________ b
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx .
补充：不论 a,b,c旳相对位置怎样, 上式总成立.
x sin x2
x
cos
x(x x2
tan
x)
0,
f ( x)在[ , ]上单调下降,
42
故x 为极大点，x 为极小点,
4
2
M f () 2 2, m f () 2,
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2 4
sin x
xdx
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
例 3
估计积分
2
4
sin xdx的值. x
解 f ( x) sin x , x [ , ]
x
42
f
( x)
x cos
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
积分中值公式旳几何解释：
(a b)
y
在区间[a, b]上至少存在一
个点 ，使得以区间[a, b]为
f ( )
底边， 以曲线 y f ( x)
为曲边的曲边梯形的面积
等于同一底边而高为 f ( )
f ( ) 与 b a 为邻边的矩形面积；
5、(1)>； (2)>； (3)>.
三、1、
9
3 1 3
x
arctan
xdx
2
3
；
2、1 1
dx
arcsin 3 .
2 0 4 2x x2 x3
5
x
)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
( i
)
g( i
)]xi
n
n
lim
0 i1
f (i )xi
lim 0 i1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
（此性质能够推广到有限多种函数作和旳情况）
性质2
b
b
a kf ( x)dx k a f ( x)dx
(k 为常数).
例 若 a b c,
c
a
f ( x)dx
b
a
f
(
x
)dx
c
b f ( x)dx
则
b
a
f
(
x)dx
c
a
f
(
x)dx
c
b
f
(
x)dx
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
b a.
性质5 如果在区间[a, b]上 f ( x) 0，
b g( x)dx ，则在a , b上f ( x) g( x)
.
a
a
练习题答案
一、1、 c f ( x)dx b f ( x)dx ；
a
c
2、m(b a) b f ( x)dx M (b a) , a b ； a
3、
b
f ( x)dx
a f ( x)dx ；
a
b
4、曲边梯形各部分面积的代数和等于
上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？
思索题解答
由 f ( x) g( x)或 f ( x)g( x)在[a, b]上可 积，不能断言 f ( x), g( x)在[a, b]上都可积。
例
f
(
x)
1, 0，
x为有理数 x为无理数
g(x)
0, 1，
x为有理数 x为无理数
显然 f ( x) g( x)和 f ( x)g( x)在[0,1]上可积，但 f ( x), g( x)在[0,1]上都不可积。
2. 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 b a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M(b a)
m
1 ba
b
a
f
( x)dx
M
由闭区间上连续函数旳介值定理知
证 f (x) f (x) f (x),
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx.
阐明： | f ( x)|在区间[a, b]上的可积性是显然旳.
性质6 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证 m f (x) M,
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a).
（此性质可用于估计积分值旳大致范围）
例2
估计积分
0
3
1 sin3
dx 的值. x
解
f
(
x)
3
1 sin3
a
a
三、估计下列积分
3 3
xarc
cot
xdx
的值
.
3
四、证明不等式： 2 x 1dx 2 . 1
六、用定积分定义和性质求极限:
1、lim( 1 1 ... 1 );
n n 1 n 2
2n
2.、lim 4 sinn xdx . n 0
七、设 f ( x)及 g( x)在 a , b 上连续，证明：
_______________________；
3、当 a b 时 ，我们规定 b f ( x)dx 与 a f ( x)dx 的关
a
b
系是______________________；
4、积分中值公式
b f ( x)dx f ( )(b a) , (a b)的几何意义是 a
_______________；
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
二、小结
１．定积分旳性质
（注意估值性质、积分中值定理旳应用）
２．经典问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
思索题
定积分性质中指出，若 f ( x), g( x)在[a, b] 上都可积，则 f ( x) g( x)或 f ( x)g( x)在[a, b]
一、基本内容
对定积分旳补充要求:
（1）当a
b时， b a
f
(
x)dx
0；
（2）当a
b时， b a
f
( x)dx
a
b
f
( x)dx.
阐明 在下面旳性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限旳大小．
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
证
b
a [
f
(
x)
g(
1、若 在 a , b 上
f ( x) 0, 且 b a
f ( x)dx 0
，则在
a , b上 f ( x) 0 ；
2、若在a , b上， f ( x) 0 ,且 f ( x) 不恒等于 0 ，则
b
a f ( x)dx 0 ；
3、若在a , b上 f ( x) g( x),且
b f ( x)dx