2005年湖南省普通高等学校对口招生考试

2005年湖南省普通高等学校对口招生考试
数 学 试 题
(时量120分钟，满分150分)
一、 单选题（在本题的每一个小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确的选项填入题干的括号内，多选不给分。

每小题4分，共60分） 1、满足关系{1，2}⊂A ⊆{1,2,3,4}的集合A 的个数共有 ……………………（ ）
A ．2个 B.3个 C.4个 D.5个
2、若p ：a>b 且c<0,q:ac<bc,则p 是q 的………………………………………（ ）
A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3、若㏑x =b+㏑a ,则x= …………………………………………………………（ ）
A ．b ×10a B.a+10b C.b+10a D.a ×10b 4、若等差数例{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 2005=0且a 1≠0，则以下各式正确的是( )
A ．a 1 + a 2005 >0
B ．a 2 + a 2004 < 0
C ．a ３ + a 2003 =0
D ．a 4 + a 2001=0 5、化简:BD DC AC AB ++-= ………………………………………………………（ ）
A ．零向量 B. AD C ． BD Ｄ．AC 6、函数y=sin x cos(x -5
π
)+cos x sin(x -
5
π
)的周期是…………………………（ ）
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．5π
7、已知sin α+ cos α=2，则 tan α+ cot α= ………………………………（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
8、若不等式ax 2
+5x+c>0的解集为{x|2<x<3}，则a+c= ………………………（ ）
A ．7 B. -5 C. -7 D. 5
9、设直线l 1过两点A （3，0）、B （0，-4），直线l 2为2x-y-1=0，则…………（ ）
A. l 1 ⊥ l 2
B. l 1 与l 2相交但不垂直 C ．l 1 与l 2重合 D ．l 1 // l 2但不重合
10、二元二次方程4x 2
-y 2
+8x+4y-4=0所表示的曲线是…………………………（ ）
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.两条平行线 11、命题：①与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；②与三角形两边平行的平面平行于第三边；③与三角形一边垂直的平面垂直于三角形所在的平面。

其中正确的命题个数为…………………………………………………………………（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
12、某高校电话集团户，电话号码由7位数字组成，前三位数字统一为887，第四位数字只能用1,2,3三个数字，后三位数字可在0~9中任取，那么该集团户最多用户数为………………………………………………………………………（ ） A.107 B ．10 4 C ．3 ⨯ 103 D ．107－10 3 13、由(x 5 + 33)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有……（ ） A ．16项 B ．17项 C ．18项 D ．50项 14、
3
2(1)lim
(25)(1)
x x x x →∞
--+= ……. ( )
A ．
14
B ．－
14
C ．12
D ．－1
2
15、曲线y=2
x 2
2x 1+-在横坐标x=0处的切线方程是……………………………（ ）
A ．y=2x
B ．y=4x+2
C ．x+4y+2=0
D ．4x+y+2=0 二、填空题（每小题4分，共20分）
16、已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=3,f(x+1)-f(x)=4x ，则f(x)= . 17、若x 0
lim f (x )→存在，且x 0sin x
f (x )2lim f (x )
x
→=
+,则x 0
lim f (x )→= .
18、若复数z=( a+2i )2的辐角是2π
，则实数a = ． 19、已知三直线方程分别为l 1 :x －y=0 ；l 2:x+y-4=0；l 3:x=0，则这三条直线所围
成的三角形面积是 .
20、已知PB 垂直于三角形ABC 所在的平面，∠ABC=90o ，PB=1，BC=4，AB=3,
则点P 到AC 的距离为 ．
三、解答题（本大题共8小题，其中第27、28题为选作题，共70分，解答时应写出简要步骤）
21、（本题满分8分）
已知向量a =(1,2)，b =(-3,2)，当实数k 为何值时，向量a +k b 与-1
3a +b 平行，这
时它们的方向是相同还是相反？
22、（本题满分10分）
设三角形三边的长是三个连续整数，最大角是最小角的2倍，求最小角α的余弦值.
23、（本题满分8分）
设甲、乙两人各投篮１次，用A表示甲投中的事件，B表示乙投中的事件，其概率分别为P(A)=0.4,P(B)=0.5，试用A、B及事件运算关系表示下列事件，并求相应事件的概率.
(1)C={二人都投中}.(3分)
(2)D={恰有一人投中}.(3分)
(3)E={至少有一个投中}.(2分)
24、（本题满分12分）
设函数f(x)=k-x 3
31
+
，其中k为实数.
(1)指出f(x)的定义域，并讨论f(x)在定义域内的单调性.(4分)
(2)试确定k的值，使f(x)为奇函数．(4分)
(3)当f(x)为奇函数时，解不等式f(x)>0.(4分)
25、(本题满分12分)
已知直线
2x-y+=0过双曲线
22
22
y x
1
a b
-=(a>0,b>0)的焦点F(0,c)，且与
该双曲线在第三象限交于点P，又已知点P
到原点的距离为.
求：(1) 点P的坐标.(6分)
(2) 双曲线的标准方程.(6分) 26、(本题满分10分)
某仓库运进65桶化工原料，为了方便保管，需将它们堆放成纵截面为等腰梯形的一堆，且相邻两层只差一桶，在不考虑占地面积与堆放高度的条件下，可设计几种堆放方案？(要求写出设计方案所依据的数学公式，并将你设计出的所有方
第27、28题为选做题，分值相等，满分10分，考生可任做一题，如果两题都作了解答，则只给第27题评分.
27、需制作一个体积为60m3的长方体集装箱框架，且宽与长之比为3:5，问高为多少时，该长方体的棱长之和为最小，并求出棱长之和的最小值。

28、向空中发射一枚炮弹，其弹道方程为y=
2
2
k1x kx
400
+
-+，这里取原点为炮弹发射点，k为弹道在原点处切线的斜率．
求：(1) k为何值时，此弹能击中x=150米远处的一铅直面上的最大高度的目标．(5分)
(2) k为何值时，此弹能击中同一水平面上最远的目标．(5分)。