内蒙古省北京八中乌兰察布分校2024学年数学高三上期末联考模拟试题含解析

内蒙古省北京八中乌兰察布分校2024学年数学高三上期末联考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
2．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，4
1
a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，
则n =（ ） A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
3．10
23
1
2
x x ⎛- ⎝的展开式中有理项有（ ） A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．7项
4． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
5．若函数()2
ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,2
D ．()2,e
6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．
A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1
B ．结余最高的月份是7月份
C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D ．前6个月的平均收入为40万元
7．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q =（ ） A ．4±
B ．4
C ．2±
D ．2
8．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm
D ．175cm
9．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ） A ．（1，＋∞）
B ．（1，2）
C ．[2，＋∞）
D ．[1，＋∞）
10．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则
x y
z
+=（ ） A ．52
-
B ．2-
C ．2
D ．
72
11．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米
B ．63厘米
C ．69厘米
D ．76厘米
12．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AB 中点，F 为CD 的三等分点（靠近D ）若AF x AC yDE =+，则
y x -的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．23
-
C ．13
-
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设1234x x x x 、、、为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为,X Y 的方差，则DX _____DY ．（填>，<，=）
X 1x
2x 3x 4x
Y
12
2
x x + 23
2x x + 34
2x x + 41
2x x + P
14 14 14
14
14． “直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的_______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）． 15．已知0a >，0b >，2>c 且1a b +=，则
36
2
ac c b ab c ++-的最小值是______. 16．函数()()cos 2y x φπφπ=+-≤≤的图象向右平移
2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象重合，则
φ=_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31
sin ,tan 53
A A
B =-=，角
C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值；
（2）求边c 的长.
18．（12分）已知函数()()ln 12
a
f x x x =++
+，其中a 为实常数. （1）若存在1n m >≥-，使得()f x 在区间(),m n 内单调递减，求a 的取值范围；
（2）当0a =时，设直线1y kx =-与函数()y f x =的图象相交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，证明：
1222x x k
++>
. 19．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求m 的值；
（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ 擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计
100
()2P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
20．（12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
21．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表： 劳动节当日客流量X 13X <<
35X ≤≤
5X >
频数（年）
2
4
4
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关联关系如下表： 劳动节当日客流量X
13X <<
35X ≤≤
5X >
A 型游船最多使用量
1
2
3
若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？
22．（10分）如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=的菱形, M 为棱PC 上的动点,且
([01])PM
PC
λλ=∈，. (I)求证：PBC ∆为直角三角形；
(II)试确定λ的值，使得二面角P AD M --的平面角余弦值为
25
5
.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B 【解题分析】
计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果. 【题目详解】
由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=， 样本在[)20,40的数据个数为459+=，
因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 2、D 【解题分析】
利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【题目详解】 由
11a ，31a ，4
1a 构成等差数列可得 3143
1111a a a a -=- 即
133414133414
22a a a a d d
a a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+ 解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222
n n n n
S a n d d n d d n =
+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =. 故选：D 【题目点拨】
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 3、B 【解题分析】
由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【题目详解】
72010
3
110
(1)2
r r r r
r T C x
-
-+=-，010r ≤≤，
当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【题目点拨】
本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 4、C 【解题分析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2
510C =，再求出6和28恰好在同一组
包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.
【题目详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为2
510C =，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21
234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043
105
P -==. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 5、A 【解题分析】
试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()1
20f x a x
-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点
【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.
（2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.
（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反. 6、D 【解题分析】
由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 项正确； 结余最高为7月份，为802060-=，故B 项正确；
1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C 项正确；
前6个月的平均收入为1
(406030305060)456
+++++=万元，故D 项错误．
综上，故选D ． 7、D 【解题分析】
由23S =得123a a +=，又2
3412()12a a a a q +=+=，两式相除即可解出q ．
【题目详解】
解：由23S =得123a a +=，
又2
3412()12a a a a q +=+=，
∴24q =，∴2q =-，或2q ，
又正项等比数列{}n a 得0q >， ∴2q
，
故选：D ． 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 8、C 【解题分析】
由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.35
17010173.75(cm)100.040
-+⨯=⨯，故选C ．
9、B 【解题分析】
，
，
∴．
故选． 10、A 【解题分析】 由题意，可得2x z y +=，2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2
z y =-，代入即得解 【题目详解】
由x ，y ，z 成等差数列，
所以2
x z
y +=
，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，
所以2
20x x z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-， 因为x ，y ，z 是不相等的非零实数，
所以2x z =-，此时2z
y =-， 所以15
222
x y z +=--=-． 故选：A 【题目点拨】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11、B 【解题分析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【题目详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203
π
π⨯=≈63(厘米). 故选：B . 【题目点拨】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 12、D 【解题分析】
使用不同方法用表示出AF ，结合平面向量的基本定理列出方程解出． 【题目详解】 解：1
3
AF AD DF AB AD =+=
+， 又11
()()()()2
2
AF xAC yDE x AB AD y AB AD x y AB x y AD =+=++-=+
+-
1231y x x y ⎧+=⎪∴⎨⎪-=⎩解得59
49x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
，所以1y x -=- 故选：D 【题目点拨】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、> 【解题分析】
根据方差计算公式，计算出,DX DY 的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系. 【题目详解】
()12341
4
EX x x x x =
+++，故 ()()()()2222
123414DX x EX x EX x EX x EX ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦()4221144i i x EX =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑.
()23341241123411422224
x x x x x x
x x EY x x x x EX ++++⎛⎫=+++=+++= ⎪⎝⎭，
2222
23341241142
222x x x x x x x x DY EX EX EX EX ⎡⎤
++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()22222233412411442222x x x x x x x x EX ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
. 要比较,DX DY 的大小，只需比较42
1i
i x =∑与2222
23341
2412222x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，两者作差并化简得
22224
2
2334124112222i
i x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑ ()2222
123412233441222224
x x x x x x x x x x x x +++-+++=
()()()()2222
122334414
x x x x x x x x -+-+-+-=
①，
由于1234,,,x x x x 为互不相等的正实数，故0>①，也即
2222
4
223341241
12222i i x x x x x x x x x =⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>+++⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，也即DX DY >. 故答案为：> 【题目点拨】
本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题. 14、必要不充分 【解题分析】
先求解直线l 1与直线l 2平行的等价条件，然后进行判断. 【题目详解】
“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”等价于a ＝±2，
故“直线l 1：10ax y ++=与直线l 2：430x ay ++=平行”是“a ＝2”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 【题目点拨】
本题主要考查充分必要条件的判定，把已知条件进行等价转化是求解这类问题的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 15、1 【解题分析】
先将前两项利用基本不等式去掉a ，b ，再处理只含c 的算式即可． 【题目详解】
解：23631631622
2ac c a a c c b ab c b ab c ab c +⎛⎫++=++=⋅+ ⎪---⎝⎭， 因为1a b +=，所以2
()1a b +=， 所以
22363()622ac c a a b c b ab c ab c ++++=⋅+=--224262a b ab c ab c ++⋅+
-62c c ≥+-6666(2)1222c c c c =+
=-++-
-1224≥=， 当且仅当13
a =
，2
3b =，3c =时等号成立，
故答案为：1． 【题目点拨】
本题主要考查基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，属于中档题．
16、
56
π 【解题分析】
根据函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得ϕ满足的方程,结合题中ϕ的范围即可求解. 【题目详解】
由函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换公式可得, 函数()()cos 2y x φπφπ=+-≤≤的图象向右平移2
π
个单位后, 得到的函数解析式为()cos 2cos 22y x x πϕϕπ⎡⎤⎛⎫
=-
+=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
, 因为函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 2cos 2cos 22366x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
所以函数()cos 2y x ϕπ=+-与函数cos 26y x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象重合, 所以2,6
k k z π
ϕππ-=-
+∈,即52,6
k k z π
ϕπ=
+∈, 因为πϕπ-≤≤,所以56
πϕ=. 故答案为:
56
π 【题目点拨】
本题考查函数()cos y A x ωϕ=+图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）sin 10
B =（2）13c = 【解题分析】
（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --，得到答案；
（2）利用正弦定理sin
sin a A b B
=得到 a =13c =． 【题目详解】
(1)因为角C 为钝角，3sin 5A =
，所以4cos 5
A == ，
又()1tan 3A B -= ，所以02
A B π<-< ， 且(
)(
)sin A B A B -=
-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A B ⎡⎤=--=---⎣⎦
3455=-=. (2)
因为
sin sin a A b B ==
，且5b =
，所以a =， 又(
)cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=，
则222
2cos 952525169c a b ab C ⎛=+-=+-⨯= ⎝ ，
所以 13c = .
18、（1）(4,)+∞；（2）见解析. 【解题分析】
（1）将所求问题转化为'
()0f x <在(1,)-+∞上有解，进一步转化为函数最值问题；
（2）将所证不等式转化为12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，进一步转化为
121
21
11
111
x x x x +++>+-+122
1ln 1x x ++，然后再通过构造()ln m t t =-2(1)
1
t t -+加以证明即可. 【题目详解】
（1）'
2
1()(1)1(2)
a f x x x x =
->-++，根据题意，()f x 在(1,)-+∞内存在单调减区间， 则不等式'
()0f x <在(1,)-+∞上有解，由2101(2)a x x -<++得2(2)1x a x +>+，设2(2)()1
x g x x +=+，
则2(1)2(1)11
()(1)2411
x x g x x x x ++++==+++≥++，当且仅当0x =时，等号成立，
所以当1x >-时，min ()4g x =，所以存在1x >-，使得()a g x >成立，
所以a 的取值范围为(4,)+∞。

（2）当0a =时，()ln(1)f x x =+，则12121212
()()ln(1)ln(1)
f x f x x x k x x x x -+-+=
=--，从而
所证不等式转化为1212122()
2ln(1)ln(1)
x x x x x x -++>
+-+，不妨设121x x >>-，则不等式转化
为12122x x x x ++>-122ln(1)ln(1)x x +-+，即121211(1)(1)x x x x +++>+-+122
ln(1)ln(1)
x x +-+，
即
12121
11
111
x x x x +++>+-+122
1ln 1
x x ++，令1211x t x +=+，则不等式转化为11t t +>-2ln t ，因为 12110x x +>+>，则1t >，从而不等式化为2(1)
ln 1t t t ->
+，设()ln m t t =-2(1)1
t t -+，则1()m t t =-()241t +
2
2
(1)0(1)t t t -=>+，所以()m t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0m t m >= 即不等式2(1)
ln 1
t t t ->+成立，故原不等式成立. 【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.
19、（1）0.025m =（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 【解题分析】
（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得m 的值.
（2）根据表格数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【题目详解】
（1）由题意()0.00520.0150.020.03101m ⨯++++⨯=，解得0.025m =. （2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为()0.025+0.0031010030⨯⨯=. 完善列联表如下：
22
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2
100(800300) 4.76250503070
⨯-=≈⨯⨯⨯，
对照表格可知，4.762 6.635<，
不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. 【题目点拨】
本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查22⨯列联表独立性检验，属于基础题. 20、（1）1n a n =+；（2）()
22n n
n T =+．
【解题分析】
试题分析：（1）设公差为d ，列出关于1,a d 的方程组，求解1,a d 的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得
1111
12
n n a a n n +=-++，即可利用裂项相消求解数列的和. 试题解析：（1）设公差为d .由已知得()()
12
1114614
{26a d a d a a d +=+=+,解得1d =或0d =（舍去）, 所以12a =,故1n a n =+. （2）
()()11111
1212n n a a n n n n +==-++++,
()
111111...23341222n n T n n n ∴=
-+-++-=+++ 考点：等差数列的通项公式；数列的求和. 21、（1）()4
35
3P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解题分析】
（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=. （2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【题目详解】
（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，
则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.
可得()31464
1034
35
C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，
若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105P Y P X ⎛
⎫==<<== ⎪
⎝
⎭； 若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()4
63555
P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：
此时() 2.56 5.355
E Y =⨯
+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，
若13X <<，则312Y =-=，此时()()21213105
P Y P X ==<<==； 若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()2
5.5355
P Y P X ==≤≤=；
若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2
955
P Y P X ==>=；
此时Y 的分布列如下表：
此时()2 5.59 6.2555
E Y =⨯
+⨯+⨯=（万元）. 由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大. 【题目点拨】
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 22、（1）见解析；(II) 1
3
λ=. 【解题分析】
试题分析：（1）取AD 中点O ,连结,OP OC ,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PBC ∆为直角三角形；（2）设(),,M a b c ，由
[]()0,1PM
PC
λλ=∈，得(
)
3,0,33M λλ-，
求出平面AMD 的法向量和平面PAD 的法向量，，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.
试题解析：(I)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥, 又OC OP O OC ⋂=⊂，平面,POC OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，
又PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥,
因为//BC AD ,所以BC PC ⊥，即90PCB ∠=, 从而PBC ∆为直角三角形.
(II)法一：由(I)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,
PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .
以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则
(()()(
)003,010,010,3,00P A D C
-，，，，，，,(
3,03PC =
由(
3,0,3PM PC λλ==-可得点M 的坐标
(
)
333λλ
所以))
333,3,133AM DM λλλλ=
=
-，，,
设平面MAD 的法向量为(),,n x y z =，则00
n AM n DM ⎧⋅=⎨
⋅=⎩,
即))33303330x y z x y z λλλλ⎧++=⎪⎨
-+=⎪⎩
解得10
x z y λλ-⎧=
⎪⎨⎪=⎩，
令z λ=，得()1,0,n λλ=-，
显然平面PAD 的一个法向量为(
)
3,00OC =
，,
依题意
cos(,)|n OC n OC n OC
λ⋅=
=
=
， 解得1
3
λ=
或1λ=-（舍去）， 所以，当13
λ=时，二面角P AD M --
. 法二：由(I)可知AD ⊥平面POC ,所以,AD OM AD OP ⊥⊥
, 所以POM ∠
为二面角P AD M --的平面角， 即cos POM ∠=
在POM ∆中，sin
4
POM PO OPM π∠=
=∠=, 所以sin sin 4PMO POM π⎛
⎫
∠=∠+
⎪⎝
⎭
sin cos
cos sin
4
4
10
POM POM π
π
=
∠+∠=
， 由正弦定理可得sin sin PM PO
POM PMO
=∠∠
=
解得3
PM =， 又
PC =
=所以1
3
PM PC λ=
=, 所以，当13
λ=时，二面角P AD M --.。