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高中数学必修4知识与题型章章清
一、知识要点
第一章三角函数
1. 终边相同的角：与角Q 终边相同的角P = a+2^
2. 角度与弧度的换算：1。

= ^―说,l“d = 180 a 57 .3 ° ?兀=180°
180 7i
3. 弧长公式I = \a\r ；扇形面积公式S 扇形=*/厂=*0”.
4. 三角函数定义：角a 终边与单位圆交于点P （x, y ）,正弦;sina=y ，余弓玄cosa = fy y
正切 tancz=- T 兀
5. 6. 7. 三角函数线：sin a = MP,cos a = OM.tana = AT 三角函数符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 特殊角三角函数值表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
360°
弧度
0 71
6
n 4 n
3 71
2
2兀
3 4 571
6 71 ~2
sin a 0 1 2
42
2
V3
2 1 V3
2 42
2 1 2
0 -1 0 cos a 1 迟
2
~2
1 2
0 1 ~2
_V| 2 _7j 2
-1
1 tan a
V3
3 1
Vs X
-V3
-1
_V3
3 0
&同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2Qf + cos 2« = l;；商数关系：tana=^£
cos a
-sin a. cos(- a] = cos a. tan (- a) = - tana
纵坐标伸（缩丿力倍〉『=Asin （伽+ q ）向上（下丿平移同个单位
12.三角函数模型：y = A sin （亦+ （p ）,振幅（A ）、周期（卩=加 -» y = sin® + -= Asin （air + 0）+b.
一）、频率（j =丄）、相位（ex + °）、初相
（（p ） 岡 T
>
x
11.图象变扌
0）
9. 诱导公式：“纵变横不变，符号看象限”，sin （-«） = 10. 三角函数的图象和性质：
奂： 歹二si"
向左（右）平移妙个单位 二sin （x + 0）横坐标伸（缩丿皿咅
第二章平面向量
向量有关概念：向量，向量的模，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量。

向量的加、减法：三角形法则，平行四边形法则，相反向量。

实数与向量的积：跖•①闷=|兄间；②兄>0,兀与：方向相同；2<0,兀与：方向相反。

平面向量基本定理：a =^[e i +22e 2 （其中勺，幺2是平面上两 不共线的向量 -------------------------- 基底向量） 平面向量的坐标表示:a=xi + yj , ifi 作a=（兀,y ）,其中i = （1,0）, j =（0,1）,6 =（0,0）. 平面向量的坐标运算：a+b = （x i +丁2），°—方=（兀1 一兀2，丁1 一九），加=（銘，切）・ 平面向量的数量积：a^b = ”料cos 0 =xix 2+yiy2.（0o <^<180°）,其中冃cos &叫做庁在：上的投影 9.
向量数量积的性质：设向量Q =(兀1，开)3 = (%2，y2)・幺是单位向量，Q 与幺的夹角为&
®e^a = a^e = ”|cos0 ；
② a 丄为 OQ ・/ = 0O x x x 2 + y x y 2 = 0 ；
—► —► ―► —* ―» ——* ―► —► —► —► —► —► —► —* —
► 2 I —*|2
③ 若Q,/?同向，a ・b = a b ；若a,b 反向，特另[J 地:= a = a
变式公式：(J •辅助角公式
(2 ) tan a + tan 0 =
(3)
1 + 阪 a = tan
1 - tan tz
2・二倍角公式：
(1) sin 2a = 2 sin a cos a;
(2) COS 2Q = cos 1 2 3 4 a-sin 2 a = 2cos 2
a-l = l-2sin 2 a\
1 判断角所在象限——①初角法；②单位圆法。

角1013。

在第 _____ 象限。

2 弧长与扇形面积的计算——①公式法；②几何法。

周长为4的扇形，当圆心角为 ____ 弧度时其面积最大。

3 求三角函数值 --- ①定义法；②单位圆法；③Rt △法。

若sin 0 = 0.5,0 e （生,町，则COS&= .
4 三角函数化简求值——①1的代换；②化切法；③化弦法；④和积互化；⑤换角法；⑥化同法。

已矢口 sin 0 + cos 0 = ° ,贝g sin & cos & =
1 2 3
4
5
6
7
8 （2）结合律: 2&
(3)分酉己律：\a + b]»c = a»c + b»c.
向量数量积的运算律：（注意:
f f
/7 • A
④若&为
Q,Z?夹角，则
COS0 = -pnzr
”料 Jxj + y ：
第三章三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变式公式： （1）
（2） sin （a ± 0）= sin
\b <a^b< a b.
cos (◎ ± 0 ) = cos a cos 0 不 sin a sin 0; a cos 0 ± cos a sin 0; tan Q ± tan 0
1 + tan dz tan 0
(3) tan (a ± 0)=
1 ---------- b
a sin a +
b cos a = y/a 2 + b 2 sin (a +(p\ (其中 tan (p = —,(p e a
tan (a + 0 )(1 一 tan a tan 0 ); 冗 ) 4 J >0)
(3)tan 2a =
2 tan a 1 - tan 2 a
变式公式：（1）升幕公式: （2）降幕公式:
二、题型解法 1 ± sin a = sin ——± cos —— ,1 + cos a = 2 cos ——,1 - cos a
I 2 2 丿 2 2 1 + cos la . 2 1 - cos la cos a =------------------ ,sin a = ------------------ .
2 2
2 sin 2 £
~2
sin 0 - cos 0 a»b=b»a
f Q
--
5.
二角恒等式的证明——①从繁到简；②两边夹法；③分析法。

证明：cos a =l + sina
1 一 sin a cos a
6. 画三角函数图象——①五点法；②变换法。

y=f （x ）图象向左移兰，横坐标是原来2倍，得$ = c°sx 图象，则f （x ）= ，
6
7. 求三角函数的值域——①单位圆法；②波浪线法；③两端法。

,=2血卜+彳-1卜兰K0）的值域是 ________ &求三角函数的单调区间——①图象法；②复合法。

y = 3cos （2x_T 在 ______________________ 上是减函数。

9. 求周期——①公式法；②图象法；③验证法。

函数y = |sin4x|的最小正周期是 __________ 。

的对称轴为 10. 求对称轴（或对称中心）——①图象法；②验证法。

11. 由图象求三角函数的解析式——振幅周期得系数，坐标代入求初相。

12. 用基向量表示向量一 路径法（多边形法则、中线法则、平行六面体法则）；②待定系数法。

13. --------------------------------------- 证明三点共线或向量平行 AB// AC o AB = 2AC ；②allb o x {y 2 ~x 2y i =0. 14. 证明两直线（向量）垂直 -- a 丄庁oa= 0；②a 丄方0坷兀2+）V2 =0 15. 已知平行（共线）或垂直，求参数——①公式法；②几何法；③解析法。

16. 向量的运算：①运算法则；②几何法；③坐标法。

17. ------------------------ 求向量的夹角 cos （a,b 18. 求向量的模—— 公式法：冋=厅=+ X.；②平方法（把向量化为向量的和，平方展开求解）。

19. 用向量证明平面几何一①基底法；②坐标法。

20. 向量在物理中的应用一①合成法；②正交分解法。

21. 判断角所在象限（求初角）：观察法、除法、单位圆法 22. 终边相同角的表示：初角法
23.
扇形弧长与面积的计算：公式法、几何法（化为RtA ）
24.
求二角函数值：定义法、单位圆法、Rt △法、终边坐标法（sina = ,
,cos« = , % -,tan« =—）
25. 比较三角函数值的大小：诱导公式法、单位圆法、单调性法
26. 二角函数式的化简求值：1的代换、化切法、化弦法、化同（化同角、化同名、化同次）、和差化积 27. 三角恒等式的证明：从繁到简、两边夹法、分析法。

2&画二角函数图象：五点法、图象变换法
29. 求三角函数的值域（最值）：单位圆法、波浪线法、两端法。

30. 求三角函数的单调区间：图象法、整体初角法、复合法。

31. 求三角函数的周期：公式法、图象法、定义验证法。

32. 求三角函数图象的对称轴（中心）：图象法、整体初角法、验证法 33•由图象求三角函数的解析式：振幅周期得系数，坐标代入求初相。

34. 给角求值：单位圆法、诱导公式法.、Rt △法
35. 给值求值（角）：换角法、方程法、Rt △法、化切法
三、数学思想
1. 转化思想：二角函数的恒等变换及求值皆渗透转化思想，具体方法表现为化弦法、化切法、1的代换、
和差化积、换角法、化同角、化同名、化同次。

2. 函数思想：三角函数具有函数的特性，常用图象及整体思想来解题；三角函数又是周期函数，许多周
期问题可以通过三角函数来进行刻画。

3. 方程思想：对于解二角形综合题型常要用正弦定理或余弦定理列方程，求出边或角。

四、思维训练
竺）的对称轴为 _____ ,
6J。