人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 命题与量词 分层作业册

C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数
1
x,使 >2

解析 选项A中,锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;选项B中,当x=0
时,x2=0,所以 B 既是存在量词命题又是真命题;选项 C 中,因为 3+(- 3)=0,
所以 C 是假命题;选项 D 中,对于任何一个负数
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对于C,因为a2≥0,所以a2+1≥1,故C为真命题;
对于D,菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,所以D为假命题.故选ABC.
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2.[探究点三]下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( B )
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
于两根之和为2,则另一根也为1,两根同号,不符合题意;
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若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根
为1和3,两根同号,不符合题意;
若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的两根
为1和3,两根之和为4,不符合题意.
解析 因为命题“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是真命题,当a=0时,得x<2,故命题
“∀x∈R,使得ax2-x+2>0”是假命题,不合题意;
> 0,
1
当 a≠0 时,得
解得 a> .
8
= 1-8 < 0,
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9.(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求实数m的取值范围.
(2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求实数m的取值范围.
解 (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,
故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.
所以实数m的取值范围为[3,+∞).
(2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,
故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.
所以实数m的取值范围为[1,+∞).
综上所述,甲命题为假命题.故选A.
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7.(多选题)下列命题中是真命题的是( ACD )
A.∀x∈R,2x2-3x+4>0
B.∀x∈{1,-1,0},2x+1>0
C.∃x∈N,使
≤x
D.∃x∈N+,使x为29的约数
解析 对于A,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A为真命题;
对于B,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B为假命题;
对于C,当x=0时,有
≤x成立,故C为真命题;

对于D,当x=1时,x为29的约数成立,所以D为真命题.
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8.已知命题“对任意x∈R,使ax2-x+2>0”是真命题,则实数a的取值范围
1
是 (8,+∞) .
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C级
学科素养创新练
10.已知m∈R,命题p:∀x∈[0,1],m≥2x-2,命题q:∃x∈[-1,1],m≤x.
(1)若p为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题p与q一真一假,求实数m的取值范围.
解 (1)∵∀x∈[0,1],m≥2x-2,
∴m≥2x-2在x∈[0,1]上恒成立,
方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是( A )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析 若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则关于x的方程x2+ax+b=0的
一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为-1,两根异号,符合题意;
若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x=1是方程x2+ax+b=0的一根,由
4.[探究点四]已知命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则实数a的取值范围
是 [1,+∞)
.
解析 由于命题p:∃x∈R,x2+2x+2-a=0为真命题,则Δ=22-4(2-a)=4a-4≥0,解
得a≥1.
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5.[探究点三]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其
∴m≥(2x-2)max=0,即当p为真命题时,实数m的取值范围是[0,+∞).
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(2)∵∃x∈[-1,1],m≤x,
∴m≤1,即当命题q为真命题时,m≤1.
∵命题p与q一真一假,∴p真q假或p假q真.
≥ 0,
当 p 真 q 假时,
即 m>1;
> 1,
< 0,
当 p 假 q 真时,
即 m<0.
≤ 1,
综上所述,命题p与q一真一假时,实数m的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞).
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1
x,都有 <0,所以

D 是假命题.
3.[探究点二]用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.
(1)实数的平方大于或等于0,符号表示为 ∀x∈R,有x2≥0 ;
(2)存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立,符号表示为
∃x,y∈R,使2x+3y+3>0成立 .
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真假.
(1)三角形的内角和为180°;
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)存在一个四边形不是平行四边形;
(4)∀x∈R,x2+2>0;
(5)∃x∈R,x2+1=0.
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解 (1)是全称量词命题,且为真命题.
(2)是全称量词命题,且为假命题.
(3)是存在量词命题,且为真命题.
(4)是全称量词命题,由于∀x∈R都有x2≥0,故x2+2>0,且为真命题;
(5)是存在量词命题,因为不存在一个实数x,使x2+1=0成立,且为假命题.
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B级
关键能力提升练
6.[2023江苏高一阶段练习]关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:
甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该
A级
必备知识基础练
1.[探究点一](多选题)下列命题中为真命题的是( ABC )
A.梯形ABCD的内角和是360°
B.若x,y互为倒数,则xy=1
C.若a是有理数,则a2+1≥1
D.菱形是中心对称图形,但不是轴对称图形
解析 四边形内角和为360°,所以A为真命题;
对于B,由互为倒数的两个数的乘积为1,可知B为真命题;