2018年大一轮数学理高考复习人教规范训练第五章 数列5

课时规范训练 A 组 基础演练
1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *
)成等比数列”是“a 2
n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.显然，n ∈N *
，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2
n ＋1＝a n a n ＋2，反之，不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，….
2．设{}a n 是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12
D ．－12
解析：选D.因为等差数列{}a n 的前n 项和为S n ＝na 1＋n n －
2
d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1
－1,4a 1－6.
因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2
＝a 1·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.
3．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2
－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．± 2 B ．－ 2 C. 2
D ．±2
解析：选C.因为a 4，a 8是方程的两根，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＋a 8＝3＞0
a 4a 8＝2＞0，
∴a 4＞0，a 8＞0，又a 2
6＝a 4a 8＝2，∴a 6＝ 2.
4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255
C ．511
D ．1 023
解析：选B.∵2a 6＝2a 4＋48，即a 6＝a 4＋24 ∴25
a 1＝23
a 1＋24，从而a 1＝1. 于是S 8＝
－2
8
1－2
＝28
－1＝255.
5．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334
D.172
解析：选B.设此数列的公比为q (q ＞0)， 由已知a 2a 4＝1，得a 2
3＝1，∴a 3＝1，
由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝7，即6q 2
－q －1＝0，解得q ＝12
，从而a 1＝4，
所以S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12
＝31
4.
6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得
a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，
∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4
a 3
＝3. 答案：3
7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________． 解析：由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2
a n ＋1
＝q ＝－2. 答案：－2
8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *
，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.
解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2
＋q －2)＝0. 由q 2
＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝
a 1
－q 5
1－q
＝
1－－5
3
＝11.
答案：11
9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，
且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2
n －1
，
又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2
(2－1)＝2
n －2
.
当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式．
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，2n －2
，n ≥2.
(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝
－4n
1－4
＝
n
－3
.
∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝
n
－3
＋1＝
22n ＋1
＋13
. 10．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
S n ＋54是等比数列．
解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3， b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝5
4，
故b n ＝54
·2n －1＝5·2n －3
.
(2)证明：由(1)知b 1＝5
4，公比q ＝2，∴S n ＝
54－2
n
1－2
＝5·2
n －2
－5
4
， 则S n ＋54＝5·2n －2
，因此S 1＋54＝52，S n ＋
5
4S n －1＋
54
＝5·2n －25·2
n －3＝2(n ≥2)．
∴数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以5
2为首项，公比为2的等比数列．
B 组 能力突破
1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *
，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1
m －1
，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3
D ．3
解析：选B.设公比为q ，若q ＝1，则S 2m
S m
＝2， 与题中条件矛盾，故q ≠1.
∵
S 2m
S m ＝a 1
－q 2
m
1－q
a 1
－q m 1－q
＝q m ＋1＝9，∴q m
＝8.
∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1
， ∴m ＝3，∴q 3
＝8，∴q ＝2.
2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)
n －1
B ．－(－2)
n －1
C ．(－2)n
D ．－(－2)n
解析：选A.∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.
∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3
＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3
＞a 2，∴a 2＜0. 而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)
n －1＝(－2)
n －1
.
3．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *
，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2
n 等于( ) A ．(3n －1)2
B.12(9n
－1) C ．9n
－1
D.14
(3n
－1) 解析：选B.∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n
－1，n ∈N *
，
n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，
∴当n ≥2时，a n ＝3n
－3
n －1
＝2·3
n －1
，
又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3
n －1
，
故数列{a 2
n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a 21
＋a 22
＋…＋a 2
n ＝
－9n
1－9
＝12
(9n
－1)． 4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－8，a 4＋a 5＋a 6＝1，则a 1
1－q
＝__________. 解析：∵
a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝－18，∴q ＝－1
2
，
把q ＝－1
2代入a 1＋a 2＋a 3＝－8，
解得a 1＝－323，∴a 11－q ＝－64
9.
答案：－64
9
5．已知数列{a n}满足a1＝5，a2＝5，a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)．
(1)求证：{a n＋1＋2a n}是等比数列；
(2)求数列{a n}的通项公式．
解：(1)证明：∵a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)，
∴a n＋1＋2a n＝3a n＋6a n－1＝3(a n＋2a n－1)(n≥2)．
又a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴a n＋2a n－1≠0(n≥2)，
∴a n＋1＋2a n
a n＋2a n－1
＝3(n≥2)，
∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，
则a n＋1＝－2a n＋5×3n，
∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．
又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，
∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
∴a n－3n＝2×(－2)n－1，
即a n＝2×(－2)n－1＋3n(n∈N*)．。