北京市海淀区清华大学附中2019年中考数学二模试卷(含解析)

2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列计算正确的是（）
A. a6÷a2=a3
B. a2+a3=a5
C. (a2)3=a6
D. (a+a)2=
a2+a2
2.计算（√2+1）2019•（√2-1）2018的结果是（）
A. √2+1
B. √2−1
C. √2
D. 1
3.以下说法正确的有（）
①正八边形的每个内角都是135°
是同类二次根式
②√27与√1
3
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
，当x＜0时，y随x的增大而增大．
④反比例函数y=-2
a
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的
树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长
是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落
在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），
他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长
为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）
A. 3.25a
B. 4.25a
C. 4.45a
D. 4.75a
5.某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战
士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（）
A. 甲的成绩比乙的成绩稳定
B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同
D. 无法确定谁的成绩更稳定
6.将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如
图乙），则图乙中实物的俯视图是（）
A.
B.
C.
D.
7.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140
张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要（）
A. 12120元
B. 12140元
C. 12160元
D. 12200元
8. 若关于x 的方程a +a a −3+3a
3−a =3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）
A. a <9
2 B. a <92且a ≠3
2 C. a >−94
D. a >−9
4且a ≠−3
4
9. 如图所示，函数y 1=|x |和a 2=1
3a +4
3的图象相交于（-1，
1），（2，2）两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）
A. a <−1
B. −1<a <2
C. a >2
D. a <−1或a >2
10. 小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠
放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ） A. 106cm B. 110cm C. 114cm D. 116cm 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 中国的陆地面积约为9 600000km 2，把9 600 000用科学记数法表示为______． 12. 如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长
AC 和BD 相等，OC =OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ：OA =1：2，量得CD =10mm ，则零件的厚度x =______mm ． 13. 在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，
9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．
14. 已知：如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，A （10，0），C （0，4），点D
是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，则P 点的坐标为______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对
角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y =2
a 的图象上，则菱形的面积为______．
16. 如图，已知圆锥的高为√3，高所在直线与母线的夹角为30°，
圆锥的侧面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分） 17. 解下列方程（组）：
（1）（x +3）（x +1）=1；
（2）a
a −1-1=3
(a −1)(a +2)； （3）{3a −5a =11.2a +a =3,
18. 甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文
章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？ 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1
2，2），B （3，n ），在反比例函数y =a
a （m
为常数）的图象上，连接AO 并延长与图象的另一支有另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与x 轴的交点为点D （1，0），过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ． （1）求m 的值，并求直线l 对应的函数解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过点B 作射线BN ∥x 轴，与AE 的交于点M （补全图形），求证：tan ∠ABN =tan ∠CBN ．
20.荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖场批发购进草鱼和
乌鱼（俗称黑鱼）共75千克，且乌鱼的进货量大于
40千克．已知草鱼的批发单价为8元/千克，乌鱼的
批发单价与进货量的函数关系如图所示．
（1）请直接写出批发购进乌鱼所需总金额y（元）与
进货量x（千克）之间的函数关系式；
（2）若经销商将购进的这批鱼当日零售，草鱼和乌
鱼分别可卖出89%、95%，要使总零售量不低于进货量的93%，问该经销商应怎样安排进货，才能使进货费用最低？最低费用是多少？
21.学习了统计知识后，班主任王老师叫班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统
计，图1和图2是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）在扇形统计图中，计算出“步行”部分所对应的圆心角的度数；
（2）求该班共有多少名学生；
（3）在图1中，将表示“乘车”的部分补充完整．
22.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所
示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．
23.如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上
（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．
（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2-8x+4与y轴交于点C，试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；
（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物y=a1（x-m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x-h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：A、应为a6÷a2=a4，故本选项错误；
B、a2与a3，不是同类项不能合并，故本选项错误；
C、（a2）3=a6，正确；
D、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；
故选：C．
根据同底数幂的除法，底数不变，指数想减；幂的乘方，底数不变指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，完全平方公式，熟练掌握各种运算的法则是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】
解：原式=[（+1）（-1）]2018•（+1）
=（2-1）2018•（+1）
=+1．
故选：A．
先利用积的乘方得到原式=[（+1）（-1）]2018•（+1），然后利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3.【答案】C
【解析】
解：①正八边形的每个内角都是：=135°，故①正确；
②∵=3，=，
∴与是同类二次根式；故②正确；
③如图：∵OA=OB=AB，
∴∠AOB=60°，
∴∠C=∠AOB=30°，
∴∠D=180°-∠C=150°，
∴长度等于半径的弦所对的圆周角为：30°或150°；故③错误；
④反比例函数y=-，当x＜0时，y随x的增大而增大．故④正确．
故正确的有①②④，共3个．
故选：C．
①由正多边形的性质，即可求得正八边形的每个内角的度数；
②首先化简，则可求得与是同类二次根式；
③可求得长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°；
④由反比例函数的性质，可得反比例函数y=-，当x＜0时，y随x的增大而增大．
此题考查了圆周角定理、正多边形的性质、同类二次根式以及反比例函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其
影子的比值相同．
此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比
值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其
影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【解答】
解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，
∴BD=0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x=4.45，
∴树高是4.45m．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
此题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
俯视图是从上面看，可以看到上面杯子的底，是圆形，可以看到两杯子的口，也是圆形．【解答】
解：从上面看，看到两个圆形，
故选C．
7.【答案】C
【解析】
解：设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，故
可得：x≤
由题意可知：x，y为正整数，故x=46，y=94，
∴购买这两种票最少需要60×46+100×94=12160．
故选：C．
设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，根据题意可列出，
当购买的60元的票越多，花钱就越少，从而可求解．
本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意列出不等式关系式，本题关键是要知道当购买的60元的票越多，花钱就越少即可求解．
8.【答案】B
【解析】
解：去分母得：x+m-3m=3x-9，
整理得：2x=-2m+9，
解得：x=，
∵关于x的方程+=3的解为正数，
∴-2m+9＞0，
解得：m＜，
当x=3时，x==3，
解得：m=，
故m的取值范围是：m＜且m≠．
故选：B．
直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是解题关键．
9.【答案】D
【解析】
解：当x≥0时，y1=x，又，
∵两直线的交点为（2，2），
∴当x＜0时，y1=-x，又，
∵两直线的交点为（-1，1），
由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜-1或x＞2．
故选：D．
首先由已知得出y1=x或y1=-x又相交于（-1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2列出不等式求出x的取值范围．
此题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知列出不等式，注意象限和符号．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映
了物体的数量关系，仔细观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度+3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度=9，单独一个纸杯的高度+8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度=14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．【解答】
解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则99x+y=99×1+7=106cm，
即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm．
故选A．
11.【答案】9.6×106
【解析】
解：将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】2.5
【解析】
解：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD
∴OA=OB
∵OC：OA=1：2
∴OD：OB=OC：OA=1：2
∵∠COD=∠AOB
∴△AOB∽△COD
∴CD：AB=OC：OA=1：2
∵CD=10mm
∴AB=20mm
∴2x+20=25
∴x=2.5mm．
要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径AB即可求得x的值．
13.【答案】5
16
【解析】
解：画树状图如图：
∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，
∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名同学的植树总棵数为19的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】（2，4）或（3，4）或（8，4）
【解析】
【分析】
这是一道代数与几何知识综合的开放型题，综合考查了等腰三角形和勾股定理的应用，属于策略和结果的开放，这类问题的解决方法是：数形结合，依理构图解决问题．
分PD=OD（P在右边），PD=OD（P在左边），OP=OD三种情况，根据题意画出图形，作PQ垂直于x轴，找出直角三角形，根据勾股定理求出OQ，然后根据图形写出P的坐标即可．
【解答】
解：当OD=PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=OA=5，
根据勾股定理得：DQ=3，故OQ=OD+DQ=5+3=8，则P1（8，4）；
当PD=OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ=4，PD=OD=5，
根据勾股定理得：QD=3，故OQ=OD-QD=5-3=2，则P2（2，4）；
当PO=OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP=OD=5，PQ=4，
根据勾股定理得：OQ=3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）.
15.【答案】4
【解析】
【分析】
本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意
义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐
标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB．根据反比例函
数中k的几何意义，得出△AOD的面积=1，从而求出菱形
OABC的面积=△AOD的面积的4倍．
【解答】
解：连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴△AOD的面积=×2=1，
∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=4．
16.【答案】2π
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
先利用三角函数计算出BO，再利用勾股定理计算出AB，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解得】
解：如图，∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=
=2，即圆锥的母线长为2， ∴圆锥的侧面积=×2π×1×2=2π．
故答案为2π．
17.【答案】解（1）去括号，得x 2+4x +3=1，
移项、合并同类项，得x 2+4x +2=0．
∵a =1，b =4，c =2，
∴x =−a ±√a 2−4aa
2a =-2±√2．
∴x 1=-2+√2，x 2=-2-√2．
（2）去分母，得x （x +2）-（x -1）（x +2）=3，
解得x =1．
经检验x =1不是原方程的解．
故原方程无解；
（3），
①×5+②得13x =26，解得x =2，
把x =2代入①得4+y =3，解得y =-1．
∴方程组的解为{a =−1.a =2,
【解析】
（1）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；
（2）先把分式方程化为整式方程，再解整式方程，然后进行检验确定原分式方程的解；
（3）利用加减消元法解方程组．
本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了解分式方程和二元一次方程组． 18.【答案】解：设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打（x +5）个字，
根据题意得：1000a +5=900a ，
解得：x =45， 经检验，x =45是原方程的解，且符合题意，
∴x +5=50．
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
【解析】
设乙每分钟打x 个字，则甲每分钟打（x+5）个字，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19.【答案】解：（1）∵点A （12，2）在反比例函数y =a a （m 为常数）的图象上， ∴m =12×2=1．
∴反比例函数y =a a （m 为常数）对应的函数表达式是y =1a ．
设直线l 对应的函数表达式为y =kx +b （k ，b 为常数，k ≠0）．
∵直线l 经过点A （12，2），D （1，0）， ∴{12a +a =2
a +a =0， 解得{a =4a =−4，
∴直线l 对应的函数表达式为y =-4x +4．
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为C （-12，-2）．
∵CE ∥x 轴交直线l 于点E ，
∴y E =y C ．
∴点E 的坐标为E （32，-2）．
（3）如图，作AF ⊥BN 于点G ，与射线BN 交于点G ，作CH ⊥BN 于点H ，
∵点B （3，n ）在反比例函数图象上，
∴n =13，
∴B （3，13），G （12，13），H （-12，13）．
在Rt △ABG 中，tan ∠ABH =aa aa =2−133−12=23
， 在Rt △BCH 中，tan ∠CBH =aa aa =
13+23+12=23， ∴tan ∠ABN =tan ∠CBN ．
【解析】
（1）将点A （，2）代入y=求出m 的值，再将A （，2），D （1，0）分别代入y=kx+b ，求出k 、b 的值；
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为C （-，-2），由y E =y C 求出E 点坐标．
（3）作AF ⊥BN 于点G ，与射线BN 交于点G ，作CH ⊥BN 于点H ，由于点B （3，n ）在反比例函数图象上，求出n=，在Rt △ABG 中、Rt △BCH 中，求出tan ∠ABH 和tan ∠CBH 的值即可．
本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、反比例函数的性质、三角函数的定义等知识，值得关注．
20.【答案】解：（1）批发购进乌鱼所需总金额y （元）与进货量x （千克）之间的函数关系式y =24x ；
（2）设该经销商购进乌鱼x 千克，则购进草鱼（75-x ）千克，所需进货费用为w 元． 由题意得：{89%×(75−a )+95%a ≥93%×75.a >40
解得x ≥50．
由题意得w =8（75-x ）+24x =16x +600．
∵16＞0，∴w 的值随x 的增大而增大．
∴当x=50时，75-x=25，W最小=1400（元）．
答：该经销商应购进草鱼25千克，乌鱼50千克，才能使进货费用最低，最低费用为1400元．
【解析】
（1）根据所需总金额y（元）是进货量x与进价的乘积，即可写出函数解析式；（2）根据总零售量不低于进货量的93%这个不等关系即可得到关于进价x的不等式，解不等式即可求得x的范围．费用可以表示成x的函数，根据函数的增减性，即可确定费用的最小值．
本题考查了一次函数的性质，利用一次函数的性质确定函数的最值，关键是正确求得x 的取值范围．
21.【答案】解：（1）（1-20%-50%）×360°=108°，
即“步行”部分所对应的圆心角的度数是108度．
（2）20÷50%=40（人），即该班共有40名学生．
（3）乘车的人数=40-20-12=8人，如图所示．
【解析】
（1）根据扇形统计图的定义，各部分占总体的百分比之和为1，先求出“步行”部分所占的百分比，再乘以360°得所对应的圆心角的度数；
（2）由扇形统计图得知骑车人数占总人数的50%，又由频率分布直方图得知骑车人数为20，所以该班总人数为20÷50%=40．
考查扇形统计图和频率分布直方图．该题将扇形统计图与频率分布直方图有机地结合在一起，能进一步理解二者之间的区别和联系．
22.【答案】解：（1）BF=CG；
证明：在△ABF和△ACG中
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC
∴△ABF≌△ACG（AAS）
∴BF=CG；
（2）DE+DF=CG；
证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）
∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG
∴四边形EDHG为矩形
∴DE=HG，DH∥BG
∴∠GBC=∠HDC
∵AB=AC
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC
∴△FDC≌△HCD（AAS）
∴DF=CH
∴GH +CH =DE +DF =CG ，即DE +DF =CG ；
（3）仍然成立．
证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图3）
∵DE ⊥BA 于点E ，∠G =90°，DH ⊥CG
∴四边形EDHG 为矩形，
∴DE =HG ，DH ∥BG ，
∴∠GBC =∠HDC ，
∵AB =AC ，
∴∠FCD =∠GBC =∠HDC ，
又∵∠F =∠DHC =90°，CD =DC ，
∴△FDC ≌△HCD （AAS ）
∴DF =CH ，
∴GH +CH =DE +DF =CG ，
即DE +DF =CG ．
方法2．（2）
如图2，连接AD ，
S △ABC =S △ABD +S △ACD =12AB ×DE +12AC ×DF =12AB ×DE +12AB ×DF =12AB （DE +DF ），
S △ABC =12AB ×CG ，
∴12AB ×CG =12AB （DE +DF ），
即：DE +DF =CG ．
（3）同（2）的方法得出，DE +DF =CG ．
【解析】
（1）由于有∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC ，AB=AC ，故由AAS 证得△ABF ≌△ACG ⇒BF=CG ；
（2）过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图）．易证得四边形EDHG 为矩形，有DE=HG ，
DH ∥BG ⇒∠GBC=∠HDC ．又有AB=AC ⇒∠FCD=∠GBC=∠HDC ．又∠F=∠DHC=90°⇒CD=DC ，可由AAS 证得△FDC ≌△HCD ⇒DF=CH ，有GH+CH=DE+DF=CG ．
（3）同（2）的方法即可得出结论．
方法2、（2）（3）利用面积法即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求解；作出辅助线是正确解答本题的关键．
23.【答案】解：（1）∵抛物线L 3：y =2x 2-8x +4，
∴y =2（x -2）2-4，
∴顶点为（2，4），对称轴为x =2，
设x =0，则y =4，
∴C （0，4），
∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；
（2）∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，-4），
∴L4的解析式为y=-2（x-4）2+4，
∴L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围是：2≤x≤4时；
（3）a1=-a2，
理由如下：
∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，
∴可以列出两个方程，
①+②得：
（a1+a2）（m-h）2=0，
∴a1=-a2．
【解析】
（1）设x=0，求出y的值，即可得到C的坐标，把抛物线L3：y=2x2-8x+4配方即可得到抛物线的对称轴，由此可求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）由（1）可知点D的坐标为（4，4），再由条件以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，可求出L4的解析式，进而可求出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上，可以列出两个方程，相加可得：（a1+a2）（m-h）2=0，可得a1=-a2
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．。