黑龙江省哈尔滨市高三数学第四次模拟考试试题 文

黑龙江省哈尔滨市2017届高三数学第四次模拟考试试题 文
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,
字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草
稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．)
1. 若复数i z 21+=，则复数z 的模等于
A. B. 2 C. D.2. 设集合{}
)1(log 2-==x y x A ，{
}
x y y B -=
=2，则=B A
A.(]2,0
B.()2,1
C.()∞+，
1 D. (]2,1
3. 已知数列{}n a ,那么“对于任意的n N *∈，点),(n n a n P 都在曲线x
y 3=上”是“数列{}n a 为
等比数列”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 对于平面α和不重合的两条直线n m 、，下列选项中正确的是 A ．如果,α⊂m n ∥α，n m 、共面，那么m ∥n B ．如果,α⊂m n 与α相交，那么n m 、是异面直线 C ．如果,α⊂m α⊄n ，n m 、是异面直线，那么n ∥α D. 如果α⊥m ，m n ⊥，那么n ∥α
5. 设21,e e 是不共线的向量，+=1e a k 2e ，=b k +1e 2e ，若a 与b 共线，则实数k 为
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．±1
6. 已知12
3a =， 1
3
1log 2b =，21
log 3
c =，则A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c a b >>
7. 执行如图所示的程序框图，若输出16=S ，则框图中①处 可以填入
A.2>n
B.4>n
C.6>n
D.8>n
8. 若圆()()22
211x y
r -++=上有且只有两个点到直线10x y -+
=
的距离等于
2
,则半径r 的取值范围是
A.
B.
C. D.
9. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n S n -22
=，则数列{}n a 2的前10项和等于
A.380
B.390
C. 400
D. 410 10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的
表面积为 A.π36 B.π30 C.π29
D.π20
11. 已知函数)3sin()(π
ω-
=x x f ()0>ω，若函数()f x 在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ23，上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是 A.]911,32[ B. ]911,65[ C. 43,32[ D. ]6
5
,32[ 12. 已知定义域为)0(∞+，的函数()f x 的图象经过点)4,2(，且对)0(∞
+∈∀，x ,都有1)(>
'x f ，
则不等式x
x
f 2)22(<-的解集为
A. )0(∞+，
B. )20(，
C. )2,1(
D. )10(，
3 俯视图
正视图
侧视图
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 若曲线y ＝ln x 的一条切线是直线y ＝1
2
x ＋b ，则实数b 的值为
14. 动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为
15. 已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27
x
3≥4，…，
类比得x ＋a
x
n ≥n ＋1(n ∈N *
)，则a ＝________ 16. 已知)2,1(2
3)1(1
≥>-+-=
-n b b
b b n a n n ，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式n n a a >+1成立，则实数b 的取值范围是
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且
2
2
2
sin sin sin sin A C B A C +-=⋅.
（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，(
)cos A C -=，求线段DC 的长.
18．（本小题满分12分）
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
（Ⅱ）请根据4月1日，4月2日，4月3日这3天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆˆˆy
bx a =+； （Ⅲ）根据（Ⅱ）中所得的线性回归方程， 预测温差为16C ︒时，种子发芽的颗数.
（参考公式：∑∑==--=n i i n
i i
i x
n x y
x n y
x b
1
2
2
1
ˆ，x b y a
ˆˆ-=）
19. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 与BDEF 均为边长为2的菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且
FA FC =．
（Ⅰ）求证：FC ∥平面EAD
； （Ⅱ）求点A 到平面BDEF 的距离．
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：E 122
22=+b
x a y ()0>>b a 经过点()
0,3A 和点
()2,0B ，斜率为k ()0≠k 的直线经过点()02，P 且交E 于N M ,两点.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）当AOM ∆与AON ∆面积比值为7，求实数k 的值.
21. （本小题满分12分）
已知函数()()2
2x f x e x a x b ⎡⎤=-++⎣⎦，曲线()
y f x =在0x =处的切线方程为220a x y b +-=，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）确定,a b 的关系式（用a 表示b ）；
（Ⅱ）对任意0<a ，总存在0x >，使得()f x M <成立，求实数M 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，将圆:O 42
2
=+y x 上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
1
，得到曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，在两坐标系中取相同的单位长度，射线αθ=()0≥ρ与圆O 和曲线C 分别交于点B A ,，求AB 的最大值.
23. （本小题满分10分）
已知函数()21f x tx tx =--+（R a ∈） （Ⅰ）当1t =时，解不等式1)(≤x f ；
（Ⅱ）若对任意实数t ，()f x 的最大值恒为m ，求证：对任意正数,,a b c ，当a b c m ++=时，
+
+ . a≤
b
c
m
四模文科数学答案
一、选择题：
1-12：ACAAD ADBDC BC 二、填空题
13. 12ln -； 14. 3； 15. n
n ； 16. ），（∞+3 三、解答题
17.解：
（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，2
2
2
a c
b +-=
所以cos 2
B =
. 因为()0,B π∈，所以6
B π
=
..............................................6分
（Ⅱ）由条件.由(
)(
)cos sin 55
A C A C -=
⇒-=。

设A D x =，则C D x =，11BD x =-，
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD
BAD B =
∠.
512x x =⇒=.
所以5AD DC ==...................12分
18.解：（Ⅰ）10
7
12523=-=C C P ；………………………….4分
（Ⅱ）32
5
^
-=
x y ；…………………………..9分 （III ）16=x 时，37^
=y ，种子发芽数为37 …………………………..12分 19. 解：（Ⅰ）因为FB //,
ED ⊂ED 平面,EAD ⊄FB 平面EAD ,所以FB //平面EAD
同理BC //平面EAD , …………………………..3分 又⊂=⋂FB B BC FB ,平面EAD ,BC ⊂平面EAD , 所以平面FBC /平面EAD
又⊂FC 平面FBC ,所以FC //平面EAD ………………………….6分 （Ⅱ）设O BD AC =⋂,易证⊥FO AO ,又BD AO ⊥,O BD FO =⋂,
⊆FO 平面BDEF ,⊆BD 平面BDEF ,所以⊥AO 平面BDEF , ………10分
又3=AO ,所以距离为3, ……………………..12分
20．解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为13
42
2=+x y …………………………..4 （Ⅱ）设点M ()11,y x ，N ()22,y x
⎪⎩⎪⎨⎧-==+)
2(1342
2x k y x y ，有0416)43(222=+++k ky y k 有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+-=+43443162221221k k y y k k y y 且(
)
40043162562
2
2
2
<<⇒>+-=∆k k k k (6)
21y y
S S AON AOM =∆∆217y y =⇒⎩⎨⎧==+⇒2
2
2122178y y y y y y 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222274
3484
316-y k k y k k
76443642
=+⇒k ........................................................10 那么有实数k 的值为1±....................................... .. (12)
21. 解：（Ⅰ）()()2
2x
f x e
x
ax b a '=-+--，由已知，()202f a '=-，
所
以
222b a a =+-....................................................................4分
（Ⅱ）由题意，对于任意的负数a ，当0x >时，使()min f x M <成立。

由（Ⅰ）可知，
()()()()2222,x x f x e x ax a e x a x a '=--=-+令()0f x '=，
解得2,x a =，x a =-.
当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增；即0x >时，
()()()m i n 32a f x f a e a -=-=+。

要满足题意，只需()32a e a M -+<对任意的0a <成立.
令()()32(0)a g a e a a -=+<，则()()130a g a e a -'=->。

所以()g a 在(),0-∞上单调递增，即()(0)2g a g <=，所以2M ≥.........12分
22. 解：（Ⅰ）圆的参数方程为⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ()为参数θ
根据题意，曲线C 的参数方程为⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos 2y x ()为参数θ (4)
（Ⅱ） 令αθ=，则极坐标系中A ）（α,2，B
）（αα
,sin 3122
+
则α
2
sin 312-2+=AB ，当2
π
θ=
是AB 取最大值1 (10)
23. 解：（Ⅰ）1=t 时，()12+--=x x x f
()⎪⎩
⎪
⎨⎧-<≤+--<=321,121
,3x x x x f 所以()1≤x f ，解集为[)∞+，0 ……………..5分
（Ⅱ）由绝对值不等式得()()31212=+--≤+--tx tx tx tx 所以()x f 最大值为3，
32
3212121111=+++=+++++≤
⋅+⋅+⋅≤++c
b a
c b a c b a c b a
当且仅当1===c b a 时等号成立。

………………………….10分。