人教A版高中数学 高三一轮 3-4三角函数的图象与三角函

高三一轮复习3.4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 学案
【考纲传真】
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【知识扫描】
知识点1 图象变换
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
知识点2 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图
1．必会结论；(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2
，k ∈Z 确定，对称中
心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．
(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定，对称中心由ωx ＋φ
＝k π＋π2
，
k ∈Z 确定其横坐标．
2．必清误区
(1)把函数y ＝A sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象解析式为y ＝A sin ω(x
－φ)，
而不是y ＝A sin(ωx －φ)．
(2)把函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍，得到的图象解析式为
y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωk x ＋φ，而不是y ＝A sin(ωkx ＋kφ)．
【学情自测】
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( ) (3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π
ω
.( )
(4)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
2，所得图象对应的函数
解析式为
y ＝sin 1
2
x .( )
(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2
.( ) 2． y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
12x －π3的振幅，频率和初相分别为( )
A ．2,4π，π
3
B ．2，14π，π
3
C ．2，14π，－π
3
D ．2,4π，－π
3
3．(2014·四川高考)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )
A ．向左平行移动12个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度 4．(2015·柳州模拟)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图3-4-5所示，则f (x )的单调递减区间为( )
A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z
B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋3
4，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z 6.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝⎛⎭
⎫π
12，0，图象上与点P 最近的一个 最高点是Q ⎝⎛⎭⎫
π3，5.
(1)求函数的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间．
参考答案
1.【解析】 (1)错误．向右平移φ(φ>0)个单位得到y ＝sin ω(x －φ)．
(2)错误．先平移后伸缩时平移的长度为|φ|个单位，先伸缩后平移的变换中平移的长度为|φ|
ω
(ω>0)个单位． (3)错误．T ＝2π
|ω|. (4)错误．函数解析式应为y ＝sin 2x .
(5)正确．两个相邻对称中心之间的距离为半个周期． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π
3.
【答案】 C
3.【解析】 y ＝sin 2x 的图象向左平移1
2个单位长度得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象， 即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象． 【答案】 A
4.【解析】 由函数图象知T ＝π4×2＝π2，ω＝2πT ＝2π
π
2＝4.
【答案】 B
5.【解析】 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫
54－14＝2，
∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋3
4，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋3
4，k ∈Z.故选D. 【答案】 D
6.【解】 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫
π3－π12＝π， ∴ω＝2π
π
＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π
6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π
2
＋2k π，k ∈Z ，
得－π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)．。