中考数学复习方案 第六单元 圆 第33课时 与圆有关的计算数学课件

;
(3)r是底面圆半径;
(4)圆锥的侧面展开图是扇形,其弧长等于圆锥底面⑦ 圆的周长
圆锥的侧面积 S侧=⑧ πrl
圆锥的全面积 S全=S侧+S底=πrl+πr2
对点演练
题组一 必会题
1.若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为
3π
2.一个扇形的半径为6,圆心角为120°,则该扇形的面积是
别交AF,AB的延长线于点D,C,若∠C=30°, ☉O的半径是2,则图中阴影部分的面
积是
.
图33-8
3 3
[答案]
2
−
2π
3
[解析]连接 OE,OF,EF,
∵DE 是切线,∴DC⊥OE,
∵∠C=30°,OB=OE=2,
∴∠EOC=60°,OC=2OE=4,
∴CE=OC×sin60°=4×sin60°=2 3,
∵根据旋转的性质知,∠ADA'=90°,AD=A'D=BC=3,
90π×3 3π
∴点 A 第一次翻滚到点 A'的位置时,点 A 经过的路线长为
180
= .
2
90π×4
同理,点 A'第一次翻滚到点 A″的位置时,点 A'经过的路线长为
180
=2π.
90π×5 5π
点 A″第一次翻滚到点 A1 的位置时,点 A″经过的路线长为
∵点 E 是 的中点,
∴∠EAB=∠DAE=30°,
∴F,E 是半圆弧的三等分点,
∴∠EOF=∠EOB=∠AOF=60°,
∴OE∥AD,∠DAC=60°,
∴∠ADC=90°,∵CE=AE=2 3,
∴DE= 3,
∴AD=DE×tan60°= 3 × 3=3,
1
1
3 3
2
2
2
∴S△ ADE= AD×DE= ×3× 3=
1.规则图形的面积,直接利用对应公式计算.
2.不规则图形的面积,要将图形的面积转化为可求图形的面积的和或差,常用方
法有:(1)割补法;(2)拼凑法;(3)等积转化法;(4)平移法;(5)旋转法.
考点四
圆锥的侧面积与全面积
图形
(1)h是圆锥的高;
圆锥简介
(2)l是圆锥的母线,其长为侧面展开后所得扇形的⑥ 半径
角度3
与旋转有关的面积问题
例4 如图33-10,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,∠BOC=60°, ∠BCO
=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',使点C'落在OA上,则边BC扫过区域
(图中阴影部分)的面积为
cm2.
图33-10
1
[答案] π
4
[解析]∵∠BOC=60°,△ B'OC'是由△ BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的,
为2,则圆锥的侧面积为
[解析](1)圆锥的侧面积为
;
(2)将一个圆心角为120°,半径为6 cm的扇
1
2
(2)2 cm (3)300π
×4×(2π×2)=8π.
形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底 (2)设此圆锥的底面半径为 r cm,由题意,
面半径为
;
120π ×6
180
= .
2
3π
5π
2
2
则当点 A 第一次翻滚到点 A1 的位置时,点 A 经过的路线长为 +2π+ =6π.
故答案是 6π.
| 考向精练 |
1.如图 33-13,矩形 ABCD 中,AB=5,AD=12, [答案] A
将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l [解析]如图,第一次旋转 B 是以点 D 为旋
[答案] 3 2
心角为120°,面积为6π,则这个扇形的半径 [解析]设扇形的半径为 r,由题意得,
为
.
120π × 2
360
=6π,解得 r=3 2,
故答案为:3 2
题组二
易错题
【失分点】
未弄清圆锥侧面展开图的面积、弧长与圆锥的关系导致做题时出错.
6.已知圆锥的底面直径为4 cm,母线长为10 cm,则这个圆锥的侧面积是 ( A )
,
∵△ FOE 和△ AEF 同底等高,
∴△ FOE 和△ AEF 的面积相等,
∴图中阴影部分的面积为 S△ ADE-S 扇形 FOE=
故答案为
3 3
2
2
− π.
3
3 3
2
−
60·π×22 3 3
360
=
2
2
− π.
3
2.[2019·福建15题]如图33-9,边长为2的正方
[答案] π-1
形ABCD的中心与半径为2的☉O的圆心重
第六单元
第 33 课时
与圆有关的计算
圆
考点聚焦
考点一 正多边形和圆的相关计算
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
2
边心距 r
2
周长 L
na
1
面积 S
每个内角的度数
每个外角的度数
中心角的度数
2
r= -( )
2
nar
(-)×°
①
②

°

°
③

【温馨提示】正六边形的边长等于其外接圆的半径,正三角形的边长等于其外
.
12π
.
3.[2019·南平质检]已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的面积为
16π
.
4.如图 33-1,在 5×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 1,若将△ AOB 绕点
O 顺时针旋转 90°得△ A'OB',则 A 点运动的路径'的长为
图33-1
2π
.
5.[2019·泉州石狮一模]若一个扇形的圆
[解析]分别延长 DC,CB 交☉O 于 G,H
合,E,F分别是AD,BA的延长线与☉O的交点,
两点,∵正方形和圆都是中心对称图
则图中阴影部分的面积为
形,两者的中心重合,∴该图形为中心
保留π)
.(结果
对称图形,∴阴影部分的面积
1
1
4
4
= (S☉O-S 正方形 ABCD) = (4π-4)=π-1.
图33-9
上进行两次旋转,则点 B 在两次旋转过程 转中心,顺时针旋转 90°到达 B1,第二次旋
中经过的路径的长是 (
25
)
转 B1 是以点 C1 为旋转中心,顺时针旋转
A. π
B.13π
90°到达 B2,故点 B 在两次旋转过程中经
C.25π
D.25 2
过的路径长 l=1 + 1 2
2
1
1
25
A.20π cm2
B.20 cm2
C.40π cm2
D.40 cm2
考向一 弧长的计算
例1[2019·泰州]如图33-2,分别以正三角形的3
[答案] 6π
个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的 [解析]以边长为半径画弧,这三
图形称为莱洛三角形.若正三角形的边长为
段弧的半径为正三角形的边长
6 cm,则该莱洛三角形的周长为
∴AB=OC,∴AB=OA=OB,
∴△ AOB 是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∵OC∥AB,∴S△ AOB=S△ ABC,
60·π ×36
∴图中阴影部分的面积=S 扇形 AOB=
故选:A.
360
=6π,
| 考向精练 |
1.[2019·龙岩质检]如图33-8,AB是☉O的直径,点E是弧BF的中点,过点E的切线分
接圆半径的 3倍,正方形的边长等于其外接圆半径的 2倍.
考点二
弧长与扇形面积公式
弧长公式
若一条弧所对的圆心角是 n°,半径是 R,则弧长 l=④

(1)S 扇形=⑤
扇形面积公式
1

(n 是圆心角度数,R 是半径);
(2)S 扇形= lR(l 是弧长,R 是半径)
2


.
考点三 阴影部分面积的计算
6 cm,圆心角为正三角形的内角
cm.
度数,为 60°,每段弧长为
60·π·6
180
=2π(cm),所以莱洛三角形
的周长为 2π×3=6π(cm).
图33-2
| 考向精练 |
1.[2019·厦门质检]如图 33-3,在矩形 ABCD 中,AB>BC,以点 B 为圆心,AB 的长为半
径的弧分别交 CD 边于点 M,交 BC 边的延长线于点 E.若 DM=CE,的长为 2π,
4
4
2
= ×2π×13+ ×2π×12= π.
图33-13
2.[2018·安徽模拟]如图33-14,一个圆作滚动运动,它从A位置开始,滚过与它相同

的其他六个圆的上部,到达B位置.则该圆共滚过
图33-14

圈.
考向四 圆与正多边形的相关计算
例 6 [2019·雅安]如图 33-15,已知☉O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距 OM=2,
∴CN=2,∴CE=4,∴△ ACE 的面积为 4 3,故选 D.
| 考向精练 |
如图 33-16,已知圆内接正三角形的面积为 3,则该圆的内接正六边形的边心距是
( B )
A.2
B.1
C. 3
图33-16
D.
3
2
考向五 与圆锥的侧面展开图有关的问题
例7 (1)已知圆锥的母线长为4,底面半径
[答案] (1)8π
图33-6


− π .

角度2
等积转化求面积
例 3 如图 33-7,在半径为 6 的☉O 中,点 A,B,C 都在☉O 上,四边形 OABC 是平行四
边形,则图中阴影部分的面积为 (
A.6π
B.3 3π
)
C.2 3π
图33-7
D.2π
[答案]A
[解析]连接 OB,∵四边形 OABC 是平行四边形,
[解析]由旋转的性质得:∠BAB'=45°,
则图中阴影部分的面积为
四边形 AB'C'D'≌四边形 ABCD,
.
则图中阴影部分的面积=四边形
ABCD 的面积+扇形 ABB'的面积-四
边形 AB'C'D'的面积=扇形 ABB'的面
积=
图33-11
45π×162
360
=32π(cm2).
考向三 运动路径的计算
∵点 B 是线段 PO 的中点,∴AB 是直角三角形 OAP 斜边上的中线,
∴AB=OB,
∵OB=OA,∴AB=OA=OB,∴△ OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,
∵OA= 3,OP=2 3,∴AP= (2 3)2 -( 3)2 =3,
3 3
∴△ OAP 的面积=
2
,扇形 AOB 的面积=
∴图中阴影部分的面积为
3 3
2
π 3 3-π
− =
2
2
60×π×( 3)2
360
答案为
2
.
【方法点析】可选择用割补法将不规则图形转化成常见的规则的图形进行计算.
| 考向精练 |
[2019·三明质检]如图33-6,在矩形ABCD中,AD=2,以点A为圆心,AD长为半径画

弧,交BC边于点E,若E恰为BC的中点,则图中阴影部分的面积为
则该圆的内接正三角形 ACE 的面积为
(
A.2
B.4
C.6 3
D.4 3
图33-15
)
[答案] D
[解析]如图,连接 OB,OC,∵多边形 ABCDEF 是正六边形,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,∴△ BOC 是等边三角形,
∴∠OCM=60°,∴OM=OC·sin∠OCM,
∴OC=
4 3
3
,过 O 点作 ON⊥CE 于点 N,易知∠CON=60°,
3
π
= (cm2),
12
∴阴影部分面积=S 扇形 B'OB+S△ B'C'O-S△ BCO-S 扇形 C'OC
1
1
π
3
12 4
=S 扇形 B'OB-S 扇形 C'OC= π- = π(cm2).
| 考向精练 |
如图33-11,将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋 [答案] 32π cm2
转45°至四边形AB'C'D'的位置,若AB=16 cm,
例5 如图33-12,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直
线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1的位置时,则点A经过的路线长为
.
图33-12
[答案] 6π
[解析]如图,∵四边形 ABCD 是矩形,AB=4,BC=3,
∴BC=AD=3,∠ADC=90°,对角线 AC(BD)=5.
∴∠B'OC'=60°,△ BCO≌△B'C'O,
∴∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°,∴∠B'OB=120°,
1
∵AB=2 cm,∴OB=1 cm,OC'= cm,
2
∴B'C'=
120π ×12
3
cm,∴S 扇形 B'OB=
2
120π ×
S 扇形 C'OC=
360
1
4
360
1
= π(cm2),
∵扇形 OAB 沿过点 A 的直线折叠,点 O 恰好落在弧 AB 上的点 D 处,折痕交 OB
于点 C,∴AC 垂直平分 OD,
∴AO=AD,而 AO=OD,
∴OA=OD=AD,
∴△ AOD 为等边三角形,∴∠AOD=60°,
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=100°-60°=40°,
40·π·6 4
则 CE 的长为 4-2 .
图33-3
2.[2019·泉州、晋江季延初级中学模拟]如图33-4,在扇形OAB中,∠AOB=100°,半
径OA=6,将扇形OAB沿过点A的直线折叠,点O恰好落在弧AB上的点D处,折痕交
OB于点C,则弧BD的长为
.
图33-4
4
[答案] π
3
[解析]连接 AD,如图,
∴弧 BD 的长=
180
= π.
3
考向二 面积的计算
角度1
微专题
直接分割求面积
例 2[2019·泉州质检]如图 33-5,PA 切☉O 于点 A,点 B 是线段 PO 的中点,若☉O 的
半径为 3,则图中阴影部分的面积为
.
图33-5
3 3-π
[答案]
2
[解析]如图,连接 OA,AB.
∵PA 切☉O 于点 A,∴∠OAP=90°,