乌拉特前旗第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乌拉特前旗第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在函数y=
中，若f （x ）=1，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或
C ．±1
D ．
2． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1， =
﹣
（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于
（ ）
A ．65
B ．63
C ．33
D ．31
3． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
4． 设函数()y f x =对一切实数x 都满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）
A.18
B.12
C.9
D.0
【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 5． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
6． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中x k 的系数不可能是（ ）
A ．10
B ．40
C ．50
D ．80
7． 三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（ ） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56
C ．0.56＜60.5＜log 0.56
D ．0.56＜log 0.56＜60.5
8． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ） A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
9． 已知点A （1，1），B （3，3），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．y=﹣x+4 B ．y=x C ．y=x+4 D ．y=﹣x
10．在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ）
A ．13
B ．
C ．
D ．21
11．下列说法正确的是（ ）
A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；
B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；
C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；
D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.
12．函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）=x+1，则函数f （x ）在（1，2）上的解析式为（ ）
A ．f （x ）=3﹣x
B ．f （x ）=x ﹣3
C ．f （x ）=1﹣x
D ．f （x ）=x+1
二、填空题
13．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．
14．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3
x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx
﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
16．若全集，集合，则
17．设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范
围是．
18．过点（0，1）的直线与x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
2014年7月16日，中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》，报告显示：我国网络购物用户已达3.32亿．为了了解网购者一次性购物金额情况，某统计部门随机抽查了6月1日这一天100名网购者的网购情况，得到如下数据统计表．已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．
（Ⅰ）确定x，y，p，q的值；
（Ⅱ）为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关，对这100名网购者调查显示：购物金额在2000元以上的网购者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的网购者中网龄不足3年的有20人．
（参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc a b c d a c b d -K =++++，其中n a b c d =+++）
20．已知复数z 1满足（z 1﹣2）（1+i ）=1﹣i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2，且z 1z 2是实数，求z 2．
21．已知正项等差{a n }，lga 1，lga 2，lga 4成等差数列，又b n =
（1）求证{b n }为等比数列．
（2）若{b n }前3项的和等于，求{a n }的首项a 1和公差d ．
22．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2
133(21-+=
，设动点N 的轨迹为曲线C .
（1）求曲线C 的方程；
（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，
21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P
到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.
23．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连
接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD 的长为多少时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大；
（2）当三棱锥A ﹣BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小。

24．（本小题满分12分）
已知函数2
1()(3)ln 2
f x x a x x =
+-+. （1）若函数()f x 在定义域上是单调增函数，求的最小值；
（2）若方程2
1()()(4)02
f x a x a x -+--=在区间1[,]e e
上有两个不同的实根，求的取值范围.
乌拉特前旗第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵函数y=中，f（x）=1，
∴当x≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；
当﹣1＜x＜2时，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；
当x≥2时，2x=1，解得x=（舍）．
综上得x=±1
故选：C．
2．【答案】D
【解析】解：由=﹣（2x n+1），
得+（2x n+1）=，
设，
以线段P n A、P n D作出图形如图，
则，
∴，∴，
∵，∴，
则，
即x n+1=2x n +1，∴x n+1+1=2（x n +1），
则{x n +1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴x 5+1=2•24
=32，
则x 5=31． 故选：D ．
【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．
3． 【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（
）2
=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．
4． 【答案】A.
【解析】(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-，∴()f x 的图象关于直线3x =对称， ∴6个实根的和为3618⋅=，故选A. 5． 【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B ∪（∁U A ）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B ．
6． 【答案】 C
【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k
的系数，将k 的值代入求出各种情况的系数．
【解答】解：（x+2）5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k
当k﹣1时，C5k25﹣k=C5124=80，
当k=2时，C5k25﹣k=C5223=80，
当k=3时，C5k25﹣k=C5322=40，
当k=4时，C5k25﹣k=C54×2=10，
当k=5时，C5k25﹣k=C55=1，
故展开式中x k的系数不可能是50
故选项为C
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．
7．【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1，
0＜0.56＜0.50=1，
log0.56＜log0.51=0．
∴log0.56＜0.56＜60.5．
故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
8．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．
则a2a6=9×q6=72．
故选：D．
9．【答案】A
【解析】解：∵点A（1，1），B（3，3），
∴AB的中点C（2，2），
k AB==1，
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1，
∴线段AB的垂直平分线的方程为：
y﹣2=﹣（x﹣2），整理，得：y=﹣x+4．
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，
∴由余弦定理可得：c===．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】
考点：几何体的结构特征.
12．【答案】A
【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数，
∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0），
f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=2﹣x+1=3﹣x，
故选A．
二、填空题
13．【答案】4
【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．
故答案为：4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．
14．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
法，本题的解答中把y
x
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
15．【答案】
2 2,
3⎛⎫-
⎪⎝⎭
【解析】
16．【答案】{|0＜＜1｝
【解析】∵，∴{|0＜＜1｝。

17．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点D（﹣2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由，解得，即A（1，3），此时k==，
由，解得，即B （1，1），此时k=
=，
故k 的取值范围是，
故答案为：
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
18．【答案】 2
【解析】解：∵x 2+y 2
=4的圆心O （0，0），半径r=2， ∴点（0，1）到圆心O （0，0）的距离d=1， ∴点（0，1）在圆内．
如图，|AB|最小时，弦心距最大为1，
∴|AB|min =2=2
．
故答案为：2
．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）因为网购金额在2000元以上的频率为40.， 所以网购金额在2000元以上的人数为10040.⨯=40 所以4030=+y ，所以10=y ，……………………1分
15=x ，……………………2分
所以10150.,.==q p ……………………4分
⑵由题设列联表如下
……………………7分 所
以)
)()()(()(d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
2
2
=
56560
40257554020351002
.)(≈⨯⨯⨯⨯-⨯…………9分
因为0245565..>……………………10分
所以据此列联表判断，有597.%的把握认为网购金额超过2000元与网龄在三年以上有关．
……………………12分 20．【答案】
【解析】
解：
∴z 1=2﹣i 设z 2=a+2i （a ∈R ） ∴z 1z 2=（2﹣i ）（a+2i ）=（2a+2）+（4﹣a ）i
∵z 1z 2是实数 ∴4﹣a=0解得a=4 所以z 2=4+2i
【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．
21．【答案】
【解析】（1）证明：设{a n }中首项为a 1，公差为d ． ∵lga 1，lga 2，lga 4成等差数列，∴2lga 2=lga 1+lga 4，
∴a 22
=a 1a 4．
即（a 1+d ）2
=a 1（a 1+3d ），∴d=0或d=a 1．
当d=0时，a n =a 1，b n
=
=，
∴ =1，∴{b n }为等比数列；
当d=a 1时，a n =na 1，b n ==，∴ =，∴{b n }为等比数列．
综上可知{b n }为等比数列．
（2）解：当d=0时，S 3==，所以a 1=；
当d=a 1时，S 3=
=
，故a 1=3=d ．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.
（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程12432
2
=+y x 中，得
01248)34(222=-+++m kmx x k
由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知， 0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，
整理得342
2+=k m …………7分
且211||k k m d +-=，2
21||k
k m d ++=
1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||
2
13k
d d d -= ∴2
2
22121213211|
|4||||)()(k m k d d k d d d d d d d +=
-=-+=+ ||1||1614
3
||42m m m m +
=+-= …………10分
∵342
2+=k m ∴当0≠k 时，3||>m
∴33
43
13||1||=
+>+
m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d
∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分
综上
1、
2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分
23．【答案】（1）1 （2）60°
【解析】（1）设BD=x ，则CD=3﹣x ∵∠ACB=45°，AD ⊥BC ，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD ⊥BC ，∴折起后AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BD ∩DC=D ∴AD ⊥平面BCD
∴V A ﹣BCD =×AD ×S △BCD =×（3﹣x ）××x （3﹣x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） 设f （x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） x ∈（0，3），
∵f ′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣3），∴f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ∴当x=1时，函数f （x ）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大； （2）以D 为原点，建立如图直角坐标系D ﹣xyz ，
24．【答案】（1）；（2）01a <<.1111] 【解析】
则
'()0f x ≥对0x >恒成立，即1
()3a x x
≥-++对0x >恒成立，
而当0x >时，1
()3231x x
-++≤-+=，
∴1a ≥.
若函数()f x 在(0,)+∞上递减，
则'()0f x ≤对0x >恒成立，即1()3a x x
≤-++对0x >恒成立， 这是不可能的. 综上，1a ≥. 的最小值为1. 1
（2）由2
1()()(2)2ln 02
f x a x a x x =-+-+=， 得2
1()(2)2ln 2
a x a x x -+-=，
即2ln x x a x +=，令2ln ()x x r x x +=，233
1
(1)2(ln )
12ln '()x x x x x x x r x x x
+-+--==， 得12ln 0x x --=的根为1，
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.。