18版高中数学第一章解三角形1.2余弦定理(一)学案苏教版必修5

1.2 余弦定理（一） 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
知识点一 余弦定理的推导
思考1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？
思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？
梳理 余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是确定平面向量一组基底的条件，所以能把第三边用基底表示进而求出模长．
另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．
知识点二 余弦定理的呈现形式
1．a 2＝____________，b 2＝____________， c 2＝____________.
2．cos ________＝b 2＋c 2－a 2
2bc
； cos ________＝c 2＋a 2－b 2
2ca
； cos ________＝a 2＋b 2－c 2
2ab
.
知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解
三角形问题
思考1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
思考2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？
梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．
类型一余弦定理的证明
例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求c.
反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？
类型二用余弦定理解三角形
命题角度1 已知两边及其夹角
例2 已知△ABC中，b＝3，c＝1，A＝60°，求a和sin B.
反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．
跟踪训练2 在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A.
命题角度2 已知三边
例3 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝1，c ＝2.求A ，B ，C .
反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac
，cos C ＝b 2＋a 2－c 2
2ba
求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理． 跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35
，则三角形的另一边长为________．
2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为________．
4．在△ABC 中，符合余弦定理的是________．
①c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；②c 2＝a 2－b 2
－2bc cos A ； ③b 2＝a 2－c 2
－2bc cos A ；④cos C ＝a 2＋b 2＋c 2
2ab .
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 当a ＝b ＝c 时，∠C ＝60°，
a 2＋
b 2－2ab cos C ＝
c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，
即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C . 思考2 ab cos C ＝|C B →|·|C A →|cos CB →，CA →
＝CB →·CA →.
∴a 2＋b 2－2ab cos C
＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →
＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2.
猜想得证．
知识点二
1．b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C
2．A B C
知识点三
思考1 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．
思考2 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．
题型探究
例1 解 如图，设C B →＝a ，C A →
＝b ，
A B →＝c ，
由A B →＝C B →－C A →
，知c ＝a －b ，
则|c |2＝c ·c
＝(a －b )·(a －b )
＝a ·a ＋b ·b －2a ·b
＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C .
所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
跟踪训练1 解 如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)， C (b cos A ，b sin A )，
∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ，
即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .
同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .
例2 解 由余弦定理，
得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A
＝32＋12－2×3×1cos 60°＝7，
∴a ＝7.
由正弦定理，得sin B ＝sin A a ·b ＝sin 60°
7×3＝321
14.
跟踪训练2 解 由余弦定理，
得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，
所以c ＝6－ 2.
由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝1
2，
因为b >a ，所以B >A ，所以A 为锐角，
所以A ＝30°.
例3 解 由余弦定理的推论，
得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝12＋22－ 3
2
2×1×2＝1
2.
因为0°<A <180°，所以A ＝60°.
由正弦定理，得sin B ＝sin A
a ·b
＝sin 60°3
×1＝12， 又∵a ＝3>b ，∴A >B ，∴B ＝30°，
∴C ＝180°－A －B ＝90°.
跟踪训练3 解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0)．
c 最大，cos C ＝ 2k 2＋ 4k 2－ 5k 2
2×2k ×4k
<0， 所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形．
当堂训练
1．213 2.π6 3.7
8 4.①。