分子热力学06_7-8分热

v p v 1 v2
v

v2 v1
N 表示速率在v ~ v 范围内的 f (v)dv 1 2 N 分子数占总分子数的比率.
24
例题 试用Maxwell 速率分布定律计算00C 时,速率
在300—310m/s区间内氧分子的分子数的百分率。
解：由题意 T=273.15K v 300 m / s v2 v 10 m / s N N f (v)dv
一. 分布的概念
年龄 人数
某校学生人数按年龄的分布
15 ~16 2000 17 ~ 18 3000 19 ~20 4000 21~22 1000
比率
20%
30%
40%
10%
气体分子按速率的分布
速率 分子数
比率
v1 ~v2 ΔN1
ΔN1/N
v2 ~v3 ΔN2
ΔN2/N
…
vi ~vi +Δv ΔNi
ΔNi/N
由
PV0 m R T2 M
3 m PM m T0T1 0.89kg / m V0 T2 R V0 T2 (T1 a 2 dV a 2 ( 1 1 ) V1 V2 V
V2 V2
2
a P1 2 V1
2
a P2 2 V2
v 2 f (v)dv
0

3kT v
2

v2
3kT

3RT 1.73 RT M M
28
三种速率比较： v 2 v v p
v 2 : v : v p 1.73 :1.59 :1.41
由压强定义得：
2 vx
因此，压强是大量气体分子碰撞器壁产生的平均效果。 是一个统计平均量。它反映的是宏观量p 和微观量 之间的关系. 对大量分子，压强才有意义。
16
例题 一分子束垂直射向真空室的一平板,，设分子束 的定向速度为v，单位体积分子数为 n , 分子的质量为 μ ，求分子给平板的压强. 解：一个分子与器壁碰撞一次对器壁的冲量为2μv 在dt 时间内距平板为 v dt 的分子都能与平板碰撞，
12
（二）关于分子集体的假设： 1. 每个分子运动速度各不相同, 而且通过碰撞不断发 生变化. 2.平衡态时, 容器内分子数密度到处相同，且有
3. 在平衡态时, 分子向各个方向运动的机会均等.
dN N n dV V
2 x
vx v y vz 0
1v 2 v v v 3
2 y 2 z
11
8-4 理想气体的压强公式
一、理想气体的微观模型(假设)
（一）关于每个分子的力学性质的假设： 1. 分子本身的大小与气体分子间的距离相比可忽略不计. 2. 分子间的平均距离很大, 可忽略分子间的相互作用。 即 除碰撞瞬间外, 分子间、分子与器壁间无相互作用. 3. 分子间的相互碰撞，以及分子与器壁的碰撞可视为完 全弹性碰撞。 4. 分子遵从经典力学规律. 结论：理想气体分子的微观模型——彼此间无相互作 用、 遵从力学规律的弹性点。
(1) 气体、液体、固体的扩散 水和墨水的混合 相互压紧的金属板
5
(2) 布朗运动
布朗运动
三、 分子间存在相互作用力 短程力
吸 引 力 分 子 力 排 斥 力
6
假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相
互作用(分子力)可近似地表示为 由公式
( 平衡位置 )
分子力表现为引力 分子力表现为斥力
N N v
速率分 布曲线
v
设N为总分子数，N 为 速率区间v内的分子数。
dN Ndv
dN f (v ) Ndv
v 19
v 0时，用dN、dv表示
f (v) dN Ndv
dN f (v)dv N
f (v)叫速率分布函数,其物理意义：
速率在v 附近，单位速率区间内的分子 数占总分子数的比率.

df (v) vP 0 dv k R N0 M N0
k R R N0 M
vp 2kT

2 RT M
26
vp
2kT

2 RT M
① μ 一定,T 越大，v p 越大，曲线向右移动
② T 一定, μ 越大，v
f(v) T1 T2(> T1)
p
越小，曲线向左移动
1. 增加； 不变. 2. 不变；减小.
3. CV 5 R C P 7 R 2 2
P T
1 1 1
P T
1 2 2
CP 1 .4 CV P1 1 T1 ( ) ( ) T 410K 2 P2 T2
T2 300 4. 1 1 25% T1 400 A Q 3000 25% 750J Q2 Q1 A 2250J Q2 T2 300 3 (2) 3 Q1 Q2 T1 T2 400 300
它表示速率在dv区间内的分子数占总分子数的比率， 即 表示分子速率在v ~ v+dv之间的可能性。 其大小等于如图小长条的面积.
f (v) f (v)dv
因为所有分子的速率都在0到 无穷大之间

N 0
dN f (v)dv 1 0 N
dv
20
v
称为f (v)的归一化条件.
作业 11 答案：
2. 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次
(109次/秒)
8
3. 气体分子热运动服从统计规律 设分子总数为N ，速率为vi 的分子数为ΔNi
平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为
9
气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的 概率相等，故有 平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为
v1
因为v很小， 在v内可近似认为 (v)为常量. f
N 4 ( ) 3 / 2 v 2 e 2 kT v N 2 kT
N 0.0201 2 0 0 N
25
v2
三、分子速率的三种统计平均值
1.最可几速率： 将f (v)对v求导，并令其为零
可求得 p v 2kT
2
T1 P1V1 V2 T2 P2V2 V1
M 5 3. (1) QP C P T 4.525 10 J M (2) A PV RT 1.03875 105 J
(3) E QP A 3.4862510 J
5
2
1.
5 CV R 2
5
vy
A1
v x v x 2 v x
vx
一个分子施于器壁的冲量为2μvx
14
v
vz
2. 在dt 时间内，速度为 vi 的分子与 面元dA 碰撞的 分子数：
y
vi
o
dA受到的冲量:
z
x
dA受到的冲力:
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3. 在dt 时间内，与面元dA 碰撞的所有分子施于dA 的平均冲力为
Q1 4000J
A Q1 Q2 1000J21
二. Maxwell 速率分布定律 1. 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
麦克斯韦速率分布函数
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳 兹曼常量 k R 1.38 10 23 ( J / K ) N0 分子速率在v～v+ dv 区间内的分子数占总分子数的比 率为
取体积V= v dt S 的圆柱体，其内分子数N =n v dt S
dt 时间内对S的冲量为F· dt=N 2μv=dI
F N 2 v n vdtS 2 v 2n v 2 P S dtS dtS
压强等于单位时间单位面积的冲量
vdt S
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8-5 Maxwell速率分布定律
3. 吸热
d a
a b
4
第八章 气体动理论 8-1 分子运动的基本概念
一、宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成， 分子之间存在一定的空隙 在 1mol的任何物质中所含分子数目均相同，为：
N0＝ 6.022×1023 mol-1 阿伏伽德罗常数
例如： 1cm3的空气中包含有2.7×1019 个分子 二、 分子在永不停息地作无序热运动
二、 压强的微观实质及统计意义： 由于大量分子对器壁的碰撞，使器壁受到一个持续 的、均匀的压力，正如密集的雨滴打到雨伞上。
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三、 理想气体压强公式
设容器的体积为V, 分子总数 为 N，分子质量 为μ，分子 数密度 n 速度为vi 的分子数为ΔNi 分子数密度为Δni
y
l3
A1
z
l1
l2 x
1. 一个分子与器壁每碰一次 施于器壁面的冲量. 分子的动量变化： y
(1) 曲线下窄条的面积：f (v)dv=dN /N (2) 最可几速率： 每条曲线都有一峰值, 对应的速率叫最可几速率vP. 表示 在vP附近，单位速率区间中的分子数占总分子 数的比率最大。 dN f (v)
f (v p )

(3) 归一化条件：
曲线下总面积：
Ndv
f (v)dv

0
f (v)dv 1
由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动 的概率相等，故有
10
8-3 统计规律的特征
伽耳顿板实验
单个小球落入哪个狭槽是偶然的， 大量小球，多次同样实验所得小 球按狭槽的分布近似相同， 结论： 统计规律是大量偶然事件的总 体所遵从的规律.

… …
…
18
…
…
氧气分子在273K时的分布情况
速率区间 100以下 100~200 200~300 300~400 400~500 500~600 600~700 700以上 分子数的百分比
N N
N 令 f (v ) N v
v
1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2 7.7
作业 10 答案：
1、 已 知 T0 273.15 15 288.15K T1 310.15K T2 273.15K m 0.52kg
PV0 m0 R T0 M
两式相减得
PV0 m1 R T1 M
m R T0T1 P M (T1 T0 )V0
1 1 ） m0 m1 R PV0 （ T0 T1 M
r0
斥力
r
引力
结论：一切宏观物体都是由大量分子组成，分子都在 永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用力.
7
8-2 气体分子的热运动
气体分子运动的规律：
1. 气体分子运动可以看作是在惯性支配下的自由运动 (1) 由于气体分子间距离很大，而分子力又是短程力， 除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体 分子间相互作用力可忽略。 (2) 由于气体分子质量一般很小，因此重力可以忽略。
f(v)
μ2(> μ1) μ1
O
v O
27
v
2. 平均速率：
N i vi 由定义：v N
v 8kT

0
vdN N
vf (v)dv
0


8RT 1.59 RT M M
3. 方均根速率:
N v (1)由定义： v N
2 2 i i


0
v 2 dN N
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
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说明：
（ ）适用条件：大量分子 1 组成的理想气体平衡态 .
（2）当v 0和v 时，f (v) 0
即
dN 0 Ndv
分子速率为零和趋于 的概率都为零
(3) f (v)与T及分子质量μ有关. (4) 有极大值.
23
2. Maxwell速率分布曲线
E CV (T4 T1 ) 18698( J )
Q A E 28103(J)
3
2. p1 T1 p2 T
1

1
2
p2 1 T2 ( ) ( ) p1 T1
7 5
2 2 p2 7 1 7 T2 ( ) T1 ( ) 500 410K p1 2
07 作业11答案 p
T1 300K
P 1.01310 Pa 1
P2 P 1
P 2P 3 1
p2
T2 2T1 600K
T3 2T2 1200K T4 T3 1200K
p1
P4 P 1
o
V1
V2
V3
V
P3 P3 A P (V2 V1 ) RT3 ln R(T2 T1 ) RT3 ln 9405( J ) 1 P4 P4