不等式的证明 人教版
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2 2
已知：f ( x) 1 x , a b,
2
证明：|f(a)-f(b)|<|a-b|
设a b c且a b c 0 求证 : b ac 3a
2
四、换元法:通过换元减少变量 从而繁化简.如:三角代换.
x r cos 2 2 2 x y r y r sin
D. ,
五.判别式法:它是利用二次方程是否有解条 件的知识. 六.放缩法:就是利用不等式的传递性把其一 边适当增大或缩小 七.利用单调性法:构造一个单调函数,而不 等式的两端恰好是这个函 数的两个函数 值.(构造函数的思想)
证明：
1 x x 1 3 2 2 x 1 2
2 2 2
八.反证法:转化为证原命题的逆 否命题是否成立. 步骤:(1)假设结论不成立; (2)利用它推出与已知,公理 矛盾; (3)产生矛盾是因为假设,故 假设不成立,从而原命题成立.
设a,b,c∈（0，1），求证
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同 时大于1/4
已知 : a, b, c R, f ( x) ax bx c
2 2
2a 1 2b 1
2 2 2 2
2.证明：a b b c c a
2 2
2(a b c)
三.分析法:从证的不等式出发,分 析使这个不等式成立的充分条 件,把证明这个不等式的问题转 化这些条件具备的问题.如果能 肯定这些条件都具备,那么就可 以判定所证的不等式成立.这种 证明方法叫做分析法. 即:执果索因.
2
若a c 0, f ( x)在 1,1 •上的最大 5• 值为2,最小值为- , 证明: 2 b a 0且| | 2 a
说明:哪一种方法都不是万能 的,要根据具体情况灵活运用.
设a、b、c∈R, 证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0, 出等号何时成立
2 2 2
并指
证明：令f (a) a (c 3b)a c 3b 3bc
c 3b 4 c 3b 3bc
2 2 2
3(c b 2bc) 3(c b) 0
设实数x,y,m,n满足 2 2 2 2 x +y =3,m +n =1,
求mx+ny的最大值_____
设x, y R, 满足x ( y 1) 1
2 2
总有x y c 0成立, c的取值范围是 A. 2 1, C.
2 1,
B. , 2 1 2 1
在等比数列a n 和等差数列b n 中， a1 =b1 >0,a 3 =b3 >0,a1 a 3 . 试比较a 5和b5的大小。
绝对值小于1的数的集合为S，在S中定义一
ab 种运算*，使得 a*b= ，求证：如 1 ab
a,b∈Ｓ则a*b ∈Ｓ．
ab 2 (a b) (1 ab) ( ) 1 2 1 ab (1 ab)
若a、b、c是不全相等得正数
ห้องสมุดไป่ตู้
求证：lg
ca bc ab ＋lg ＋lg 2 2 2
＞lga+lgb+lgc
已知a＞b ＞0，求证
2 ( a b) a b ＜
8a
2
ab ＜
( a b) 8b
2
已知a 0, b 0, 2c a b 求证•:c- c ab a c c ab
n n n
则ABC是 A.钝角三角形 C.等腰三角形 B.锐角三角形 D.非等腰的直角三角形
证明不等式:
1 1 1 * 1 2 n .(n N ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
• |a||b| |ab| 求证： 1 | a | | b | 1 | a b |
2 2 2 2 2 2
bc ca ab 3. abc a b c
b c a 4. a b c a b c
5.a, b均为不等的正数， b a 求证： a b a b
2
2
2
1.a+b=1,a,b是正数，求 a b 的最大值
•••
a b ab 2 ( ) 2 2
2
(1 a )(1 b ) <0 2 (1 ab)
2 2
• 二.综合法:利用某些已经证明过 的不等式作为基础,再运用不等 式的性质推导出所要求的不等 式.这种证明方法叫做综合法. 即:由因导果.
以下a,b,c均为正数，证下列不等式。
1.a(b c ) b(a c ) c(a b ) 6abc
( a b ) a ii i
2 i 1 i 1
n
n
2
b i
i 1
n
2
柯西（Cauchy），法国人，生于 1789年，是十九世纪前半叶最杰出 的数学家
不等式的证明
不等式的证明:
• • • • • • 一.比较法: (1)差比法:要证a>b, 只须证 a-b>0. (2)商比法:要证a>b,b>0,只须证 a/b>1. 步骤:作差 变形 判断差式的正负 作商 变形 判断商式与1的大小. 注意:差比法变形主要是分解多个因式的积 (商)或多个式子的平方和,必须分解彻底. • 商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小 从而利用不等式的传递性判断与1的大小. • 处理绝对值:(*)由定义讨论去掉绝对值符 号,(**)利用平方去掉绝对值符号.
2
. lg9 lg11____1 + 若a,b,c,d∈R ,
a b 求证： 1 abd bcd c d 2 cd b d ac
2 f(x)=x -x+m,
|x-m|<1, 证:|f(x)-f(m)|<2(|m|+1)
设ABC的三边长为a, b, c 满足a b c (n 2)
已知：f ( x) 1 x , a b,
2
证明：|f(a)-f(b)|<|a-b|
设a b c且a b c 0 求证 : b ac 3a
2
四、换元法:通过换元减少变量 从而繁化简.如:三角代换.
x r cos 2 2 2 x y r y r sin
D. ,
五.判别式法:它是利用二次方程是否有解条 件的知识. 六.放缩法:就是利用不等式的传递性把其一 边适当增大或缩小 七.利用单调性法:构造一个单调函数,而不 等式的两端恰好是这个函 数的两个函数 值.(构造函数的思想)
证明：
1 x x 1 3 2 2 x 1 2
2 2 2
八.反证法:转化为证原命题的逆 否命题是否成立. 步骤:(1)假设结论不成立; (2)利用它推出与已知,公理 矛盾; (3)产生矛盾是因为假设,故 假设不成立,从而原命题成立.
设a,b,c∈（0，1），求证
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同 时大于1/4
已知 : a, b, c R, f ( x) ax bx c
2 2
2a 1 2b 1
2 2 2 2
2.证明：a b b c c a
2 2
2(a b c)
三.分析法:从证的不等式出发,分 析使这个不等式成立的充分条 件,把证明这个不等式的问题转 化这些条件具备的问题.如果能 肯定这些条件都具备,那么就可 以判定所证的不等式成立.这种 证明方法叫做分析法. 即:执果索因.
2
若a c 0, f ( x)在 1,1 •上的最大 5• 值为2,最小值为- , 证明: 2 b a 0且| | 2 a
说明:哪一种方法都不是万能 的,要根据具体情况灵活运用.
设a、b、c∈R, 证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0, 出等号何时成立
2 2 2
并指
证明：令f (a) a (c 3b)a c 3b 3bc
c 3b 4 c 3b 3bc
2 2 2
3(c b 2bc) 3(c b) 0
设实数x,y,m,n满足 2 2 2 2 x +y =3,m +n =1,
求mx+ny的最大值_____
设x, y R, 满足x ( y 1) 1
2 2
总有x y c 0成立, c的取值范围是 A. 2 1, C.
2 1,
B. , 2 1 2 1
在等比数列a n 和等差数列b n 中， a1 =b1 >0,a 3 =b3 >0,a1 a 3 . 试比较a 5和b5的大小。
绝对值小于1的数的集合为S，在S中定义一
ab 种运算*，使得 a*b= ，求证：如 1 ab
a,b∈Ｓ则a*b ∈Ｓ．
ab 2 (a b) (1 ab) ( ) 1 2 1 ab (1 ab)
若a、b、c是不全相等得正数
ห้องสมุดไป่ตู้
求证：lg
ca bc ab ＋lg ＋lg 2 2 2
＞lga+lgb+lgc
已知a＞b ＞0，求证
2 ( a b) a b ＜
8a
2
ab ＜
( a b) 8b
2
已知a 0, b 0, 2c a b 求证•:c- c ab a c c ab
n n n
则ABC是 A.钝角三角形 C.等腰三角形 B.锐角三角形 D.非等腰的直角三角形
证明不等式:
1 1 1 * 1 2 n .(n N ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
• |a||b| |ab| 求证： 1 | a | | b | 1 | a b |
2 2 2 2 2 2
bc ca ab 3. abc a b c
b c a 4. a b c a b c
5.a, b均为不等的正数， b a 求证： a b a b
2
2
2
1.a+b=1,a,b是正数，求 a b 的最大值
•••
a b ab 2 ( ) 2 2
2
(1 a )(1 b ) <0 2 (1 ab)
2 2
• 二.综合法:利用某些已经证明过 的不等式作为基础,再运用不等 式的性质推导出所要求的不等 式.这种证明方法叫做综合法. 即:由因导果.
以下a,b,c均为正数，证下列不等式。
1.a(b c ) b(a c ) c(a b ) 6abc
( a b ) a ii i
2 i 1 i 1
n
n
2
b i
i 1
n
2
柯西（Cauchy），法国人，生于 1789年，是十九世纪前半叶最杰出 的数学家
不等式的证明
不等式的证明:
• • • • • • 一.比较法: (1)差比法:要证a>b, 只须证 a-b>0. (2)商比法:要证a>b,b>0,只须证 a/b>1. 步骤:作差 变形 判断差式的正负 作商 变形 判断商式与1的大小. 注意:差比法变形主要是分解多个因式的积 (商)或多个式子的平方和,必须分解彻底. • 商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小 从而利用不等式的传递性判断与1的大小. • 处理绝对值:(*)由定义讨论去掉绝对值符 号,(**)利用平方去掉绝对值符号.
2
. lg9 lg11____1 + 若a,b,c,d∈R ,
a b 求证： 1 abd bcd c d 2 cd b d ac
2 f(x)=x -x+m,
|x-m|<1, 证:|f(x)-f(m)|<2(|m|+1)
设ABC的三边长为a, b, c 满足a b c (n 2)