备考2025届高考数学一轮复习分层练习第八章平面解析几何第1讲直线的方程

第1讲 直线的方程
1.[2024江苏南京联考]过两点A （3，y ），B （2，0）的直线的倾斜角为120°，则y ＝（ D ） A.√3
3
B.√3
C.－√3
3
D.－√3
解析 设直线斜率为k ，则k ＝tan 120°＝
y －03－2
＝y ＝－√3，故选D.
2.已知点A （－2，3）和B （4，2），若直线l ：x ＋my ＋m －1＝0与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（ C ） A.（－∞，－1）∪（3
4，＋∞） B.（－1，3
4） C.[－1，34]
D.（－∞，－1）∪[3
4，＋∞）
解析 如图，直线l ：x ＋my ＋m －1＝0恒过定点P （1，－1），k AP ＝－4
3，k BP ＝1.当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝1，与线段AB 有交点，符合题意；当m ≠0时，直线l 的斜率为－1
m ，则－1
m ≥1或−1
m
≤－4
3
，解得－1≤m ＜0或0＜m ≤3
4
.综上，m ∈[－1，3
4
]，故选C.
3.[2024四川成都七中段考]若直线l 的方程为6x －6y cos β＋13＝0，则直线l 的倾斜角α的取值范围是（ D ） A.[0，π]
B.[π
4，π
2] C.[π4
，π2
）∪（π
2
，3π4
）
D.[π
4
，3π
4
]
解析 当cos β＝0时，l 的方程为6x ＋13＝0，直线l 的倾斜角α＝π
2；当cos β≠0时，由直线方程可得斜率k ＝1
cos β＝tan α，∵cos β∈[－1，1]，且cos β≠0，∴tan α∈(−∞，－1]∪[1,+∞)，又α∈[0，π），∴α∈[π
4
，π
2
）∪（π
2
，3π
4
].综上，倾斜角α的取值范围是[π
4
，3π
4
].
故选D.
4.[2024贵州联考]若直线l ：（a －2）x ＋ay ＋2a －3＝0经过第四象限，则实数a 的取值范围为（ C ）
A.（－∞，0）∪（2，＋∞）
B.（－∞，0）∪[2，＋∞）
C.（－∞，0）∪（3
2，＋∞） D.（－∞，0）∪[3
2，＋∞）
解析 若a ＝0，则l 的方程为x ＝－3
2，不经过第四象限.若a ＝2，则l 的方程为y ＝－1
2，经过第四象限.若a ≠0且a ≠2，将l 的方程转化为y ＝－
a －2a
x －
2a －3a
，因为l 经过第四象限，
所以－a －2a ＜0或{－a －2
a
>0，－2a －3
a
<0，
解得a ＜0或32＜a ＜2或a ＞2.综上，a 的取值范围为
(−∞，0)∪(3
2
，+∞)，故选C.
5.[2024山西模拟]将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O （0，0），A （2，0），C （0，1），将矩形纸片折叠，使点O 落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围是（ D ） A.[0，1]
B.[0，2]
C.[－1，0）
D.[－2，0]
解析 要想折叠后使点O 落在线段BC 上，可取BC 上随意一点D ，作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使点O 与点D 重合，如图.因为k OD ≥k OB ＝1
2，且k =−
1k OD
，所以－2≤k ＜0.
又当折叠后点O 与点C 重合时，k ＝0，所以－2≤k ≤0， 所以实数k 的取值范围是[－2，0].
6.[2024广东佛山容山中学校考]已知直线l 的斜率小于0，且l 经过点P （6，8），并与坐标轴分别交于A ，B 两点，C （4，0），当△ABC 的面积取得最小值时，直线l 的斜率为（ C ） A.－√3
3
B.－
3√5
4
C.－
4√3
3
D.－
3√2
4
解析 由题意可设直线l ：y ＝kx ＋b （k ＜0），将点P 的坐标代入，得8＝6k ＋b ，则b ＝8－6k ，则y ＝kx ＋8－6k （k ＜0）.不妨设A 在x 轴上，则A （6－8
k ，0），B （0，8－6k ）.
记O 为坐标原点，因为线段OA 与OB 的长度分别为6－8
k
，8－6k ，所以△ABC 的面积S ＝
12
（6－8k
－4）（8－6k ）＝12
（64－64k
－12k ）≥1
2
×（64＋2×√64×12）＝32＋16√3，当且
仅当－64
k ＝－12k （k ＜0），即k ＝－
4√3
3
时等号成立.故选C.
7.[多选/2024黑龙江牡丹江段考]已知直线l 过点P （4，5），且直线l 在两坐标轴上的截距的确定值相等，则直线l 的方程可能为（ ABC ） A.5x －4y ＝0 B.x －y ＋1＝0 C.x ＋y －9＝0
D.x ＋y ＋1＝0
解析 当直线l 过原点时，设直线方程为y ＝kx ，又直线过点P （4，5），则直线l 的方程为y ＝5
4x ，即5x －4y ＝0，故A 正确；
当直线l 不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为x
a ＋y
a ＝1，又直线过点P(4，5)，则9
a ＝1，得a ＝9，则直线l 的方程为x ＋y －9＝0，故C 正确；
当直线l 不过原点，且在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为x b
－y
b
＝1，又直线
过点P （4，5），则－1
b ＝1，得b ＝－1，则直线l 的方程为x －y ＋1＝0，故B 正确.故选ABC.
8.[多选]已知直线l ：（t ＋2）x ＋（t －1）y ＋3＝0，则下列结论正确的是（ ACD ） A.直线l 的斜率可以等于0 B.直线l 的斜率确定存在
C.当t ＝－1
2
时，直线l 的倾斜角为π
4
D.点P （1，3）到直线l 的最大距离为2√2
解析 对于A ，当t ＝－2时，直线l 的斜率为0，故A 正确；对于B ，当t ＝1时，直线l 的斜率不存在，故B 错误；对于C ，当t ＝－1
2
时，直线l ：3
2
x －3
2
y ＋3＝0，即y ＝x ＋2，斜
率为1，倾斜角为π
4，故C 正确；对于D ，直线l ：（t ＋2）x ＋（t －1）y ＋3＝0，即2x −y +3+t (x +y )=0，恒过2x －y ＋3＝0和x ＋y ＝0的交点M （－1，1），易知点P （1，3）到直线l 的最大距离为｜PM ｜＝√（1+1）2
＋（3－1）2
＝2√2，故D 正确.
9.已知直线l 的斜率为1
6，且与两坐标轴围成面积为3的三角形，则l 的斜截式方程为 y =
1
6
x +1或y =1
6x −1 . 解析 设直线l 的方程为y ＝1
6x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－6b ，所以
1
2
｜b ｜·｜－6b ｜＝3，即b 2＝1，所以b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝1
6x －1. 10.已知点M （x ，y ）是函数y ＝－2x ＋8图象上的一点，则当x ∈[2，5]时，y+1
x+1的取值范围为 [−16,5
3] . 解析
y+1
x+1
＝y －（－1）x －（－1）
的几何意义是过M （x ，y ），N （－1，－1）两点的直线的斜率.设A
（2，4），B （5，－2），因为点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2，5]，所以点M 在线段AB 上.因为k NA ＝5
3，k NB ＝－1
6，所以－1
6≤y+1
x+1≤5
3.
11.若直线l 与曲线y ＝√x 和圆x 2＋y 2＝1
5都相切，则l 的方程为（ D ）
A.y ＝2x ＋1
B.y ＝2x ＋1
2
C.y ＝1
2x ＋1
D.y ＝12
x ＋1
2
解析 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则
√k 2+1
＝√5
5 ①，设直线l 与
曲线y ＝√x 的切点坐标为（x 0，√x 0）（x 0＞0），则y'｜x ＝x 0
＝12x 0－1
2＝k ②，√x 0=
kx 0+b ③，由②③可得b ＝12√x 0，将b ＝12√x 0，k ＝1
2x 0
－
1
2
代入①得x 0＝1或x 0＝－
15
（舍去），所以k ＝b ＝1
2，故直线l 的方程为y ＝1
2x ＋1
2.
12.[多选/2024江西宜春丰城中学月考]已知点A （－2，－1），B （2，2），直线l ：2ax －2y ＋3a －3＝0上存在点P 满意｜PA ｜＋｜PB ｜＝5，则直线l 的倾斜角可能为（ BD ） A.0
B.π
4
C.π
2
D.3π
4
解析 将点A （－2，－1）代入直线l ：2ax －2y ＋3a －3＝0得a ＝－1，再将点B （2，2）代入直线l ：2ax －2y ＋3a －3＝0得a ＝1，∴点A ，B 不行能同时在直线l 上，又｜AB ｜＝√（－2－2）2
＋（－1－2）2
＝5，且|PA |+|PB |=5，∴点P 的轨迹为线段AB ，即直线l 与线段AB 恒有交点.
又直线l ：2ax －2y ＋3a －3＝a （2x ＋3）＋（－2y －3）＝0，∴直线l 恒过定点C (−3
2，
−3
2)，作出示意图如图所示，此时k AC ＝
－1+
32－2+
32
＝－1，k BC ＝
2+
322+32
＝1，故直线l 的斜率的取值范
围为（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线l 的斜率存在，故直线l 的倾斜角的取值范围为[π
4
，π
2
）∪（π
2
，3π
4
]，故选BD.
13.[情境创新]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发觉，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于探讨，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（ C ）
A.0°
B.1°
C.2°
D.3°
解析 因为O ，O 3都为五角星的中心点，所以OO 3平分第三颗小星的一个角，又五角星的每个内角均为36°，可知∠BAO 3＝18°.过A 作x 轴的平行线AE （E 在点A 右侧），则∠EAO 3＝α≈16°，所以直线AB 的倾斜角约为18°－16°＝2°，故选C.。