2019-2020学年江西省名校数学高二第二学期期末经典试题含解析

2019-2020学年江西省名校数学高二第二学期期末经典试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从图示中的长方形区域内任取一点M ，则点M 取自图中阴影部分的概率为(
)
A ．
34
B ．
33
C ．
13
D ．
25
【答案】C 【解析】 【分析】
先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案． 【详解】
图中阴影部分的面积为1
231
00
3|1x dx x ==⎰
，长方形区域的面积为1×3＝3， 因此，点M 取自图中阴影部分的概率为1
3
． 故选C ． 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题． 2．已知命题：①函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1[,2]2
； ②为了得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3
π
个单位长度；
③当0n =或1n =时，幂函数n
y x =的图象都是一条直线；
④已知函数2log ,02()12,22
x x f x x x ⎧<≤⎪
=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围
是(2,4).
其中正确的命题个数为（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【解析】 【分析】
：①根据指数函数的单调性进行判断； ②根据三角函数的图形关系进行判断； ③根据幂函数的定义和性质进行判断；
④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断. 【详解】
①因为2x
y =是增函数，所以当11x -≤≤时，函数的值域是1[,2]2
，故①正确；
②函数sin2y x =图象上的所有点向右平移
3π
个单位长度，得到函数2sin(2)3
y x π=-的图像，故②错误；
③当0n =时，0
1(0)y x x ==≠直线挖去一个点，当1n =时，幂函数y x =的图形是一条直线，故③错误；
④作出()f x 的图像如图所示：
所以()f x 在(0,1]上递减，在[1,2)上递增，在[2,)+∞上递减， 又因为,,a b c 在(0,2)上有两个，在(2,)+∞上有一个， 不妨设(0,1),(1,2),(2,)a b c ∈∈∈+∞，
则22log log 0a b +=，即1ab =，则abc 的范围即为c 的范围，
由1
202
x -+=，得4x =，
则有24c <<，即abc 的范围是(2,4)，所以④正确； 所以正确的命题有2个，故选C. 【点睛】
该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键. 3．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2
212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ）
A ．既有最大值又有最小值
B ．有最大值无最小值
C ．有最小值无最大值
D ．既无最大值也无最小值
【答案】C 【解析】 【分析】
数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】
对()2
212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为
()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.
此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：
又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题. 4．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于
A．24B．30C．10D．60
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．
【详解】
根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体
几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，
如图所示：
由题意：原三棱柱体积为：
截掉的三棱锥体积为：
所以该几何体的体积为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
5．若
0(21)2
a
x dx
+=
⎰，则实数a的值为（）
A．1B．-2C．2D．-2或1 【答案】A
【解析】
分析：据积分的定义计算即可．
详解：
()0
2
2212,0
a
a x dx x x
a a ⎰+=+=+=
解得1a =或2a =-（舍）. 故选A
点睛：本题考查的知识点是定积分，根据已知确定原函数是解答的关键．
6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且满足(3)(1)f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则
(105.5f ）=（ ）
A ．
1
2
B ．
32
C ．32
-
D ．
52
【答案】D 【解析】 【分析】
先由题得出函数的周期，再将变量调节到()2,3范围内进行求解． 【详解】
因为(3)(1)f x f x +=-，所令1x t -=，则1x t =+，所以可得(4)()f t f t +=，即(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4T
=，
则()()()(105.5426 1.5 1.5 2.5f f f f =⨯+==-）
， 又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当23x ≤≤时，()f x x = 所以()()5
2.5 2.52
f f -== 故选D 【点睛】
本题考查函数的基本性质，包括周期性，奇偶性，解题的关键是先求出函数的周期，属于一般题． 7．一个口袋内有12个大小形状完全相同的小球，其中有n 个红球，若有放回地从口袋中连续取四次（每次只取一个小球），恰好两次取到红球的概率大于8
27
，则n 的值共有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
设每次取到红球的概率为p ，结合独立事件的概率的计算公式，求得12
33p <<，再由12
n p =，即可判定，得到答案. 【详解】
由题意，设每次取到红球的概率为p ， 可得()2
2
2
48C 127p p ->
，即()219
p p ->，解得12
33p <<，
因为
12
n
p =，所以()124,8n p =∈，所以5n =或6或7. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了独立事件的概率的计算公式及其应用，其中解答中正确理解题意，合理利用独立事件的概率的计算公式，求得相应的概率的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()()(
){
}10x f x x π=∈，中含有4个元素，
则实数ω的取值范围是 A ．7562⎡⎫⎪⎢⎣⎭
， B ．31926⎛⎤
⎥⎝⎦
，
C ．7
2526⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
D ．19962⎛⎤
⎥⎝
⎦， 【答案】D 【解析】 【分析】
先求出()2sin 3f x x πω⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，解方程()1f x =得直线1y =与曲线()y f x =在()0+∞，上从左到右的五个交点的横坐标分别为3715192766666πππππωωωωω，，，，，再解不等式192766ππ
πωω
<≤得解. 【详解】
()()
sin 2sin 03f x x x x πωωωω⎛
⎫==-> ⎪⎝
⎭.
由题意，()1f x =在()0π，上有四个不同的实根. 令2sin 13x πω⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭，得()236x k k Z ππωπ-=+∈或()5236
x k k Z ππ
ωπ-=+∈， 即()22k x k Z ππωω=
+∈或()726k x k Z ππωω
=+∈. 直线1y =与曲线()y f x =在()0+∞，上从左到右的五个交点的横坐标分别为3715192766666πππππωωωωω
，，，，.
据题意是192766πππωω<≤，解得199
62
ω<≤. 故选D.
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
9．正切函数是奇函数，()()2
tan 2f x x =+是正切函数，因此()()
2
tan 2f x x =+是奇函数，以上推理
（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．以上均不正确
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。

【详解】
大前提：正切函数是奇函数，正确；
小前提：()()
2
tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；
结论：()()
2
tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；
结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C 【点睛】
本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。

10．函数3
1413
y x x =
-+的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案． 【详解】 ∵3
1413
y x x =
-+，∴24y x '=-， 令0y '=得2x =±；当()2,2x ∈-时，0y '<，即函数在()2,2-内单调递减， 可排除B,D ；又2x =时，0y <，排除C ，故选A. 【点睛】
本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题. 11．设随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(2)0.1P ξ<-=，则函数3
221()23
f x x x x ξ=++有极值点的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.3
C ．0.4
D ．0.5
【答案】C 【解析】
分析：函数()3
22123
f x x x x ξ=
++有极值点，则()2240f x x x ξ=+'+=有解，可得ξ的取值范围，再根据随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ，可得曲线关于直线2x =对称，从而可得结论.
详解：函数()3
22123
f x x x x ξ=
++有极值点， ()2240f x x x ξ∴=++='有解，
21640ξ∴∆=-≥， 22ξ∴-≤≤，
随机变量ξ服从正态分布(
)2
2,N σ
，若(2)0.1P ξ<-=，
()220.50.10.4P ξ∴-≤≤=-=.
故选：C.
点睛：本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查运算求解的能力，属于中档题. 12．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
π
θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）
A ．
14
B C D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
π
θ=与直线cos sin 1
ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式121sin 23
S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】
设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3
π
θ=
与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
， 则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即2213
122
ρρ+=，得231ρ=-. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为(
)
1211
333
sin 131232
S πρρ-==⨯⨯-⨯
=
， 故选：B. 【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题
13．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的33⨯的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有_____种排法 【答案】2592 【解析】 【分析】
假设海军为a ，空军为b ，陆军为c ，先将a ，b ，c ，填入
的小方阵，有12种填入方法，再每个a ，b ，
c 填入3名士兵均有3
36A =种，根据分步计数原理可得．
【详解】
解：假设海军为a ，空军为b ，陆军为c ，先将a ，b ，c ，填入33⨯的小方阵，则有3
3212A =种，每个a ，
b ，
c 填入3名士兵均有3
36A =种，故共有126662592⨯⨯⨯=，
故答案为：2592
a
b
c
b
c
a
c
a
b
【点睛】
本题考查了分步计数原理，考查了转化能力，属于难题．
14．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把
m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择: 2月5日，2月7日，2月9日，
3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是_______． 【答案】3月2日 【解析】 【分析】
甲说“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五个日期，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，再排除2个日期，由此能求出结果. 【详解】
甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，所以甲说“我不知道”，
根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正确，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，而剩余的5个日期中乙能确定生日，说明一定不是7日，甲接着说，“哦，现在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，现在可以得知张老师生日为3月2日. 【点睛】
本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确解题的关键是读懂题意，能够根据叙述合理运用排除法进行求解.
15．在2
5
(2x
的展开式中的所有x 的整数次幂项的系数之和为__________． 【答案】122 【解析】
分析：根据二项式定理的通项公式，写出所有x 的整数次幂项的系数，再求和即可。

详解：5101022
1
5
T
(1)(2)
k k k
k k C x
-
-+=-所以整数次幂项为5102
k
-
为整数是k 0,2,4= 5010
325140153555T 2T 2T 2C x C x C x ===，，，所以系数之和为122
点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项1T k +的表达式，使其满足题目设置的条件。

16．若函数y x b =+与函数y =b 的取值范围是________；
【答案】 【解析】
作出函数212y x =-的图象和直线y x b =+，由图形观察可知它们有两交点的情形。

【详解】
作出函数212y x =-的图象和直线y x b =+，如图，2
(,0)2
A -
当直线y x b =+过点A 时，2b =
当直线y x b =+与函数212y x =-212x b x +=-223210x bx b ++-=，
22412(1)0b b ∆=--=，6b =
6， ∴函数y x b =+与函数212y x =-26
22
b ≤<。

故答案为：26
,22
【点睛】
本题考查直线与函数图象交点个数问题，解题时用数形结合思想，即作出函数图象（半个椭圆）及直线当平移直线时观察它与函数图象的交点情况．本题解题时要特别注意函数图象只是椭圆的上半部分，不能误认为是整个椭圆，那就会得出错误结论．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 总计
20
10
30
（Ⅰ）根据以上22⨯列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？
（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X 的分布列及
参考公式：()()()()()
2
2
=n ad bc a b c d a c b d κ-++++，其中=n a b c d +++
参考数据：
【答案】 (1)见解析;(2)见解析. 【解析】
分析：（1）由列联表和卡方的计算公式，得2K 的字，即可作出判断；
（2）根据题意，X 可取的值为0,1,2，求解随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用期望的公式即可求解数学期望．
详解：（1）由列联表可得()
()()()()
()2
2
2
3042816107.87912182010
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
=
=>++++⨯⨯⨯
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响． （2）根据题意，X 可取的值为0，1，2．
()2
42121
011C P X C ===，()118421216133C C P X C ===，()
2821214233
C P X C ===
所以X 的分布列是
X 的数学期望是()0121133333
E X =⨯
+⨯+⨯=． 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算，利用组合数的公式求解随机变量的取值对应的概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
18．在以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知点2A π⎫
⎪⎭
到直线():sin 04l m m πρθ⎛
⎫-=> ⎪⎝
⎭的距离为3.
（1）求实数m 的值；
（2）设P 是直线l 上的动点，点Q 在线段OP 上，且满足1OP OQ ⋅=，求点Q 轨迹的极坐标方程. 【答案】（1）4m =;（2）1sin()44
π
ρθ=-.
【解析】 【分析】
（1）分别求出A 的直角坐标与直线l 的直角坐标方程，再由点到直线的距离公式列式求得m 值； （2）设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11
ρρ
=，结合P 在直线l 上即可求得点Q 轨迹的极坐标方程．
【详解】
解：（1
）由点)2A π，得A
的直角坐标为，由直线:sin()(0)4l m m π
ρθ-=>，
sin cos m θθ=
，即0x y -=
3=，解得4(0)m m =>； （2）直线:sin()44l πρθ-=．设(,)Q ρθ，1(,)ρθP ，则11ρρ=，1sin()44
π
ρθ-=，
sin()44πθρ∴-=，即点Q 轨迹的极坐标方程为1sin()44
π
ρθ=-．
【点睛】
本题考查轨迹方程，考查极坐标方程，考查学生分析解决问题的能力. 19．（选修4-4.坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程是1,
x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
sin cos 0m θρθ-+=. （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）设点(),0P m ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值. 【答案】（1）()2
212x y -+=
，)y x m =-（2
）1m =±0m =或2m =. 【解析】
试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线C 的普通方程为
()
2
212x y -+=.直线l
)x m y x m -+⇒=
-.（2）由题可知12PA PB t t =,
所以联立,12x m y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
和()2212x y -+=得
2
22
1122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
)()21120m t m -+--=，代入韦达定理即得答案
解析：
（1
）()221,
12x x y y αα
⎧=+⎪⇒-+=⎨
=⎪⎩， 故曲线C 的普通方程为()2
212x y -+=. 直线l
)x m y x m -+⇒=
-. （2）直线l
的参数方程可以写为,212x m y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()2
212x y -+=可以得
到2
221122m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
)()21120m t m -+--=， 所以()2
12121PA PB t t m ==--= 2
211m m ⇒--= 2220m m ⇒-==或220m m -=，
解得1m =±0m =或2m =.
20．设数列{}n a 满足13a =，21
143n n n a a -+-=⨯，*n ∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2
3
n n b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）()
(
)
1*391
2
n n a n -+=∈N （2）()
*9(81)1(1)64642
n
n
n n n S n -+=++∈N 【解析】 【分析】
（1）由数列恒等式()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得()1192
3
n n n b na n -=
=+，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】
（1）13a =，21
143n n n a a -+-=⨯
当2n ≥时，()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
(
)
(
)12325391
433332
n a n ---+=++
++=
而13a =，符合上式，
所以数列{}n a 的通项公式为()
()1*
391
2
n n a n -+=∈N
（2）()1192
3
n n n b na n -=
=+， 设2
11129399n n T n -=⋅+⋅+⋅+
+⋅，
2391929399n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯+⋅，
相减可得2
1
81999
9n n
n T n --=+++⋯+-⋅19919
n
n n -=-⋅-，
化简可得18)19(64
n
n n T +-⋅=，
可求和得：()
*9(81)1(1)
64642
n n n n n S n -+=++∈N
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
21．已知函数3()395f x x x =-+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值． 【答案】（1）(,1),(1,)-∞-+∞;（2）11,-1 【解析】 【分析】 【详解】
(1)2'()99f x x =-. 令2990x ->,
解此不等式，得x<-1或x>1,
因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和. (2) 令2990x -=,得1x =或1x =-.- 当x 变化时，
'()f x ，()f x 变化状态如下表：
从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.
22．（1）求关于x 的不等式125x x ++-<的解集；
（2）若关于x 的不等式2
21x x m --≥在x ∈R 时恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{|23}x x -<<；（2）2m ≤- 【解析】
分析：（1）分类讨论，转化为三个不等式组，即可求解不等式的解集；
（2）由题意，令2
()|21|f x x x =--，则不等式恒成立，即为min ()m f x ≤，分类讨论即可求解实数m 的
取值范围．
详解：（1）原不等式化为： ①1
125
x x x <-⎧⎨
---+<⎩ 或②12125x x x -≤≤⎧⎨
+-+<⎩或 ③2125x x x >⎧
⎨++-<⎩
．
解得21x -<<-或12x -≤≤或23x <<． ∴ 原不等式的解集为{|23}x x -<<
（2）令()2
21f x x x =--，则只须()min m f x ≤即可．
①当12x ≥时，()()2
22110f x x x x =-+=-≥（1x =时取等）； ②当12
x <时，()()2
221122f x x x x =+-=+-≥-（1x =-时取等）．
∴ 2m ≤-．
点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解及其应用，其中合理分类讨论，转化为等价不等式组进行求解是解答绝对值问题的关键，着重考查了推理与运算能力．。