四种命题

逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
观察命题(1)与(3)的条件和结论之间分别有什么关系？ 1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.
常把条件p的否定和结论q的否定分别记作"┐p","┐q", 读作“非Ｐ”“非q”。 互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命 题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命 题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫 做原命题的否命题。 原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q 命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是____ 否命题：同位角不相等，两直线不平行
┐p ┐q
p
q
探究2：如果原命题是真命题，那么它的否命题一定是 真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行. （真命题） 否命题:同位角不相等,两直线不平行. （真命题） 例2.原命题:若f (x)是正弦函数,则f (x) 是周期函数 （真命题） 否命题:若f (x)不是正弦函数,则f (x)不是周期函数 （假命题） 原命题是真命题，它的否命题不一定是真命题.
观察命题(1)与(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； q p 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
1.
互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是 第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个 命题叫做互为逆否命题。 原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
证明: 假设 p q 2 ,
则 ( p q) 2 4 , ∴ p2 q 2 2 pq 4 ,
2 2
假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立
∵ p q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p q ) 4 , ∴ p q 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p q 2. 得证
原命题:等，两直线平行”的逆命题是 _____ 逆命题：两直线平行，同位角相等 探究1：如果原命题是真命题，那么它的逆命题一定是 真命题吗？ （真） 例1.等边三角形的三个内角相等. 逆命题:三个内角相等的三角形是等边三角形. （真） 例2.若f (x) 是正弦函数,则f (x) 是周期函数. （真） 逆命题:若f (x) 是周期函数,则f (x) 是正弦函数. （假） 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命 题也为真命题.
变式练习
p3 q3 2 。求证：p q 2. 1、已知
解：假设p+q>2,那么q>2-p, 根据幂函数
y x 的单调性，得 q (2 p) ,
3
3 3
q3 8 12 p 6 p2 p3 , 即 1 2 3 3 2 p q 8 12 p 6 p 6 ( p 1) , 3 p3 q3 2. 因此 p3 q3 2. 所以
（正确） 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；
（正确） （错） （错）
（假） （假） （假） （假）
几条结论:
（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但
其逆命题、否命题不一定为真。
（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但
其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的 推理过程中一定要用到才行
王新敞
奎屯 新疆
反面成立。 2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 矛盾。 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：



与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
四种命题及相互关系
1、四种命题的概念 2、四种命题的关系 3、四种命题的真假判断
1. 命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或 式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2. 命题的结构：从构成来看，所有的命题都具 若p，则q 由条件和结论两部分构成 3. 命题的真假判断：
(1)判定一个命题是真命题，要经过证明． (2)判定一个命题是假命题，只需举一个反例．
原命题是真命题,它的逆否命题一定是真命题.
原命题是假命题,它的逆否命题一定是假命题。
一些常见的结论的否定形式.
原词语
等于
否定词 不等于 不是
原词语
否定词 某个
任意的
至少有一个
是 都是 大于 小于
一个也没有 不都是 至多有一个 至少有两个 不大于 至少有n个 至多有（n-1)个 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 存在某x， 成立
下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系？
1.
2. 3. 4.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。
所以原命题
a b
成立
练
圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
证明： 假设弦AB 、CD被P平分， ∵P点一定不是圆心O，连接OP， 根据垂径定理的推论有， OP⊥AB, OP⊥CD 即 过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾， ∴弦AB、CD不被P平分。
对所有x, 存在某x， 对任何x， 不成立 成立 不成立
所有的 某些
看下面的例子：
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) (假) 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 (假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 (真) 3）原命题：若x∈A∪B，则x∈ U A∪ UB。 假 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 假 假 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。 (真) (真) (真) (真)
这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原 命题为真命题。
例
用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a b .
证明: 假设
a 不大于 b 则 a< b 或 a= b 因为 a > 0,b > 0 所以
a< b a a b a
a b b b a <b
a = b a =b 这些条件都与已知a b 0 矛盾
命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是____ 逆否命题：两直线不平行，同位角不相等
探究3：如果原命题是真命题，那么它的逆否命题一定 是真命题吗？ 例1.原命题:同位角相等,两直线平行. （真命题） 逆否命题:两条直线不平行,同位角不相等. （真命题） 例2.原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 （假命题） 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。 （假命题）
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现:从命 题结论的反面出发, 引出矛盾(如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.
反证法：
要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的。 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法。