2014-2015年北京市门头沟区八年级(上)期末数学试卷含参考答案

2014-2015学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．（3分）25的算术平方根是（）
A．5B．±5C．±D．
2．（3分）下列实数中，是无理数的是（）
A．B．﹣0.3C．D．
3．（3分）下列计算中正确的是（）
A．÷3=3B．2+3=5C．2×3=6
D．（）2=﹣4
4．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．（3分）方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（）
A．有两个相等实根B．有两个不等实根
C．没有实根D．以上答案都有可能
6．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，8，13 7．（3分）下列根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
8．（3分）下列各式中，正确的是（）
A．=x3B．=
C．=﹣D．+=
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）
A．12B．4C．8D．不确定10．（3分）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）
A．6条B．7条C．8条D．9条
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．（2分）如果分式的值为0，那么x=．
12．（2分）若使二次根式有意义，则x的取值范围是．
13．（2分）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是（只写一个条件即可）．
14．（2分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b=．15．（2分）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为．
16．（2分）当1＜x＜2时，化简+=．
17．（2分）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k 的值是．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C=°．
19．（2分）=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2≠0．用R1，R2表示R，则R=．
20．（2分）如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．（5分）．
22．（5分）计算：4÷（﹣）×．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
24．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
25．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
26．（7分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
27．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
28．（6分）先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
29．（6分）列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
七、解答题（本题10分）
30．（10分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？
若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
2014-2015学年北京市门头沟区八年级（上）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一
个是符合题意的，请将答案填写在下面表格内．
1．（3分）25的算术平方根是（）
A．5B．±5C．±D．
【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故选：A．
2．（3分）下列实数中，是无理数的是（）
A．B．﹣0.3C．D．
【解答】解：﹣0.3，，=﹣2，都是有理数，
只有是无理数．
故选：A．
3．（3分）下列计算中正确的是（）
A．÷3=3B．2+3=5C．2×3=6
D．（）2=﹣4
【解答】解：A、÷3=，原式计算错误，故本选项错误；
B、2和3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、2×3=6，计算正确，故本选项正确；
D、（）2=4，计算错误，故本选项错误．
故选：C．
4．（3分）下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；
B、有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，
直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，
直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误．
故选：B．
5．（3分）方程x2﹣4x﹣6=0的根的情况是（）
A．有两个相等实根B．有两个不等实根
C．没有实根D．以上答案都有可能
【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣6=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣6）=16+24=40＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）A．2，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，8，13
【解答】解：A、22+22≠32，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、22+32≠42，故不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、32+42=52，故能组成直角三角形，故此选项正确；
D、52+82≠132，故不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
7．（3分）下列根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、，符合最简二次根式的定义，
故选：D．
8．（3分）下列各式中，正确的是（）
A．=x3B．=
C．=﹣D．+=
【解答】解：A、=x4；故A错误；
B、不能化简，故B错误；
C、=﹣，故C错误；
D、+=+=，故D正确，
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）
A．12B．4C．8D．不确定
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠CBE=∠BEM，∠BCE=∠CEN，
∴∠ABE=∠BEM，∠ACE=∠CEN，
∴BM=ME，CN=NE，
∴△AMN的周长=AM+ME+AN+NE=AB+AC，
∵AB=AC=4，
∴△AMN的周长=4+4=8．
故选：C．
10．（3分）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）
A．6条B．7条C．8条D．9条
【解答】解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：B．
二、填空题（本题共20分，每小题2分）
11．（2分）如果分式的值为0，那么x=．
【解答】解：由分式的值为零的条件得2x﹣1=0，
由2x﹣1=0，得x=，
故答案为．
12．（2分）若使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
13．（2分）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，AB=AC，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是AD=AE（只写一个条件即可）．
【解答】解：添加条件：AD=AE，
在△AEB和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
故答案为：AD=AE．
14．（2分）将一元二次方程x2﹣6x﹣5=0化成（x﹣3）2=b的形式，则b=14．
【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，
x2﹣6x=5，
x2﹣6x+9=5+9，
（x﹣3）2=14，
故答案为：14．
15．（2分）一个三角形两边长分别为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为7或9．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应＞5，而＜11．
又第三边是奇数，则第三边应是7或9．
16．（2分）当1＜x＜2时，化简+=1．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴+
=+
=2﹣x+x﹣1
=1．
故答案为：1．
17．（2分）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1=0的一个根，则实数k 的值是﹣1．
【解答】解：把x=1代入方程得：2+k﹣1=0，
解方程得k=﹣1．
故答案为：﹣1
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．若∠BAE=40°，则∠C=25°．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∵∠B=90°，∠BAE=40°，
∴2∠C=90°﹣40°=50°，
∴∠C=25°，
故答案为：25．
19．（2分）=+是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且R1+R2
≠0．用R1，R2表示R，则R=．
【解答】解：方程两边同乘RR1R2，
R1R2，=RR2+RR1，
R1R2，=R（R2+R1），
R=，
故答案为．
20．（2分）如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB=α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能使PD+DC最小，此时∠PDC=2α．
【解答】解：过P的作关于OB的对称点P'，作P′C⊥OA于C，交OB于D，此时PD=PD′，根据点到直线的距离最短可知PD+DC=P′C最短，
∵∠PDB=∠P′DB，∠CDO=∠P′DB，
∴∠CDO=∠PDB，
∵P′C⊥OA，∠AOB=α，
∴∠CDO=90°﹣α，
∴∠PDC=180°﹣2（90°﹣α）=2α．
故答案为：2α．
三、计算（本题共10分，每小题5分）
21．（5分）．
【解答】解：原式=+===．
22．（5分）计算：4÷（﹣）×．
【解答】解：原式=﹣2÷×
=﹣×
=﹣．
四、解方程（本题共15分，每小题15分）
23．（15分）（1）3x2﹣6x﹣2=0
（2）3x（x+2）=2x+4
（3）+=1．
【解答】解：（1）3x2﹣6x﹣2=0，
∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，
∴b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×3×（﹣2）=60，
∴x=，
x1=，x2=；
（2）3x（x+2）=2x+4，
3x（x+2）﹣2（x﹣2）=0，
（x﹣2）（3x﹣2）=0，
x﹣2=0，3x﹣2=0，
x1=2，x2=；
（3）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x+2）+6（x﹣2）=（x+2）（x﹣2），解得：x=1，
检验：当x=1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x=1是原方程的解，
即原方程的解为x=1．
五、解答题（本题共17分，其中26-27每小题5分，28题7分）
24．（5分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC．
【解答】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
25．（5分）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，∠C=65°，求∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∵∠C=65°，
∴∠CAD=90°﹣65°=25°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°+25°=70°．
26．（7分）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，若AC=6，BC=8，请求出CD的长度．
【解答】解：（1）如图所示：所以点D为所求；
（2）过点D做DE⊥AB于E，设DC=x，则BD=8﹣x
∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴由勾股定理得AB==10…（3分）
∵点D到边AC、AB的距离相等
∴AD是∠BAC的平分线
又∵∠C=90°，DE⊥AB
∴DE=DC=x，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
∴BE=4，
Rt△DEB中，∠DEB=90°，
∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，
即x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3．
答：CD的长度为3．
六、解答题（本题共18分，每小题6分）
27．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）=0，解得m=5．
当m=5时，原方程化为x2﹣4x+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
28．（6分）先化简，再求值：﹣（÷），其中x2﹣3x﹣4=0．
【解答】解：原式=﹣[•]=﹣==﹣
，
∵x2﹣3x﹣4=0，
∴x2﹣3x=4，即x（x﹣3）=4，
∴原式=﹣．
29．（6分）列方程解应用题
为了迎接春运高峰，铁路部门日前开始调整列车运行图，2015年春运将迎来“高铁时代”．甲、乙两个城市的火车站相距1280千米，加开高铁后，从甲站到乙站的运行时间缩短了11小时，大大方便了人们出行．已知高铁行使速度是原来火车速度的3.2倍，求高铁的行驶速度．
【解答】解：设原来火车的速度是x千米/时，根据题意得：
﹣=11，
解得：x=80，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故80×3.2=256（km/h）．
答：高铁的行驶速度是256km/h．
七、解答题（本题10分）
30．（10分）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：AD=BE．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？
若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．
【解答】解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，
∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，
∴∠ACD=∠ECB；
在△ACD与△ECB中，
，
∴△ACD≌△ECB（SAS），
∴AD=BE，
故答案为AD=BE．
（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；
在△ECB和△ACD中，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴∠CEB=∠CAD；
设BE与AC交于Q，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，
∴HC=PC，∠CHP=60°，
∴∠CHE=120°；
又∵∠APE=∠CPE=60°，
∴∠CPA=120°，
∴∠CPA=∠CHE；
在△CPA和△CHE中，
，
∴△CPA≌△CHE（AAS），
∴AP=EH，
∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．。