仿射变换在三角形中的应用

2014届本科毕业论文仿射变换在三角形中的应用
学院：数学科学学院
专业班级：
学生姓名：
指导教师：
答辩日期：2014年5月8日
新疆师范大学教务处
目录
引言 (2)
一、仿射对应与仿射变换 (2)
二、仿射性质 (3)
2.1 仿射不变量 (3)
2.2 三角形仿射等价性 (5)
三、仿射变换在三角形中的应用 (5)
总结 (8)
参考文献 (9)
致谢 (10)
仿射变换在三角形中的应用
摘要：此文章中主要谈的是仿射变换在三角形问题中的应用.本论文分为六大部分，分别是引言，透视仿射对应，仿射对应与仿射变换，仿射性质，三角形仿射等价性，实际例题和总结.文章先介绍了透视仿射对应与仿射对应（变换），做好了实际应用的准备.然后利用它，进行解决关于三角形的实际问题.在引言部分介绍了“仿射变换”的来源.在透视仿射对应阶段中给出了透视仿射对应的概念.仿射对应与仿射变换部分介绍了仿射对应与仿射变换的定义.仿射性质部分介绍了仿射变换的一些性质.三角形仿射等价性介绍了三角形的特殊性质.最后利用仿射变换的性质进行了解决关于三角形的实际问题.
关键词：透视仿射对应；仿射对应；仿射变换；仿射性质；
引言
仿射变换是高等几何的重要组成部分，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在三角形上的应用.本文对中学数学教师，中学生和大专院校数学系学生学习和钻研几何知识会起到良好的辅导和启迪作用.实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在三角形中的应用.
一、仿射对应与仿射变换
定义1.1 在一平面上设有直线a 和a '，L 为此平面上与a ，a '均不平行的另
一直线，通过直线a 上各点A,B,C ，…分别作与L 平行的直线，顺次交a '于A '，
B '，
C '，…，这样便得到直线a 上点到 a '上的一个一一对应，称为透视仿射对
应.
如图（1）
图（1）
定义1.2 设同一平面内有n 条直线n a a a ,,,21 ，如图（2）.121,,-n ϕϕϕ 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1,-n a 到n a 的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，这个对应称为1a 到n a 的仿射对应，用ϕ表示，于是有
1221ϕϕϕϕϕ⨯⨯⨯⨯=-- n n
如图（2）
1A i
A n
A 2
A 1
B 2
B i B n B 1
C 2
C i
C n C 2
a i
a 1a n
a A
B
C
A '
B '
C '
l a '
a
如果直线1a 与n a 重合，则1a 到n a 的仿射对应叫做直线1a 到自身的仿射变换.仿此可以得到二平面间的仿射对应.平面1π到n π的仿射对
1221ϕϕϕϕϕ⨯⨯⨯⨯=-- n n .
所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果. 当1π与n π重合时，ϕ称为平面1π到自身的仿射变换.
由于仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积（称为透视仿射对应链），因此不难证明它们具有下列性质：
（1） 保持同素性和结合性； （2） 保持共线三点的单比不变； （3） 保持直线的平行性.
但对两个点集来讲，在仿射对应下，对应点连线不一定平行. 现在也可以直接用前两个性质定义仿射对应(变换).
定义1.3 若两个平面间(平面到自身)的一个点对应(变换)保持同素性,结合性和共线三点的单比不变,则这个点对应(变换)称为仿射对应(变换).
注意: 在这个定义下，可以证明仿射对应(变换)保持两直线的平行性. 据此还可以证明，平行四边形经过仿射对应(变换)后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应(变换)后，其长度之比不变.
二、 仿射性质
下面我利用这些定义推出了一些性质. 我们在高等几何中已学过仿射变换的定义和仿射变换的一些性质.它在高等几何中的作用和地位是不能小看的.它的应用是多种多方面的.如:它在三角形中的应用，共线共点问题中的应用, 在椭圆问题上的应用...等等.
2.1 仿射不变量
定义2.1 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性
质（仿射不变量）.
性质1 两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.
性质2 两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线. 性质3 共点直线经仿射变换后仍变为共点直线. 性质4 两条平行直线段之比是仿射不变量. 性质5 两个三角形面积之比是仿射不变量. 性质6 两个多边形面积之比是仿射不变量.
性质7 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
以上说过的仿射变换的7个性质之中我们只证明性质5,其他的很容易得出所以全部忽略.
证明 设在笛卡儿坐标系下,已知不共线三点()111,y x p ,()()333222,,,y x p y x p
经过仿射变换111213
212223x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩
22
211211a a a a =
∆0≠后,对应点为
()()()333222111
,,,,,y x p y x p y x p '''''''''，于是 1
11
2133
2211321y x y x y x S p p p =
∆的绝对值 （1） 111213
3
2
21
1
321y x y x y x S p p p ''''''='
''∆的绝对值 （2） 将把111213
212223x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨'=++⎩
22
211211a a a a =
∆0≠代入（2）
，得 111
2
1
2332232113312311232222211321221123
12212113
112111321a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a a y a x a S p p p ++++++++++++=
∆的绝对值 1
00
1112123
13
2212211133
2211
a a a a a a y x y x y x ⋅=
的绝对值 12212211321a a a a S p p p -=∆
所以
122122113
21321a a a a S S p p p p p p -=∆'''∆
同理,任意其它三角形123Q Q Q 经变换111213
212223
x a x a y a y a x a y a '=++⎧⎨
'=++⎩111221220a a a a ∆=≠后得对应三角形12
3Q Q Q '''.其面积之比仍为 123123Q Q Q Q Q Q s s ∆'''
∆=11222112a a a a -
所以
123123123123
p p p p p p Q Q Q Q Q Q s s s s '''∆∆'''
∆∆=
既两个三角形面积之比是仿射不变量.
2.2 三角形仿射等价性
因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形.因此，如果我们要证明
一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立.而正三角形
是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多.
例1 在ABC ∆的中线AD 上任取一点P ，连接BP 、CP ，并延长BP 交AC 于
E ，延长CP 交AB 于
F ，求证：EF ∥BC .
D 'C '
D
B B'
图1-1 图1-2
证明：如图1-2，作仿射变换T ，使得ABC ∆对应正C B A '''∆，由仿射性质可知，点D 、P 、E 、F 相应地对应D '、P '、E '、F '，且D A ''为正C B A '''∆的中线.
在正C B A '''∆中D A ''也是C B ''边上的高，且B '、P '、E '与C '、P '、F '关于D A ''对称，E '、F '到C B ''的距离相等，则F E ''∥C B ''，
由于平行性是仿射不变性，因此，在ABC ∆中EF ∥BC .
三、仿射变换在三角形中的应用
仿射变换在三角形中的应用是很重要的.在初等几何中有大量的命题是研究图形的仿射性质的.我们利用仿射变换的性质来解决在初等几何中关于三角形椭圆,圆,四边形的共线共点的问题.仿射变换在三角形问题中有什么应用呢?现在我们利用仿射性质和仿射变换来解决三角形问题.
例2 P 是ABC ∆内任一点，连结AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、
E 、
F .求证：
1=++CF
PF
BE PE AD PD .
E
D F
P''
A
B C
P
P'
图2-1
证明：如图2-1，分别沿AB 和AC 方向作平行投影.P →P '、P →P ''由仿射变换保简单比不变得，
DC DP BD D P AD PD '''==，所以BC
P P AD PD '
''=
. 同理
BC C P BE PE ''=，BC BP CF PF '=
. 所以1'
'''''=++=
++BC
BP BC C P BC P P CF
PF
BE
PE AD
PD .
例3 ABC ∆的每边三等分，将每分点与三角形的对点相连，这六条线构
成一个六边形，求证它们的三对对顶点连线共点．
证：设ABC ∆可由一正A B C '''∆经过一仿射变换T 得到如图：
图3-1 图3-2
显然，1D '，4
D '在从点A 向对边所作的中线1A M ''上；同理3D '，6D '与B '，C '所作对边的中线2B M ''，3C M ''上．
因正A B C '''∆的三中线共点于O '，所以六边形123456D D D D D D ''''''三对对顶点的连线14D D ''，36D D ''，25D D ''共点于O '．
根据仿射变换的性质，可知14D D ，36D D ，25D D 也共点于O ．
再将此三角形经仿射变换1
-T
变为原三角形，结论依然成立.
例4 一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶
点的有向线段的比的乘积等于﹣1.[3]
−→
−T
分析 如图4-1，本题要求证明当L 、M 、N 三点共线时，1-=⋅⋅NB
AN
MA CM LC BL .其逆命题亦成立.
N
B
A
L'(L)
A'C B A
M
M
N
A'
L C
（1） （2）
图 4-1
证明 （1）证明梅涅劳斯定理成立
由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便.
如图4-1 (1)，以MN 为投影方向，将A 、N 、M 点平行投影到直线BC 上的A '、
L 、L '点，则
1''-=⋅⋅=⋅⋅LB
L
A LA CL LC BL N
B AN MA CM L
C BL .即原命题成立. 上面所说总之，仿射变换在高等几何中的应用确实很重要的．仿射变换实现了在高等几何中更多的方便，更多的知识路径．
总结
放射变换是高等几何的重要组成部分，本文利用仿射变换和放射的性质来解决一些初等几何中的三角形问题.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论仿射变换在三角形的应用。

本文对中学数学教师，中学生和大专院校数学系学生学习和钻研几何知识会起到良好的辅导和启迪作用.实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在三角形问题中的应用.
参考文献
[1] 梅向明，刘增贤，王智秋 .“高等几何” .北京: 高等教育出版社， 2007年．第二版.
[2]，李冠堂，李厚荣，梁康健.“仿射几何及其在初等几何中的应用”. 沉阳 : 辽宁教育出版社，1991年.
[3] 梅向明，刘增贤，王智秋.“高等几何” . 北京:高等教育出版社，2008年．第三版.
[4] 周建伟.“高等几何” .苏州:苏州大学出版社，2000年.第一版.
致谢
大学四年即将结束，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了我们数学科学学院的的各级领导，老师和我最亲爱的同学们，得到了他们无微不至的关怀，使得我顺利的完成了学业，同时有了身边优秀的老师和同学们的带动下，我的道德修养也有了很大的提高和改善，再次我向他们表示最衷心的感谢！
感谢我的指导老师，吐尔洪老师他很慈祥，当我遇到不清楚的难题时，总是关心我，指导我怎么解决，帮我顺利的完成了我的毕业论文.老师身上的很多优点，尤其是他对工作的态度，严谨细致是我学习的地方.
我还要感谢，我大学四年认识的所有好朋友，是他们让我拥有了自信，得到了鼓励，才让我的这个大学四年的生活才有意义.我将永远珍惜这难得的友谊.在很多可敬，尊敬的老师，朋友，和同学的帮助下，我的毕业论文才顺利完成，在这里我向你们表示真诚的谢意！再次对吐尔洪老师表示我最真诚的谢意！
此致
敬礼：亚森·达伍提。