新邱区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

新邱区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需
要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
2． 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）=0
，则不等式＜0的解集为（ ）
A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）
B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D ．（﹣1，0）∪（0，1）
3．
10y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．
60 D ．
30 4． ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力. 5． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88% 6． sin570°的值是（ ） A
．
B
．﹣ C
．
D
．﹣
7．
已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列 C ．公比为a 的等比数列
D
．公比为的等比数列
8． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 设a=lge ，b=（lge ）2，c=lg
，则（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．c ＞a ＞b
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞b ＞a
10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若
=2
，
=
，则λ=（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
11．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°
12．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2
D ．2 5
二、填空题
13．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和
的最小值为 ．
14．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
15．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
16．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
17．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
18．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题
19．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交
点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．
20．已知直线l1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0．
（1）求圆C1的直角坐标方程，直线l1的极坐标方程；
（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．
21．（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
（2）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件+=1．
22．设p：关于x的不等式a x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
23．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.
24．已知函数()()2
1+2||02
()1()102
x x x x f x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．
（1）画出函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的单调区间和值域；
（2）根据图像求不等式3
(x)2
f ≥的解集（写答案即可）
新邱区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A ．
2． 【答案】D
【解析】解：由奇函数f （x ）可知，即x 与f （x ）异号，
而f （1）=0，则f （﹣1）=﹣f （1）=0，
又f （x ）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x ＜1时，f （x ）＜f （1）=0，得＜0，满足；
当x ＞1时，f （x ）＞f （1）=0，得
＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x ＜0时，f （x ）＞f （﹣1）=0，得＜0，满足；
当x ＜﹣1时，f （x ）＜f （﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x 的取值范围是﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1． 故选D ．
【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．
3． 【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα==，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 4． 【答案】A.
【解析】在ABC ∆中2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B >⇒->-⇔>⇔>
A B ⇔>，故是充分必要条件，故选A.
5． 【答案】B 【
解
析
】
6．【答案】B
【解析】解：原式=sin（720°﹣150°）=﹣sin150°=﹣．
故选B
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
7．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
8．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
9．【答案】C
【解析】解：∵1＜e＜3＜，
∴0＜lge＜1，∴lge＞lge＞（lge）2．
∴a＞c＞b．
故选：C．
【点评】本题主要考查对数的单调性．即底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．
10．【答案】A
【解析】解：在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点
∵
=2
，
=
，
∴
=
，
∴λ
=， 故选A ．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．
11．【答案】A
【解析】解：根据余弦定理可知
cosA=
∵a 2=b 2+bc+c 2， ∴bc=﹣（b 2+c 2﹣a 2
）
∴cosA=
﹣ ∴A=120° 故选A
12．【答案】
【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）． 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋b ＝0（－1－a ）2
＋（－1－b ）2
＝r 2
（2－a ）2
＋（2－b ）2
＝r
2
，
解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，
∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9， 令y ＝0得，x ＝－1±5，
∴|MN |＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D.
二、填空题
13．【答案】
．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x ，y ，（x ，y ＞0）．
则
+x+y+
=3+
，
化为：x+y=3．
则x 2+y
2
=，当且仅当
x=y=时取等号．
∴
这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
14．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =
，()()
()0x
f x f x
g x e
'-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
15．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
16．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A 用涂料1，房间B 用涂料3， 房间C 用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
17．【答案】 甲 ．
【解析】
解：【解法一】甲的平均数是
=（87+89+90+91+93）=90，
方差是
= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是
=（78+88+89+96+99）=90，
方差是
= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵
＜
，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
18．【答案】（，）．
【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①
∵点A（2，0），点B（0，3），
∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．
如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．
则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，
∴a=，②
联立①②求得：a=，b=，
故点C的坐标为（，）．
故答案是：（，）．
【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t 2
+4t=0，解得t=﹣
或t=0（舍去），
∴E （﹣，﹣），A （﹣
，﹣
），
∴直线AB 的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P （x 0，y 0），则
，
①直线AP 方程为：y+=（x+），
联立直线AP 与直线y=x 的方程，解得：x M =，
直线BP 的方程为：y+1=
，
联立直线BP 与直线y=x 的方程，解得：x N =，
∴OM •ON=|x M |
|x N |
=2•|
|•|
|
=||
=||
=||
=
．
②设直线MB 的方程为：y=kx ﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k 2）x 2
﹣4kx=0，
∴x Q =，y Q =，
∴k AN ===1﹣，k AQ ==1﹣，
要证A 、Q 、N 三点共线，只需证k AN =k AQ ，即3x N +4=2k+2，
将k=代入，即证：x M•x N=，
由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，
而x M与x N同号，∴x M•x N=，
即A、Q、N三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵，将其代入C1得：，
∴圆C1的直角坐标方程为：．
由直线l1：（t为参数），消去参数可得：y=x，可得（ρ∈R）．
∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．
（2），可得⇒，
∴．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d有最大值时，|z|有最大值，即z有最值；
结合图象可知，当直线2x+y﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，
联立方程
化简可得，
116x 2﹣100zx+25z 2﹣400=0，
故△=10000z 2﹣4×116×（25z 2
﹣400）=0， 故z 2
=116，
故z=2x+y 的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
22．【答案】
【解析】解：∵关于x 的不等式a x
＞1的解集是{x|x ＜0}，∴0＜a ＜1； 故命题p 为真时，0＜a ＜1；
∵函数的定义域为R ，
∴
⇒a ≥，
由复合命题真值表知：若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则命题p 、q 一真一假，
当p 真q 假时，则
⇒0＜a ＜；
当q 真p 假时，则⇒a ≥1，
综上实数a 的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．
23．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N
+≥∈⎧=⎨
-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
① 3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
24．【答案】（1）图象见答案，增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域：(],2-∞；（2）[]3,1--。

【解析】
试题分析：（1）画函数()f x 的图象，分区间画图，当0x ≤时，()2
122
f x x x =-
-，此时为二次函数，开
口向下，配方得()()()2
1142222
f x x x x =-
+=-++，可以画出该二次函数在0x ≤的图象，当0x >时，()1()12x f x =-，可以先画出函数1
()2
x y =的图象，然后再向下平移1个单位就得到0x >时相应的函数图
象；（2）作出函数()f x 的图象后，在作直线3
2
y =，求出与函数()f x 图象交点的横坐标，就可以求出x 的
取值范围。

本题主要考查分段函数图象的画图，考查学生数形结合思想的应用。

试题解析：（1）函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可知：增区间：(],2-∞-，减区间：[)2,-+∞，值域为：(],2-∞。

（2）观察下图，()3
2
f x ≥
的解集为：[]3,1--。

考点：1.分段函数；2.函数图象。