量子力学-杨长生 (13)

量子数m大小决定磁矩的大小和方向，故称为磁量子数
2021年1月15日星期五
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3）旋磁比 旋磁比：电子的磁矩与轨道角动量z分量之比。
用g表示 g M z e
Lz 2
由于没有外场影响，任意方向都可以选作z轴。
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❖电子电荷径向分布
电子电荷e乘以 Wnl (r) ，就是电子电荷密度在半径上 的分布。即 e[Rnl (r)]2
图形特点：a.径向分布只n.l与有关，与m无关
凡是n.l相同的状态， 径向分布图都是相同的。
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b.节点数为，径向量子数nr
r2R2
(n-l-1)
a0
在节点处，电荷密度为零
dM z
SdI
SJ dS
Sem
r sin
nlm
2 dS
S是电流dI所包围的面积，即圆周电流所环绕的面积
从图中可以看出 S (r 2 sin 2 ) R2
上式可以写成：
dM z
r 2 sin 2em r sin
nlm
2 dS
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em
2
nlm
2
d
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式中 d 2r sin dS 是周围电流所占的体积
nlm
je
ie
2r sin
n lm
nlm
nlm
n lm
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r
e e
1
sin
nlm
1 im
r sin
im im
r sin
r
im sin
nlm
ie
2r sin
ie
2r sin
em
r sin
im
n lm
nlm
im
2im nlm 2
电离能为13.6ev
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2.电子电荷的空间分布
1）径向分布：Rnl只与n.l有关 在球壳层内r r dr电子出现的几率为
Wnl (r)dr Rn2l (r)r 2dr
dr r
几率密度为 Wnl (r) Rn2l (r)r 2
物理意义：在半径r处单位厚度球壳层内的电子的几率
6.2 氢原子
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1.能级特点
简并度，考虑到电子自旋有两个不同状态
简并度应为 f 2n2
❖能量分布不是等间隔的
En
e4
2 2 n 2
(n 1.2.3)
基态能量n 1，E1
e
2
4 2
13.6(ev)
n ，E 0，可视为连续分布
Z 2e4
Z 2e4 Z 2e4 1
En En1 En 22 (n 1)2 22n2 2 n2 0
r 2Rn2l (r)dr Ylm ( .)
2 d
2021年R1n月l (1r5日)是星归期五一化的 e Ylm ( .) 2 d
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i.物理意义：表示电子电荷在(,)方向上单位立体角 内出现的几率。
ii.图形特点:a.和主量子数n无关，l.m相同具有相同的形状
b.角分布与无关，对z轴是对称的
l0
1)电流分布 在前面学过
几率密度：j i ( ) 2
电流密度：Je (e)J
电子的电流密度为：j
ie
2
(
nlm
nlm
nlm
nlm
)
在球坐标中，梯度算符有：
11
11
er r e r e r sin
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er表示电流密度在r增加方向分量
e 表示电流密度在增加方向分量
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氢原子光谱：
电子电能En级跃迁到Em时，辐射（或吸收）的光子频
率为
Em En
2
e4 43
(
1 m2
1 n2
)
Rc( 1 1 ) m2 n2
式中R
e4 43c
1.0973107
m1是里德堡常数
这个结论与玻尔理论结果相同，成功的解释了氢原子各谱线系。
电离能：即电子从E1跃迁到E∞=0所需要的能量
c.电子云：电子出现几率分布 是连续的，形象的 称为 电子云
氢原子的径向分布
3
e R10 (r )
1 a0
2
2
r a0
e r
R10 (r) 2r
a
3 2
0
r a0
r 0，r 2R120 (r) 0
20r21年1月，15日r星2R期120五(r) 0
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e 求极值，d
dr
rR10 (r) 2
nlm 2
j
(8)
nlm
nlm
0
x
R=rsin
ds
y
表示r在xy平面上
投影与x轴夹角
上式表面；电流密度在增加方向不等于零，也就是在
垂直于z轴平面内有圆环电流。
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2）磁矩 元ds，
我们在距离原点r处，垂直电流方向取面积
则通过dS电流强度为
dI JdS
(9)
把(8)式代入(9)式，则得到沿z轴方向的磁矩为
即电流dI所流经的区域
为了求出氢原子是磁矩，可以将氢原子中所有电流的磁 矩相加，可求整个空间积分得到：
2
M z 0 0 0 dM z
em
2
0
0
2 0
nlm
2 d
nlm 是归一化的
Mz
em
2
m B
其中 B
e
2
9.2732 1024 J
T
1称为玻尔磁子
氢原子的磁矩在z轴分量Mz是量子化的 (m 0. 1)
m0
00( )
1 4
即1s电子是球对称性的
l 1 m 0 2 p电子
10 3cos2 4
0几率最大
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
几率为0
m 1
11
3
8
sin
2
0几率为0
2
几率最大
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3.电流分布和磁矩
氢原子中电子的波函数为
e nlm Rnl (r)Ylm(.) NlmRnl (r)lm (cos ) im
e 表示电流密度在增加方向的分量
1
r sin
n lm
e 1 im
r sin
e im im
r sin
波函数中Rnl (r)和Pl m (cos )都是实数•
jer
ie
2
n lm
nlm
r
nlm
n lm r
0
je
ie
2
n lm
nlm
nlm
n lm r
0
im
r sin
d dr
2ra0
3 2
2
r
a0
0
e 8r
a03
2r a0
r (1 ) 0
a0
r a0时，电子出现的几率最大，径向分布的几率最大
2）电子云的角分布 eYlm2 (.) ~ (.)
单位立体角
d
2
1
sin d
r 2dr 1
0 0 0
d
❖dΩ内电子电荷几率
(.)d elm(.)d
e
0