高一数学北师大版必修3(陕西专用)课件3.3 模拟方法——概率的应用

点拨 用模拟方法估算面积
(1)用模拟方法估算面积的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率 公式分别求出几何概率,然后通过解方程得到相应部分面积的近似值. (2)对于较复杂的问题通常采用以下方法 : ①要设计一个图形,使其面积与某个常数有关. ②设计一个几何概型. ③设计适当的试验,并通过这个试验结果来计算所求结果的近似值.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 2】 (1)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A.
1 4
B.
1 3
C.
1 2
D.
2 3
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)甲、乙两人约定上午 7:00 到 8:00 之间到某个汽车站乘车,在这段 时间内有 3 班公共汽车,他们开车的时刻分别为 7:20,7:40,8:00,如果他们约 定,见车就乘,则甲乙两人同乘一班车的概率为( A.
构成事件������的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度
.
3.这里的长度,可以指直线段的长度,也可以指曲线段的长度,还可以指 时间的长度等.
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探究三
探究四
【典型例题 1】 求解下列各题 : (1)取一根长 5 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子 的长度都不小于 2 m 的概率是多少? (2)公共汽车在 0~5 min 内随机地到达车站.求汽车在 1 ~3 min 之间到达 的概率. (3)在半径为 1 的圆周上任取两点,连接两点成一条弦,求弦长超过此圆 内接正三角形边长的概率. 思路分析:(1)剪断绳子的位置是任意的,且剪断的位置有无限多个,且 发生的可能性都是相等的,因此事件发生的可能性只与剪断位置所处的绳 子段的长度有关;(2)公共汽车到车站的时刻是任意的,具有无限性和等可能 性,是几何概型;(3)也是几何概型,应先寻找满足弦长等于此圆内接正三角 形边长的点,再寻找满足弦长超过此圆内接正三角形边长的点,计算其长度, 利用几何概型的概率公式计算.
������1的面积 ������的面积
,
则称这种模型为几何概型. (2)特点 ①试验中所有的可能出现的结果( 基本事件)有无限多个. ②每个基本事件出现的可能性相等.
思考 1 几何概型与古典概型有何异同 ?
提示:
名称 相同点 不同点 古典概型 几何概型
等可能性:基本事件发生的可能性相等 有限性:有限个基本事件 无限性:无限个基本事件,且不能一一列出
构成事件������的区域长度(面积或体积或角度)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积或角度)
.
2.模拟方法 虽然可以通过做大量重复试验用随机事件发生的频率来估计其概率, 但是,人工进行试验费时、费力,并且有时很难实现.因此,我们常常借助模拟 方法来估计某些随机事件发生的概率.用模拟方法可以在短时间内完成大 量的重复试验.对于某些无法确切知道概率的问题,模拟方法能帮助我们得 到其概率的近似值.模拟方法在实际中有很多应用.
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(3)记 A={弦长超过圆内接正三角形边长}. 如图,取圆内接正三角形的顶点 B 作为弦的一个端点,当另一个端点 E 在劣弧 ������������ 上时,|BE|>|BC|,而劣弧 ������������ 长恰为圆周长的 . 由几何概型的概率公式有 P(A)= .
§3 模拟方法——概率的应用
课程目标 1.了解模拟方法估计概率的实际应用. 2.理解几何概型的概念和特征. 3.掌握常见几何概型的计算方法和步骤. 4.能够运用模拟方法求不规则图形的面积.
学习脉络
1.几何概型的定义与特点 (1)定义 向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点 M,若点 M 落在子区域 G1⫋G 的概率与 G1 的面积成正比,而与 G 的形状、位置无关,即 P(点 M 落在 G1)=
1 3 1 3
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与面积有关的几何概型的求解
1.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示,则其概率 的计算公式为 P(A)=
构成事件������的区域面积 试验的全部结果所构成的区域面积
.
2.涉及面积型几何概型的问题较为广泛,如果随机试验与平面图形有 关,或者问题涉及两个变量的取值范围等,均可利用面积型几何概率公式求 解.
思考 2 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗 ?
提示 :几何概型的概率只与区域形状无关.
点拨 几何概型的概率计算方法
(1)把实际问题转化为几何图形问题. (2)计算基本事件空间与事件 A 包含的基本事件对应的区域测度(长 度、面积、体积、角度等大小). (3)计算比值利用 P(A)=
1 2
) D.
1 6
B.
1 4
C.
1 3
(3)若 x∈[-2,2],y∈[-2,2],则 x2+y2≤1 的概率等于
.
思路分析:(1)由于点 Q 是在矩形内部随机取,所以是面积型几何概型 ;(2) 问题涉及两个人到站的时间,也是面积型几何概型问题 ;(3)问题涉及两个变 量 x 和 y 的取值范围,故应属于面积型几何概型.
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解:(1)如图所示,记事件 A 为 “剪得的两段绳子的长度都不小于 2 m”. 把绳子分成三段,于是当剪断点处在中间一段时,事件 A 发生,由于中间一段 绳子的长度是 1 m,所以 P(A)= .
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(2)将 0~5 min 这段时间看作是一段长度为 5 个单位长度的线段,则 1~ 3 min 是这一线段中的 2 个单位长度.设“汽车在 1 ~3 min 之间到达 ”为事件 A,则 P(A)= =0.4.
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与长度有关的几何概型的求解
1.在求解与长度有关的几何概型时,首先找到几何区域 D,区域 D 可能 是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件 A 发生对应的区域 d,在找 区域 d 的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到不影响事件 A 的概率. 2.如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的 计算公式为 P(A)=