福建省建瓯市第二中学2016-2017学年高二下学期第一次

2016~2017学年下期高二第一次月考试数学卷
满分150分，时间120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设i 是虚数单位，若复数a +512i
i
错误！未找到引用源。

(a ∈R)是纯虚数，则a 等于( ) A ． –1 B ．1
C ． –2
D ．2
2．若f (x )=2xf ′ (1)+x 2，则f ′ (0)等于( ) A ．2
B ．0
C ．-2
D ． –4
3．曲线y =a ln x (a >0)在x =1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a 的值为( ) A ．4 B ．-4 C ．8 D ．–8
4．函数f (x )=x –ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0，1)
B ．(0，+∞)
C ．(1，+∞)
D ．(–∞，0)∪(1，+∞) 5．设f (x )在定义域内可导，其图象如图所示， 则导函数f ′(x )的图象可能是( )
6．已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为( ) A ．24×1×3×5×7=5×6×7×8 B ．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 C ．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 D ．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
7．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ={两次的点数均为奇数}，B={两次的点数之和为4}，则P(B|A )=（ ）
A ．112
B ．14
C ．29
D ．23
8．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次。

若两人同时射击一个目
标，则它们都中靶的概率是（ ）
A ．35
B ．34
C ．1225
D ．1425
9．设X ~B(4，p)，其中0<p<12，且P(X =2)= 8
27 ，那么P(X =1)=（ ） A ．881 B ．1681 C ．827 D ．3281
10．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)=0.8，则P (0<X <2)=( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2
11．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢与不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得K 2=8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关”的把握约为（ ）
A ．0.1%
B ．1%
C ．
99.5% D ．99.9% 12．设随机变量X ~B(2,p)，随机变量Y ~B(3,p)，若P(X ≥1) =5
9
，则D(3Y +1)=（ ） A ．2 B ．3 C ． 6 D ．7 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13．5(2x 的展开式中，x 3的系数是 。

14．设f (x )=ln(x +1)﹣x ﹣ax ，若f (x )在x =1处取得极值，则a 的值为 。

15． 设函数f (x )=201112x x
x ⎧≤≤⎨<≤⎩
，，
，，则定积分20()f x dx ⎰= 。

16．已知x ，y 的取值如下表所示：
若y 与x 呈线性相关，且回归方程为ˆy =ˆb x +72
，则ˆb 等于 。

三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题10分）安排5名歌手的演出顺序。

（1）要求歌手甲、乙的演出顺序必须相邻，有多少种不同的排法？
（2）要求歌手甲不第一个出场，且歌手乙不最后一个出场，有多少种不同的排法？
18. （本小题12分）已知函数f(x)=ax+x ln x(a∈R).
(1)当a=－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[e ，+∞)上为增函数，求a的取值范围。

19．（本小题12分）已知函数f(x)=(x﹣2)e x，其中e是自然对数的底数。

（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当x∈[0,4]时，求函数f(x)的最小值。

20．（本小题12分）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，3个电子元
件能正常工作的概率分别降为1
2
，
1
2
，
2
3
，且每个电子元件能否正常工作相互独立。

若3个
电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需要费用为100元。

（1）求集成电路E需要维修的概率；
（2）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需费用。

求X的分布列和均值。

21．（本小题12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：
历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：
（1）工期延误天数Y的均值与方差；
（2）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率。

22．（本小题12分）已知函数f(x)= x﹣a ln x。

（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当x=2时，函数f(x)取得极小值，求a的值；
（3）若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围。

2016~2017学年下期第一次月考试卷数学答案
一．选择题（60分） 1．D ．解析：i a i
i
a +-=-+
)2(215，所以a-2=0，故a=2，故选D 。

2．D ．解析：x f x f 2)1(2)(+'='，所以2)1(2)1(+'='f f ，所以2)1(-='f ，
所以4)1(2)0(-='='f f ，故选D 。

3．C ．解析：x
a
x f =
')(，所以切线的斜率k=a f =')1(，所以切线的方程为y=a(x-1)，所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为A(1,0)和B(0,-a)。

42
1
==∆a S AOB ，解得a=8。

4．A ．解析：x
x x x f 1
11)(-=-='(x>0)，当0<x<1时，0)(<'x f 。

5．B ．解析：因为当x<0时，f(x)单调递减，0)(<'x f ，所以排除C ，D ；当时，先减后增再减。

6．D ．解析：略。

7．C ．解析：n(A)=3×3=9，n(AB)=2，所以9
2
)|(=A B P 。

8．D ．解析：两人都中靶的概率是P=
108×107=
14。

9．D ．解析：P(X=2)=27
8)1(2
224=-p P C ，
解得p=（舍去）或3
2
31。

所以P(X=1)=81
32)32(313
14=C 。

10．C ．解析：如图，P(X<4)=0.8，所以P(0<X<2)= P(2<X<4)=0.5-0.2=0.3。

11．C ．解析：K 2=8.01>7.879，所以在请犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢乡村音乐与性别有关，即有99.5%的把握P 认为喜欢乡村音乐与性别有关。

12．C ．解析：因为X~B(2,p)，所以P(X ≥1)=1- P(X=0)=1-95)1(2
=-p ，解得p=3
1。

又因为X~B(3,p)，所以D(Y)=3
2
)32(313=⨯⨯，所以D(3Y+1)=33 D(Y)=6。

二．填空题（20分）
第11题图
13．10．解析：k k
k k
k
k
k x
C x x C T 2
1555
55
12
)()
2(---+⋅==，令32
5=-
k
，解得k=4。

所以x 3的系数为1024
5=⋅C 。

14．2
1-
．解析：a x x f --+=
'111)(，所以0121)1(=--='a f ，解得21
-=a ． 15．3
4．解析：34||31)(2
11032110220=+=+=⎰⎰⎰x x dx dx x dx x f 。

16．21．解析：因为53==y x ， ，所以5=3b ˆ+27，解得b ˆ=2
1。

三．解答题（70分） 17．（本小题12分）
解：（1）甲乙相邻共有A 22种不同的排法；把甲乙两人作为一个元素与另外3名歌手进行全
排列，共有44A ；所以甲乙不相邻的不同排列数为A 224
4A =48种。

（2）解法一：甲不第一个出场，共有两类排法：第一类：甲排在中间三个位置出场有13A 种，乙排在余下两个位置和第一位置有13A 种，其余三个人，排在剩余的3个位置有33A 种，这类共有331313A A A 种不同的排法；第二类：甲排在最后一个出场，其余四个人，排在剩余的4个位置有44A 种不同的排法；故总共有331313A A A +4
4A =78种。

解法二：5个人全排列有55A 种不同的排列方法；甲排在第一位出场有4
4A 种不同的排列方法；
乙排在最后一位出场有4
4A 种不同的排列方法；甲排在第一位出场且乙排在最后一位出场有
33
A 。

故总共有55A ―244A +3
3A =78种。

18．（本小题12分）
解：因为x x ax x f ln )(+=，所以1ln )(++='x a x f 。

（1）当2-=a 时，1ln )(-='x x f ，令0)(='x f ，得e x =。

当e x <<0时，0)(<'x f ；当e x >时，0)(>'x f ；
所以函数x x x x f ln 2)(+-=的单调递减区间是(0,e )，单调递增区间是(e ,+∞)。

（2）因为)(x f 在[e ,+∞)上为增函数，所以0)(≥'x f ，即1ln --≥x a 在[e ,+∞)上恒成立。

设1ln )(--=x x g ，因为函数1ln )(--=x x g 在[e ,+∞)上为减函数，所以
21ln )()(max -=--==e e g x g ，所以2-≥a 。

故a 的取值范围是[－2,+∞)。

19．（本小题12分）
解：（1）因为()(2)x f x x e =-，所以()(1)x f x x e '=-。

令0)(='x f ，得1x =。

当1x <时，0)(<'x f ；当1x >时，0)(>'x f ；
所以函数()(2)x f x x e =-的单调递减区间是(－∞,1)，单调递增区间是(1,+∞)。

（2）当x 变化时，()f x '与)(x f 的变化关系如下表：
所以当x =1时，函数)(x f 有最小值－e ；当x =4时，函数)(x f 有最大值2 e 4。

20．（本小题12分）
解：（1）设“三个电子元件能正常工作”分别记为事件A ，B ，C ，则P(A)=1
2
， P(B)=
12，P(C)=23。

依题意，集成电路E 需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为p 1=P(ABC )=P(A )+P(B )+P(C )=1121
22312
⨯⨯=。

②3个元件2个不能正常工作，概率为
p 2=P(ABC )+P(ABC )+P(ABC )=111223⨯⨯+111223⨯⨯+112223⨯⨯=13。

所以，集成电路E 需要维修的概率为p 1+p 2=112+13=5
12。

（2）P(X=0)=(1－512)2=49144，P(X=100)=1
2C ·512·(1－512)=70144，P(X=200)=(512)2=25144。

X 的分布列为：
所以E(X)=0×144+100×144+200×144=3。

21．（本小题12分）
解：（1）由题意，得P(X<300)=0.3， = P(X<700)－P(X<300)=0.7－0.3=0.4，
P(700≤X <900)= P(X<900)－P(X<700)=0.9－0.7=0.2 ，P(X ≥900)=1－P(X<900)=1－0.9=0.1。

Y 的分布列为：
所以E(Y)= 0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3，
D(Y)= (0－3)2
×0.3+(2－3) 2
×0.4+(6－3) 2
×0.2+(10－3) 2
×0.1=9.8。

所以工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8。

（2）设“降水量X 至少是300”为事件A ，“工期延误不超过6天”为事件B ，则 P(A)=P(X ≥300)=1－P(X<300)=1－0.3=0.7，
P(AB)=P(300≤X <900)= P(X<900)－P(X<300)=0.9－0.3=0.6， 所以P(B|A)=
0.66
0.77
=。

22．（本小题12分）
解：（1）因为()ln f x x a x =-，所以()1a x a f x x x
-'=-
=（x >0）， 当a ≤0时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间是(0,+∞)；
当a>0时，若0<x <a ，()0f x '<；若x >a ，()0f x '>；所以()f x 的单调递减区间是(0,a )，单调递增区间是(a ,+∞)。

（2）因为当x =2时，函数()f x 取得极小值，所以(2)0f '=，即102
a
-
=，解得a =2。

（3）当a ≤0时，()f x 的单调递增区间是(0,+∞)，函数()
f x 至多一个零点，不符合题意。

当a>0时，由（1）得()f x 的单调递减区间是(0,a )，单调递增区间是(a ,+∞)， 所以min ()()(1ln )f x f a a a ==-。

a
当x→0时，()f x →+∞，所以函数()f x 的图象可知，
()(1ln )0f a a a =-<，解得a >e ，
所以a 的取值范围是(e ,+∞)。