辽宁省抚顺市2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题含解析

辽宁省抚顺市2019-2020学年高一下期末教学质量检测数学试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数1
cos 3
12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位长度
B ．向右平移
12
π
个单位长度
C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 由1
1cos cos 3
1234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度.
【详解】
解：因为1
1cos cos 3
1234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以要得到函数1
cos 3
12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移4π个单位长度.
故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题. 2．数列{a n }中a 1＝﹣2，a n+1＝11
n
a -
，则a 2019的值为（ ） A ．﹣2 B ．
13 C ．
12
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据递推公式，算出234,,a a a 即可观察出数列的周期为3，根据周期即可得结果． 【详解】
解：由已知得，211312a a =-
=，321113
a a =-=， 4534113
12,12
a a a a =-
=-=-=，…，3n n a a +=，
所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，故20193673313
a a a ⨯===， 故选：B ． 【点睛】
本题考查递推数列的直接应用，难度较易． 3．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -＝ A ．CB B ．BC
C ．
12
CB D ．
12
BC 【答案】C 【解析】
分析：利用平面向量的减法法则及共线向量的性质求解即可. 详解：因为D 是BC 的中点，所以1
2
CD CB =， 所以1
2
AD AC CD CB -==
，故选C. 点睛：本题主要考查共线向量的性质，平面向量的减法法则，属于简单题.
4．若圆()()()2
2
2120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x
y -+=r 的取值范围是（
） A ．(0,
B
．
C
．
D
．(
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出圆心()1,2-到直线260x y -+=的距离，然后结合图象，即可得到本题答案. 【详解】
由题意可得，圆心()1,2-到直线260x y -+=的距离为
d ==
故由图可知， 当r =
()()22
125x y -++=上有且仅有一个点到直线2
60x y -+=
当r =()()2
2
1245x y -++=上有且仅有三个点到直线26
0x y -+=
；
当则r 的取值范围为
时，圆()()()22
2120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线
2
60x y -+=
故选：B 【点睛】
本题主要考查直线与圆的综合问题，数学结合是解决本题的关键. 5．已知集合3
{|}U x y x ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=U A C B ⋂（ ）
A ．∅
B ．R
C ．{|0}x x >
D ．{0}
【答案】C 【解析】
由题意得{}
,0U R A x x ==，因为20x y =-<，所以{|0}B y y =<， 所以{|0}U C B x x =≥，故{}
()0U A C B x x ⋂=，故选C. 6．若将函数2cos 26y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象向左平移
1
4
个最小周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2cos 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．2cos 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C ．2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．2cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
首先判断函数的周期，再利用“左加右减自变量，上加下减常数项”解题． 【详解】
函数()2cos 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22
T π
π=
=, 函数()f x 的图象向左平移14个最小正周期即平移4
π
个单位后， 所得图象对应的函数为
2cos 22cos 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦,
即2cos 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，根据“左加右减”进行平移变换即可，对横坐标进行平移变换注意系数ω即可，属于基础题.
7．用区间[]
x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.81 1.32=-=-，，
设{}[]x x x =-，若方程{}10x kx +-= 有且只有3个实数根，则正实数k 的取值范围为（ ） A ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．11,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．11,43⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．11,43⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由方程的根与函数交点的个数问题，结合数形结合的数学思想方法，作图观察y ＝{x}的图象与y ＝﹣kx+1的图象有且只有3个交点时k 的取值范围，即可得解. 【详解】
方程{x}+kx ﹣1＝0有且只有3个实数根等价于y ＝{x}的图象与y ＝﹣kx+1的图象 有且只有3个交点，
当0≤x ＜1时，{x}＝x ，当1≤x ＜2时， {x}＝x ﹣1，当2≤x ＜3时，{x}＝x ﹣2， 当3≤x ＜4时，{x}＝x ﹣3，以此类推 如上图所示，实数k 的取值范围为：
12-
≤-k 13
-＜， 即实数k 的取值范围为：（13，1
2
]， 故选A ．
【点睛】
本题考查了方程的根与函数交点的个数问题，数形结合的数学思想方法，属中档题． 8．已知()()sin 3cos 20παπα+--=，则cos2α的值为（ ） A ．
45
B ．45
-
C ．
35
D ．
35
【答案】B 【解析】
sin(π+α)−3cos(2π−α)=0，即：sinα+3cosα=0，① 又∵sin 2α+cos 2α=1，② 由①②联立解得：cos 2α=110
. ∴cos2α=2cos 2α−1=45
-. 故选B.
9．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}
12x x -<<，则a b +=( ) A ．3- B ．1
C ．1-
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
2=0x ax b ++的两个解为-1和2.
【详解】
1=01
34202a b a a b a b b -+=-⎧⎧⇒⇒+=-⎨
⎨++==-⎩⎩
【点睛】
函数零点、一元二次等式的解、函数与x 轴的交点之间的相互转换。

10．阅读如图所示的程序框图，当输入5n =时，输出的S =（ ）
A ．6
B ．46
15
C ．7
D ．47
15
【答案】D 【解析】 【分析】
根据程序框图，依次运行程序即可得出输出值. 【详解】
输入5n =时，1,1,1,5S i a i ===≤，
2,3,2a S i ===，5i ≤
2
22,5,32a S i =⨯
===，5i ≤ 244
2,5,4333a S i =⨯==+=，5i ≤
42242
,5,534333a S i =⨯==++=，5i ≤
224424
,5,635153315
a S i =⨯==+++=，
输出4244
57331515S =+++
= 故选：D 【点睛】
此题考查程序框图，关键在于读懂框图，根据结构依次运算，求出输出值，尤其注意判断框中的条件. 11．用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂种颜色,则2个矩形颜色不同的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
由古典概型及概率计算公式得2个矩形颜色不同的概率为，得解．
【详解】
用3种不同颜色给2个矩形随机涂色，每个矩形涂且只涂1种颜色，共种不同涂法，则2个矩形颜色不同共种不同涂法，
即2个矩形颜色不同的概率为，
故选：．
【点睛】
本题考查了古典概型及概率计算公式，属于基础题．
12．若x，y满足
20
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则2
z y x
=-的最大值为（）．
A．8-B．4-C．1D．2
【答案】D
【解析】
作出不等式组
20
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0
x≥时，可行域为四边形OBCD内部，目标函数可化为2
z y x
=-，即2
y x z
=+，平移直线2
y x
=
可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b
x a
++型）和距离型（()()2
2
x a y b +++型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形. 二、填空题：本题共4小题
13．在ABC ∆中，150ABC ∠=，D 是线段AC 上的点，30DBC ∠=，若ABC ∆的面积为3，当BD 取到最大值时，AC =___________. 【答案】27 【解析】 【分析】
由三角形的面积公式得出43ac =，设BD x =，由ABC BCD ABD S S S ∆∆∆=+可得出3
34x a c
=
+，利用基
本不等式可求出x 的值，利用等号成立可得出a 、c 的值，再利用余弦利用可得出AC 的值. 【详解】
由题意可得11
sin150324
ABC S ac ac ∆=
==，解得43ac =， 设BD x =，则13
344ABC BCD ABD S S S ax cx ∆∆∆=+=
+=，可得334x a c
=
+，
由基本不等式可得43432323
123
2333x a c a c ac =
≤===+⋅，
当且仅当a =时，x 取得最大值1，a ∴=2c =，由余弦定理得
(2
22222
2cos 222282AC b a c ac ABC ⎛⎫
==+-∠=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
解得AC =． 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14．已知圆Ω过点A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y+1＝0的距离为_____．
【解析】 【分析】
求得线段AB 和线段BC 的垂直平分线，求这两条垂直平分线的交点即求得圆的圆心，在求的圆心到直线
l 的距离.
【详解】
∵A （5，1），B （5，3），C （﹣1，1），
∴AB 的中点坐标为（5，2），则AB 的垂直平分线方程为y ＝2； BC 的中点坐标为（2，2），()311
513
BC k -=
=--，
则BC 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣3（x ﹣2），即3x+y ﹣8＝1． 联立2380y x y =⎧⎨
+-=⎩，得2
2
x y =⎧⎨=⎩．
∴圆Ω的圆心为Ω（2，2），
则圆Ω的圆心到直线l ：x ﹣2y+1＝1的距离为d 5
=
=
．
【点睛】
本小题主要考查根据圆上3点的坐标求圆心坐标，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
15．设()sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则函数()f x 是__________函数（奇偶性）.
【答案】偶
【解析】 【分析】
利用诱导公式将函数()y f x =的解析式进行化简，即可判断出函数()y f x =的奇偶性. 【详解】
()sin 2sin 2cos 242f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，因此，函数()y f x =为偶函数.
故答案为：偶. 【点睛】
本题考查三角函数奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式对三角函数解析式进行化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
16．圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是__________． 【答案】15π 【解析】
分析：由已知中圆锥的底面半径是3，高是4，由勾股定理，我们可以计算出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式S rl π=，即可得到结论. 详解：
圆锥的底面半径是3r =，高是4h =，
圆锥的母线长5l =，
则圆锥侧面积公式15S rl ππ==，故答案为15π.
点睛：本题主要考查圆锥的性质与圆锥侧面积公式，意在考查对基本公式的掌握与理解，属于简单题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设2()(1)2f x ax a x a =+-+-．
（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()1f x a <-（a ∈R ）． 【答案】（1）1
3
a ≥（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成立，利用
二次函数的性质，即可求解，得到答案．
（2）不等式()1f x a <-化为2
(1)10ax a x +--<，根据一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解．
【详解】
（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2
(1)0ax a x a +-+≥对于一切实数x 恒成
立．
当0a =时，不等式可化为0x ≥，不满足题意；
当0a ≠时，满足00a >⎧⎨∆≤⎩，即()220140
a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩，解得13a ≥． （2）不等式()1f x a <-等价于2(1)10ax a x +--<．
当0a =时，不等式可化为1x <，所以不等式的解集为{|1}<x x ；
当0a >时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，此时11a -
<， 所以不等式的解集为1{|1}x x a
-<<； 当0a <时，不等式可化为(1)(1)0ax x +-<，
①当1a =-时，11a
-=，不等式的解集为{|1}x x ≠； ②当10a -<<时，11a ->，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫>-<⎨⎬⎩⎭
或； ③当1a <-时，11a -
<，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩
⎭或． 【点睛】 本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
18．已知定义域为R 的函数211()22
x x f x a +=-+是奇函数. （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明.
【答案】（Ⅰ）1α
= （Ⅱ）在R 上单调递增，证明见解析 【解析】
【分析】
（1）函数的定义域为R ，利用奇函数的必要条件，(0)0f =，求出a ，再用奇函数的定义证明； （2）判断()f x 在R 上单调递增，用单调性的定义证明，任取12x x <，求出函数值，用作差法，证明()()12f x f x <即可.
【详解】
解：（Ⅰ）∵函数21()22
x x f x a =-+是奇函数，定义域为R ，
∴(0)0f =，即11012a -=+， 解之得1α=，此时2121()2122(21)
x x x x f x -=-=++ ()()
2112()()221212x x
x x f x f x -----===-++， ()f x ∴为奇函数，1a ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()
2121()212221x x x x f x -=-=++， 设12,x x R ∈，且12x x <，
()()212121212122121x x x x f x f x ⎛⎫---=- ⎪++⎝⎭
()()2211222121x x x x =++-
∵12x x <，∴1222x x <，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <
故()f x 在R 上单调递增.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，注意奇偶性必要条件的运用，减少计算量但要加以证明，考查函数单调性的证明，属于中档题.
19．在如图所示的直角梯形ABCD 中，12AD BC AB AD
AB AD BC ⊥===，，，∥，求该梯形绕上底边AD 所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积.
【答案】表面积为(52)π+
，体积为53
π． 【解析】
【分析】 直角梯形ABCD 绕它的上底（较短的底）所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱里面挖去一个圆锥，由此可计算表面积和体积．
【详解】
如图直角梯形ABCD 绕上底边AD 所在直线旋转一周所形成几何体是以BC 为母线的圆柱挖去以CD 为母线的圆锥．
由题意2CD =， ∴2212112(52)S ππππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+，
2215121133
V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=． 【点睛】
本题考查旋转体的表面积和体积，解题关键是确定该旋转体是由哪些基本几何体组合成的．
20．如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R 其中02π
ϕ≤≤的图象与y 轴交于点(0,1)．
（1）求ϕ的值；
（2）求函数2sin()y=x πϕ+的单调递增区间；
（3）求使1y ≥的x 的集合．
【答案】（1）
6π,（2）2212233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ,（3）2|22,3x k x k k ⎧⎫≤≤+≡⎨⎬⎩⎭Z 【解析】
【分析】 （1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；
（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；
（3）由1y ≥，求解不等式1sin 62x ππ⎛⎫+
≥ ⎪⎝⎭即可得解. 【详解】
解：（1）因为函数图象过点(0,1)，
所以2sin 1=ϕ，即1sin 2ϕ=．因为02
πϕ≤≤，所以6π=ϕ． （2）由（1）得2sin 6y x ππ⎛⎫=+
⎪⎝⎭， 所以当22262k x k ππππππ-
+≤+≤+，k Z ∈， 即212233
k x k -+≤≤+，k Z ∈时， 2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是增函数，故2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的单调递增区间为212,233k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．
（3）由1y ≥，得1sin 62x ππ⎛⎫+
≥ ⎪⎝⎭， 所以522666
k x k π
π
ππππ+≤+≤+，k Z ∈， 即2223
k x k ≤≤+，k Z ∈， 所以1y ≥时，x 的集合为2|22,3x k x k k Z ⎧
⎫≤≤
+∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】
本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的求法及解三角不等式，属基础题.
21．设函数()f x a b =⋅，其中2sin ,cos 24a x x π⎛
⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin ,,4b x x R π⎛⎛⎫=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝. （1）求()f x 的周期及单调递减区间；
（2）若关于x 的不等式()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）π，511,,1212k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
；（2）0m > 【解析】
【分析】
（1）利用坐标形式下向量的数量积运算以及二倍角公式、辅助角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，根据周期计算公式以及单调性求解公式即可得到结果；
（2）分析()f x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的值域，根据能成立的思想得到()min f x 与m 满足的不等关系，求解出m 的范围即可.
【详解】
（1）∵2sin ,cos 2,sin ,344a x x b x ππ⎛
⎫⎛⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，
∴()22sin 21cos 2242f x a b x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1sin 222sin 213x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的周期为22
T ππ==，
令3222,232k x k k Z π
π
πππ+≤-≤+
∈，则511,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴的单调递减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎡
⎤+
+∈⎢⎥⎣⎦ （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴22,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，
sin y t =在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，且1sin sin 623
ππ=<=， ∴1sin 2,132x π⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴[]2sin 212,33x π⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭，即()[]2,3f x ∈， 若()2f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦上有解，则()min 2f x m -< 故：22m -<，解得0m >.
【点睛】
本题考查向量与三角函函数的综合应用，其中着重考查了使用三角恒等变换进行化简以及利用正弦函数的性质分析值域从而求解参数范围，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.
22．在等差数列{a n }中，a 1=1，公差d≠0，且a 1，a 2，a 5是等比数列{b n }的前三项．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．
【答案】（1）b n =3n －1；（2）S n =(n －1)·
3n +1 【解析】
【分析】
【详解】
(1)由a 1，a 2，a 5是等比数列{b n }的前三项得，
a 22= a 1·a 5⇒(a 1+d)2=a 1· (a 1+4d) ··
⇒a 12+2a 1d+ d 2= a 12+4a 1d ⇒d 2=2a 1d ，又d≠0，所以d=2a 1=2，
从而a n = a 1+(n －1) d=2n －1，
则b 1= a 1=1，b 2= a 2=3，
则等比数列{b n }的公比q=3，从而b n =3n －1
(2)由(1)得，c n =a n ·b n =(2n －1)·3n －1，
则S n = 1·
1+3·3+5·32+7·33+…+(2n －1)·3n －1① 3S n = 1·3+3·32+5·33+…+(2n －3)·3n －1+(2n －1)·3n ②
①－②得， －2S n = 1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n －1－(2n －1)·3n
=1+2×
()1
313
13
n-
⨯-
-
－(2n－1)·3n=－2 (n－1)·3n－2 ··
则S n=(n－1)·3n+1．。