广东省惠州市2016届高三数学4月模拟考试试题 文

惠州市2016届高三模拟考试
数 学（文科）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

（1）设集合{|14}A x x =<<，2
{|230}B x x x =--≤，则R A
B =ð（ ）
（A ）(1,2) （B ）(1,3) （C ）(3,4) （D ）(1,4) （2）如果复数3()2bi
z b R i
-=
∈+的实部和虚部相等，则||z 等于（ ）
（A ）（B ） （C ）3 （D ）2 （3）已知函数)(x f 是偶函数，当0>x 时，3
1)(x x f =，则在区间)0,2(-上，
下列函数中与)(x f 的单调性相同的是( )
（A ）12
+-=x y （B ）1+=x y （C ）x
e y = （D ）⎩⎨⎧<+≥-=0
,10
,123x x x x y
（4）已知函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+
>的最小正周期为π，则函数()f x 的图像（ ）
（A ）关于直线8
x π=对称 （B ）关于点(,0)8
π
对称 （C ）关于直线4
x π=对称 （D ）关于点(
,0)4
π
对称
（5）下列四个结论：
①若p q ∧是真命题，则p ⌝可能是真命题；
②命题“2000,10x R x x ∃∈--<”的否定是“01,2
≥--∈∀x x R x ”；
③“5a >且5b >-”是“0a b +>”的充要条件； ④当0a <时，幂函数y x α
=在区间(0,)+∞上单调递减.
其中正确的是（ ）
（A ）①④ （B ）②③ （C ）①③ （D ）②④ （6）如右图，圆C 内切于扇形AOB , 3
AOB π
∠=
,若向扇形AOB 内随机投
掷300个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） （A ）450 （B ）400 （C ）200 （D ）100
（7）已知等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，
那么当{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）
（A ）7 （B ）8 （C ） 9 （D ）10
（8）某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积为（ ） （A ）12 （B ）16 （C ）18 （D ）24
（9）执行如图所示的程序框图，
则输出的结果是（ ） （A ）16 （B ）17
（
C
）18 （
D ）
19
(第
8
题)
（第9题）
（10）已知,x y 满足20
20(0)0kx y x y k y -+≥⎧⎪
+-≥<⎨⎪≥⎩
，若目标函数z y x =-的最小值是4-，
则k 的值为（ ）
（A ）13- （B ）3- （C ）1
2
-
（D ）2- （11）已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点，
两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ）
O
A
B
C
侧视图
正视图
俯视图
（A
（B
）1 （C
）12
（D
）1 （12）已知函数21
,0
()2
1,0x x x x f x e x ⎧-+<⎪=⎨⎪-≥⎩
，若函数()y f x kx =-有3个零点， 则实数k 的取值范围是（ ）
（A ）(1,1)- （B ）(1,)+∞ （C ）[2,)+∞ （D ）[1,2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，则数列1
{
}n
a 的前5项和为 .
（14）已知函数()2ln f x x bx =+，直线22y x =-与曲线()y f x =相切，则b = . （15）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =，
AB AC AB AC +=-，则AM = .
（16）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，3,EA EB ==2,AD =
60AEB ∠=︒，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为 .
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()0cos 2cos =--A b c B a . （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若4a ，=求ABC ∆面积的最大值.
（18）（本小题满分12分）
随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多．某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：
（Ⅰ）从这5年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率；
（Ⅱ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.
参考公式：1
2
1
()()
ˆˆˆ,()n
i
i i n
i
i x
x y y b
a
y bx x
x ==--==--∑∑
（19）（本小题满分12分）
如图，111ABC A B C -是底面边长为2
，高为2
的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ， 设111(01)C P C A λλ=<<.
（Ⅰ）证明：11//PQ A B ； （Ⅱ）当1
2
λ=时，求点C 到平面APQB 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知点12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-.直线12,A M A M 相交于点M ，且它们的斜率之积是
34
-. （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,)A t (0t >)是轨迹C 上的定点，,E F 是轨迹C 上的两个动点，如果直线AE 与
直线AF 的斜率存在且互为相反数，求直线EF 的斜率.
（21）（本小题满分12分）
已知函数2
()ln (0)f x x ax x a =-->. （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若)(x f 有两个极值点21,x x ，证明：2ln 23)()(21->+x f x f .
A
1
A 1
B 1
C C
B
P Q
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知圆O 是ABC ∆的外接圆, AB BC =,AD 是BC 边上的高,AE 是圆O 的直径，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F .
（Ⅰ）求证：AC BC AD AE ⋅=⋅；
（Ⅱ）若2,AF CF ==，求AE 的长.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为1122
x t y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρθ=. (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值.
（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数1
()(0)f x x a x a a
=+++
> (Ⅰ)当2a =时，求不等式 ()3f x >的解集；
(Ⅱ)证明： 1
()()4f m f m
+-
≥
惠州市2016届高三模拟考试文科数学参考答案：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

F
A C
E
B
D
O
R 2.【解析】令
32bi
a ai i
-=++，展开33bi a ai -=+ 解得a=3，b=-3a=-9，故||z =选A. 3.【解析】根据题意画出每个函数的图像，可知选C. 4.【解析】由2,π
πω
=
得2ω=，选A.
5.【解析】①错，②对，③错，④对，选D.
6.【解析】不妨设内切圆的半径为1，则扇形的半径为3，由
2
2
12
,20013003
36
n n p p ´??创，选C. 7.【解析】789830,a a a a ++=>710890a a a a +=+<，890,0a a ><，选B. 8.【解析】如图，根据三视图可知该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥， 求得其体积为为24，选D
9.【解析】22
221log
2log 34
n S n S ====时，；时,； 3n =时……；2
2
log 3,2
S n =<-+ 输出16n =，选A. 10.【解析】由题意作出其平面区域，将z y x =-化为y x z =+，z 相当于直线y x z =+的纵截距，则由平面区域可知，当目标函数z y x =-取得最小值4-时过点(4,0)，故1
2
k =-
，选C ． 11.【解析】两曲线的一个交点坐标为(,)2
p
p ，从而2,2p b c p a ==，
故2
2
2
2
2,210b ac c a e e ==---=
，解得1e = D.
12.【解析】由()0f x kx -=得到()f x kx =，(0)0f =，当0x <时，得到2
1
2
x x kx -+
=，得到102
x k =
-<，所以1
2k >，当0x >时，()1,()1x x f x e f x e '=-=>，所以要使()y f x kx =-在
0x >时有一个零点，则1k >，所以实数k 的取值范围是(1,)+∞,选B.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.
31
16 14. 0 15. 2 16. 16π
13.【解析】显然1q ¹，所以
3639(1)119211q q q q q q --=⇒+=⇒=--，所以1
{}n
a 是首项为1，公比为
12的等比数列， 前5项和531
16
T =. 14.【解析】设点),(00y x 为直线22-=x y 与曲线()y f x =的切点，则有22ln 2000-=+x bx x ．
2
()f x b x
'=
+，220=+∴b x ．解得01,0x b ==．
15.【解析】由2
BC ＝16，得||4BC =,AB AC AB AC AB AC ∣+∣=∣-∣
⇒⊥,故1
2
AM BC ∣∣=∣∣=2.
16.【解析】设球心到平面ABCD 的距离为d ，由题意可知点E 到平面ABCD ，
∴2
22221)R d d =+=+-，∴d =，24R =， ∴多面体E ABCD -的外接球的表面积为2
416R p p =. 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由正弦定理得-B A cos sin ()0cos sin sin 2=-A B C ………1分
A C A
B B A cos sin 2cos sin cos sin =+∴ ……2分 ()A
C B A cos sin 2sin =+∴ ………3分
由π=++C B A ，A C C cos sin 2sin =∴ ………………4分 由于π<<C 0，因此0sin >C ，所以21
cos =A
………5分 由于π<<A 0，3π
=
∴A
………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得A bc c b a cos 2222-+= ……………7分
bc bc bc bc c b =-≥-+=∴21622 ………8分
\16≤bc ，当且4==c b 时，等号成立 . …………10分
ABC ∆面积34sin 21
≤=A bc S
…………11分
因此ABC ∆面积的最大值34………12分 18. （本小题满分12分）
（Ⅰ）从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012,2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013,2016），（2014，2015），（2014,2016），（2015,2016）共10种，
……2分
至少有1年多于20人的事件有: （2012，2015），（2012,2016），（2013，2015），（2013,2016），（2014，2015），（2014,2016），（2015,2016）共7种, ……4分 则至少有1年多于10人的概率为7
10
P =
. ……………5分 （Ⅱ）由已知数据得16,2014==y x ，……………7分
1()()2(10)(1)(6)1621052n
i
i i x
x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑ ……………8分 222221
()(1)(2)1210n
i
i x
x =-=-+-++=∑ ……………9分
所以1
2
1
()()
52
ˆ 5.210
()n
i
i i n
i
i x
x y y b
x
x ==--==
=-∑∑，ˆ16 5.2201410456.8a
=-?- ……10分 所以是正相关，回归直线的方程为ˆ 5.210456.8y
x =- ……………11分 则第2019年的估计值为ˆ 5.2201910456.842y
=?= ……………12分 19. （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵ 111ABC A B C - 是正三棱柱， ∴平面ABC //平面111A B C ……2分 ∵平面APQB ⋂平面111A B C =PQ ，平面APQB ⋂平面ABC =AB ∴//PQ AB ……………………4分 ∵11//AB A B ， ∴11//PQ A B ……………………6分
（Ⅱ）连结PB ，点C 到平面APQB 的距离等于三棱锥C APB -的高， 设其值为d …………………7分
当12λ=
时，1
//12PQ AB =，四边形APQB
……8分
∴12222PBA S ∆=
⨯⨯=
，224
ABC S ∆==…………9分 ∵111ABC A B C - 是正三棱柱，∴111
33
C PBA PBA P ABC ABC V S d V S AA -∆-∆=
⨯==⨯ …………10分
d d ==11分 所以点C 到平面APB
的距离为
2
.…………12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设点M 的坐标为(,)x y ， 1(2)2
A M y
k x x =
≠-+ ① ……… 1分 2(2)2
A M y
k x x =
≠- ② ……… 2分 ①⨯②得22
344y x =--， 整理得22
143x y += ……… 3分 ∴轨迹C 的方程为22
143
x y +=（2x ≠±） ……… 4分 （Ⅱ）点(1,)A t (0t >)在轨迹M 上∴21143t +=，解得32t =，即点A 的坐标为3
(1,)2
……5分
设AE
k k =，则直线AE 的方程为：3
(1)2
y k x =-+，代入22143x y +=，并整理得
2222(34)(128)41230k x k k x k k ++-+--= ………6分
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F , ∵点3
(1,)2
A 在轨迹C 上，∴224123x 34E k k k --=+ ③ ………7分
3
2
E E y kx k =+
- ④ ………8分 又0AE AF k k +=得AF k k =-，将③、④式中的k 代换成k -，可得
22
4123x 34F k k k +-=+，32
F F y kx k =-++ ………9分 ∴直线EF 的斜率()2F E F E EF F E F E
y y k x x k
K x x x x --++=
=-- ………10分
∵2228624,4343
E F F E
k k x x x x k k -+=-=++ ………11分 ∴22222
862(86)2(43)1432424243
EF
k k k
k k k k k k k k k --⋅+--+++===+………12分
21. （本小题满分12分）
（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞. ………1分
2121
()12ax x f x ax x x
-+-'=--=. ………2分
0a >，方程2210ax x -+-=的判别式18a ∆=-.
①当1
8
a ≥
时，0≤∆，∴0)(≤'x f ，故函数)(x f 在),0(+∞上递减 ………3分
②当1
08
a <<
时，0∆>，由0)(='x f 可得114x a =，214x a =.………4分
函数)(x f 的减区间为),(),,0(21+∞x x ；增区间为),(21x x . ………5分 所以，当1
8
a ≥
时，)(x f 在),0(+∞上递减；
当1
08
a <<
时，)(x f 在11(
44a a 上递增，在1(0,)4a ，
1(,)4a
++∞上递减.………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当108a <<时，函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且a
x x a x x 21
,212121==+ ……7分
22
12111222()()ln ln f x f x x ax x x ax x +=--+--
22212121212121212()()ln()()[()2]ln()x x a x x x x x x a x x x x x x =+-+-=+-+--………8分
11
ln 142a a
=
-+………9分 设
14,2t a =>则11ln 1ln 1()422
t t h t a a -+=-+= ………10分 112()022t h t t t
-¢=-=>，
所以()h t 在(4,)+?上递增，()(4)32ln 2h t h >=-………11分 所以2ln 23)()(21->+x f x f ………12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。

如果多做，则按所做的第一题计分，答题时请写清题号。

22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）证明：连结BE ，由题意知ABE ∆为直角三角形 ………1分 因为90AEB ADC ∠=∠=︒，AEB ACB ∠=∠，ABE
ADC ∆∆………2分
所以AB AE AD AC
= ………3分 即AB AC AD AE ⋅=⋅ ………4分
又AB BC =，所以AC BC AD AE ⋅=⋅ ………5分
（Ⅱ）因为FC 是圆O 的切线，所以2FC FA FB =⋅，………6分
又2,AF CF ==4,2BF AB ==，………7分
因为,ACF FBC CFB AFC ∠=∠∠=∠，所以AFC CFB ∆∆ ………8分 所以AF AC FC BC
=
，得AC =
cos sin 44ACD ACD AEB ∠=∠==∠ ……9分
所以sin 7AB AE AEB =
=∠………10分 23. （本小题满分10分）
（Ⅰ）消去参数得直线l
0y +=， ………2分
由ρθ=得圆C
的直角坐标方程220x y +-=. ………5分
（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ， ……6分
把直线l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程220x y +-=，
得221(1)322
t t -+=， …………7分 化简得2410t t -+=,120∆=>，故设12,t t 是上述方程的两个实数根，所以12124,1t t t t +==，……8分
,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ………………9分
所以1212||||||||4PA PB t t t t +=+=+=. ………………10分
24. （本小题满分10分）
（Ⅰ） 当2a =时，1()22
f x x x =+++，原不等式等价于 11222211123+23+23222
x x x x x x x x x ⎧⎧<--≤≤->-⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨---->⎪⎪⎪-->++>⎩⎪⎪⎩⎩，或，或………………3分 解得11144
x x <-∅>或或 ………………4分 不等式的解集为111{|}44
x x x <->或 ……………………5分
（Ⅱ）11111()()f m f m a m a m a m m a
+-=++++-++-+ ……………6分 111112m a a m m m a m a m
=++-++++-+≥+…………8分 12(||)4||m m =+≥，当且仅当11m a =±⎧⎨=⎩
时等号成立。

………10分。