吉林省长春市九台区第四中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试卷含答案

数学考试（理）
第I 卷（选择题）
一、选择题(共12题，每题5分，共60分)
1．已知抛物线C 的方程为x 2＝
12
y ，过点A (0，－1)和点B (t ，3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数
t 的取值范围是
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－∞，−
√22
)∪(√2
2，＋∞)
C.(－∞，－2√2)∪(2√2，＋∞)
D.(－∞，－√2)∪(√2，＋∞)
2．已知椭圆的焦点是F 1,F 2,P 是椭圆上一动点,如果延长F 1P 到Q ,使|PQ|=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹
是
A.圆
B.椭圆
C.直线
D.不存在
3．已知函数y
=(x −1)f ′(x )的图象如图所示,其中f ′(x )为函数f (x )的导函数,则y =f (x )的大致图象
是
A.
B.
C.
D.
4．已知椭圆E ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为
A.x 245+y 2
36=1
B.x 2
36+y 2
27=1 C.x 227+y 2
18=1
D.x 218+
y 29
=1
5．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA
=AB =√2，|AD
⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，点E 是棱PB 的中点.直线AB 与平面ECD 的距离为
A.1
B.√3
3
C.8
3
D.√2
6．已知函数f (x )=
ln x+(x−b)2
x
，若存在x ∈[12
,2]使得xf ′(x )+f (x )>0，则实数b 的取值范围是
A.(−∞,3
2)
B.(−∞,3
2] C.(−∞,9
4)
D.(−∞,9
4]
7．如图,正四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12
PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A.12a-32b+1
2c
B.-12a-12b-1
2c
C.-12a-32b+1
2c
D.-12a-12b+3
2c
8．已知双曲线
x 29
−
y 24
=1,则其焦距为
A.√5
B.2√5
C.√13
D.2√13
9．若不等式2xlnx
≥−x 2+ax −3对x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是
A.(−∞,0)
B.(−∞,4]
C.(0,+∞)
D.[4,+∞)
10．如图，已知抛物线的方程为 x 2=2py (p >0) ，过点 A(0，−1) 作直线l 与抛物线相交于P ，Q 两
点，点B 的坐标为 (0，1) ，连接BP ，BQ ，设QB ，BP 与x 轴分别相交于M ，N 两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为 −3 ，则 ∠MBN 的大小等于
A.π
2
B.π
4
C.2π
3
D.π
3
11．抛物线y =x 2
上的点到直线x -y -2=0的最短距离为
A.√2
B.7
8
√2 C.2√2 D.以上答案都不对
12．直线y ＝x ＋1被椭圆
x 24
+
y 22
=1所截得的弦的中点坐标是
A.(23,5
3)
B. (43,7
3)
C. (−23,1
3)
D. (−
132
,−1
2)
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
13．若f '(x 0)=-3,则lim
ℎ→0
f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)
ℎ
= .
14．(2013·湖南长沙高二月考)已知点P 为双曲线x 2a
2-y 2b
2=1(a>0,b>0)右支上的一点,F 1,F 2分别为双曲线的
左、右焦点,I 为 △PF 1F 2的内心,若S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2成立,则λ的值为 .
15．已知命题“若函数f (x )
=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数,则m ≤1”,下列结论正确的
有 .
①否命题是“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数,则m >1”,是真命题 ②逆命题是“若m ≤1,则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”,是真命题 ③逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 ④逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题
16．已知双曲线x 216-y 29
=1上的点P 到点(5,0)的距离为8.5,则点P 到点(-5,0)的距离为 .
三、解答题(共6题，共70分)
17．如图,在三棱锥S
−ABC 中,SB ⊥底面ABC ,且SB =AB =2,BC =√6,∠ABC =π
2,D,E 分别是SA ，SC
的中点.
(I)求证:平面ACD ⊥平面BCD ;
(II)求二面角S −BD −E 的平面角的大小.
18．已知点A ,B 的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为-1
2
.
(1)求点M 的轨迹T 的方程;
(2)设过点E (-1,0)且不与坐标轴垂直的直线交轨迹T 于C ,D 两点.若线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点F ,求点F 横坐标的取值范围.
19．设函数f (x )=ax n (1-x )+b (x >0),n 为正整数,a ,b 为常数.曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程为x+y =1.
(1)求a ,b 的值;
(2)求函数f (x )的最大值; (3)证明:f (x )<1
ne .
20．如图,四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD =√2,DC =SD =2.点M 在侧棱SC
上,∠ABM =60°.
(Ⅰ)证明:M 是侧棱SC 的中点; (Ⅱ)求二面角S-AM-B 的余弦值.
21．如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,PA =AB =1,点F 是PB 的中点,点E 在边BC 上移动.
(1)当点E 为BC 的中点时,试判断EF 与平面PAC 的位置关系,并说明理由; (2)证明:无论点E 在边BC 的何处,都有PE ⊥A F.
22．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，AC
⊥BC ，且AC =BC=2.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)(文)求三棱锥C−ABE的体积. (2)(理)求二面角A−EB−C的大小.
参考答案
1.D
【解析】无 【备注】无 2.A
【解析】P 是椭圆上一动点,根据椭圆的定义,有|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数且a >0).又
|PQ|=|PF 2|,所以|PF 1|+|PQ|=|QF 1|=2a ,而F 1是椭圆的焦点,是定点,故动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,2a 为半径的圆.
【备注】无 3.B
【解析】本题考查导数在研究函数中的应用.由题意得:当x <−1时,f ′(x )>0,即f (x )在此区间上单增,排除A,C;当−1<x <1时,f ′(x )<0,即f (x )在此区间上单减,排除D;选B.
【备注】无 4.D
【解析】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系.令A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则
x 1
2a 2
+y 12b 2=1, x 22a 2+y 2
2b 2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)
a 2
+
(y 1+y 2)(y 1−y 2)
b 2
=0；而AB 的中点坐
标为(1,－1)，所以x 1+x 2=2,y 1+y 2=−2;所以
y 1−y 2x 1−x 2
=b 2
a 2;而k AB =y 1−y
2x 1
−x 2
=
0−(−1)3−1
=12=b 2
a 2,即a 2=2
b 2,排除A,B,C.选D.
【备注】无 5.B
【解析】无 【备注】无 6.C
【解析】本题主要考查导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.令g (x )=
xf (x )=ln x +(x −b)2,则存在x ∈[1
2,2]使得g
́(x )= xf ′(x )+f (x )=1x
+2(x −b )>0,即 b <1
2x +x ,令ℎ(x )=1
2x +x ,则ℎ′(x )=1−1
2x 2≥0,则函数ℎ(x )=1
2x
+x 在[1
2,2]上是增函数,所以函数ℎ(x )的最大值是ℎ(2)=9
4,则b <9
4. 【备注】无 7.A
【解析】本题主要考查空间向量基本定理.连接AC 、BD 交点为O,则PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2a+1
2
c,又
PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PD
⃗⃗⃗⃗⃗ +12b,所以PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+12c-12b,从而BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2a-32b+1
2
c,故选A.
【备注】无 8.D
【解析】本题主要考查双曲线的焦距. 由双曲线
x 29
−
y 24
=1,可知:c 2=9+4=13,
∴c =√13,
∴焦距2c 为2√13,故选D. 【备注】无 9.B
【解析】无 【备注】无 10.D
【解析】无 【备注】无 11.B
【解析】由题意知,可在抛物线上找到一点,使抛物线过该点的切线与直线x -y -2=0平行,此时所找到的这个点到直线x -y -2=0的距离最短.∵y =x 2
,∴y'=2x ,∵抛物线y =x 2
的切线与直线x -y -2=0平行的只有一条,且k =1,∴y'=2x =1,∴x =12
,∴切点为(12,1
4).该点到直线x -y -2=0的距离为d =
|12-14
-2|√2
=
7√28
,即y =x 2
到直线x -y -2=0的最短距离为
7√28
.
【备注】无 12.C
【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的运用。

由直线y ＝x ＋1被椭圆
x 24
+
y 22
=1
联立方程组得到x 2+2(x +1)2=4⇔3x 2+4x =0,方程的两个根分别是x =0,和x =-43
,因此可知中点的横坐标为-2
3
，代入直线方程得到纵坐标为1
3
，故答案为C.
【备注】无 13.-12 【解析】lim ℎ→0
f(x 0+ℎ)−f(x 0−3ℎ)
4ℎ
×4=4f '(x 0)=-12.
【备注】无 14.
√a 2+b 2
【解析】由I 为△PF 1F 2的内心及S △IPF 1=S △IPF 2+λS △IF 1F 2,得|PF 1|=|PF 2|+λ|F 1F 2|,即|PF 1|-|PF 2|=λ|F 1F 2|,又由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a,则2a=λ×2c,故λ=a
c =
√a 2+b 2
.
【备注】无
15.②④
【解析】本题主要考查四种命题及其真假的判断、导数与函数的性质、恒成立问
题. f
́(x )=e x −m ,因为函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数,所以x>0时,e x >m 恒成立,且e x >1,所以m ≤1,即原命题是真命题;否命题是“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数,则m >1”,故①错误;逆命题是“若m ≤1,则函数
f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”,显然,x ∈(0,+∞)时,f
́(x )=e x −m >0恒成立,故逆命题是真命题,②正确;所以逆否命题是“若m >1,则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题,故③错误,④正确. 【备注】无
16.16.5
【解析】设双曲线的两个焦点分别为F 1(-5,0),F 2(5,0),由双曲线的定义知||PF 1|-
|PF 2||=8,∴|PF 1|=16.5或|PF 1|=0.5.但由题意知双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为
1,∴|PF 1|=0.5不合题意,即只能取|PF 1|=16.5.
【备注】在求双曲线上的点到焦点的距离时,需注意双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值是c-a ,到异侧焦点的距离的最小值是c+a .
17.证明:(Ⅰ)∵∠ABC =π
2,∴BA ⊥BC . 又SB ⊥ABC ,∴建立如图所示坐标系
∴A(2,0,0),C(0,√6,0),D(1,0,1),E(0,
√6
2
,1),S(0,0,2) 易得: AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AD ⊥BC,AD ⊥BD ∵BC ∩BD =B ∴AD ⊥平面BCD ∵AD ⊂平面ACD ∴平面ACD ⊥平面BCD
(Ⅱ)又BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,
√6
2
,1) 设平面BDE 的法向量为n =(x,y,1)
所以:{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0⇒{√62y +1=0x +1=0
⇒n =(−1,−√63,1)
又平面SDB 的法向量为BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ∴cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC ⃗⃗⃗⃗⃗
⋅n |BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|=√6⋅√8
3
=−24=−1
2
∴二面角S −BD −E 平面角的大小为π3
【解析】本题考查面面垂直的证明和二面角的求解. (I)根据面面垂直的判定定理，先证明
AD ⊥平面BCD ，即可证明平面ACD ⊥平面BCD ；(II)建立空间直角坐标系，利用向
量法即可求出二面角S −BD −E 平面角的大小.
【备注】无
18.由错解得x F =x 0+ky 0=-1
2+
14k 2+2
.
由(1)知x ≠0,而当x =0时,由方程(1+2k 2
)x 2
+4k 2
x+2k 2
-2=0得k 2
=1,即k =±1,结合题设条件有k ≠0且k ≠±1,因此x F ∈(-1
2,0)且x F ≠-1
3. 故点F 横坐标的取值范围为(-12
,-1
3
)∪(-13
,0)
【解析】无 【备注】无
19.(1)因为f (1)=b ,所以由点(1,b )在x+y =1上,可得1+b =1,即b =0. 因为f '(x )=anx n-1
-a (n+1)x n ,所以f '(1)=-a . 又切线x+y =1的斜率为-1,所以-a =-1,即a =1. 故a =1,b =0.
(2)由(1)知,f (x )=x n (1-x )=x n -x n+1
,
f '(x )=(n+1)x n-1
(
n
n+1
-x ).
令f '(x )=0,解得x =n
n+1
,即f '(x )在(0,+∞)上有唯一零点x 0=
n
n+1
.
在(0,n
n+1)上,f '(x )>0,f (x )单调递增;
在(
n
n+1
,+∞)上,f '(x )<0,f (x )单调递减.
故f (x )在(0,+∞)上的最大值为f (
n n+1
)=(
n
n+1)n
·(1-n
n+1
)=n n (n+1)n+1
.
(3)令φ(t )=ln t-1+1t
(t >0),则φ'(t )=1t -
1t 2
=
t−1t 2
(t >0).
在t ∈(0,1)上,φ'(t )<0,φ(t )单调递减; 在t ∈(1,+∞)上,φ'(t )>0,φ(t )单调递增. 故φ(t )在(0,+∞)上的最小值为φ(1)=0, 所以φ(t )>0(t >1),即ln t >1-1t
(t >1). 令t =1+1n ,得ln n+1n
>1n+1,即ln(
n+1n
)n+1
>ln e,
所以(
n+1n
)n+1
>e,即
n n
(n+1)n+1
<1
ne .
由(2)知,f (x )≤
n n
(n+1)<
1ne
,故所证不等式成立.
【解析】无 【备注】无
20.解法一:(Ⅰ)作ME ∥CD 交SD 于点E ,则ME ∥AB ,ME ⊥平面SAD. 连接AE ,则四边形ABME 为直角梯形.
作MF ⊥AB ,垂足为F ,则四边形AFME 为矩形.
设ME =x ,则SE =x , AE =√ED 2+AD 2=√(2−x)2+2,
MF =AE =√(2−x)2+2,FB =2-x .
由MF =FB ·tan60°,得√(2−x)2+2=√3(2−x), 解得x =1,
即ME =1,从而ME =1
2DC .
所以M 为侧棱SC 的中点.
(Ⅱ)MB =2+MC 2=2,又∠ABM =60°,AB =2,所以△ABM 为等边三角形. 又由(Ⅰ)知M 为SC 中点,
SM =√2,SA =√6,AM =2,故SA 2=SM 2+AM 2,∠SMA =90°.
取AM 中点G ,连接BG ,取SA 中点H ,连接GH ,则BG ⊥AM ,GH ⊥AM .由此知∠BGH 为二面角S -AM -B 的平面角.
连接BH .在△BGH 中,
BG =
√3
2
AM =√3,CH =1
2SM =
√22 ,BH =2+AH 2=
√22
2
,
所以cos∠BGH =
BG 2+CH 2−BH 2
2•BG•GH
=−
√63
.
解法二:以D 为坐标原点,射线DA 、DC 、DS 分别为x 、y 、z 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D —xyz .
设A (√2,0,0),则B (√2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).
(Ⅰ)设SM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ＞0),则 M (0,
2λ
1+λ,21+λ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,21+λ ,−21+λ).
又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),〈MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=60°,
故MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°,
即41+λ=√(√2)2+(21+λ)2+(−21+λ)2, 解得λ=1,即SM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以M 为侧棱SC 的中点.
(Ⅱ)由M (0,1,1),A (√2,0,0),得AM 的中点G (√22,12,12
). 又GB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,32,−12),MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,1,1), GB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,
所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
因此〈GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉等于二面角S-AM-B 的平面角. cos 〈GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=GB ⃗⃗⃗⃗⃗ •MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |GB
⃗⃗⃗⃗⃗ ||MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√63. 【解析】本题主要考查二面角、线面垂直的判定定理与性质定理以及利用空间向量的知识求空间角的问题，考查了空间想象能力.法一：(1) 作ME ∥CD 交SD 于点E ,则ME ∥AB ,ME ⊥平面SAD ，连接AE ,则四边形ABME 为直角梯形，作MF ⊥AB ,垂足为F ,则四边形AFME 为矩形，设ME =x ,则SE =x , 由MF =FB ·tan60°,求出x 的值即可得到结论;(2)由(Ⅰ)知M 为SC 中点, 可得求得△ABM 为等边三角形，取AM 中点G ,连接BG ,取SA 中点H ,连接GH ,则
BG ⊥AM ,GH ⊥AM .由此知∠BGH 为二面角S -AM -B 的平面角，然后在在△BGH 中，利用余弦定理求解即可;法二：以D 为坐标原点,射线DA 、DC 、DS 分别为x 、y 、z 轴正半轴,建立直角
坐标系D —xyz ,(1) 设SM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ＞0),根据已知条件，利用向量的数量积求出λ的值即可;(2)判断出GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知〈GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MS
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉等于二面角S-AM-B 的平面角，再利用向量的夹角公式求解即可.
【备注】无
21.(1)∵E 是BC 的中点,F 是PB 的中点,∴EF ∥P C.
又EF ⊄平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,∴EF ∥平面PA C.
(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),P (0,0,1),B (0,1,0),F (0,12,12), 设D (a ,0,0),则C (a ,1,0).
∵E 在BC 上,∴设E (m ,1,0)(0≤m ≤a ),
∴PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,1,-1),AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12), ∵PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PE ⊥A F. ∴无论点E 在边BC 的何处,都有PE ⊥A F.
【解析】无
【备注】无
22.∵四边形ACDE 是正方形 ，
∴EA ⊥AC ，
∵平面ACDE ⊥平面ABC ，
∴EA ⊥平面ABC ，
∴以点A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，以AC 和AE 为y 轴和z 轴，建立如图空间直角坐标系A −xyz .
设EA =AC =BC =2，则A(0,0,0),B(2,2,0), C(0,2,0),E(0,0,2)，
∵M 是正方形ACDE 的对角线的交点，
∴M(0,1,1).
(1) AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)−(0,0,2)=(0,2,−2)， CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)−(0,2,0)=(2,0,0)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AM ⊥EC,AM ⊥CB ∴AM ⊥平面EBC .
(2) （文） V C−ABE =V E−ABC =13×12×2×2×2=43 (2) （理）设平面EAB 的法向量为n =(x,y,z)，则n ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 且n ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
∴n ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0且n ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.
∴{(0,0,2)⋅(x,y,z)=0,(2,2,0)⋅(x,y,z)=0，
即{z =0,x +y =0. 取y =−1，则x =1，则n =(1,−1,0).
又∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面EBC 的一个法向量，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， ∴cos〈n,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n|⋅|AM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12， 设二面角A −EB −C 的平面角为θ，则cosθ=|cos〈n,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=12， ∴θ=60°.∴二面角A −EB −C 等于60°.
【解析】本题考查了线面垂直的判定方法，三棱锥的体积计算以及空间二面角的求法，强调转化与化归思想的应用.(Ⅰ)利用面面垂直的性质以及正方形的对角线互相垂直的性质易得AM ⊥EC,AM ⊥CB ，则问题可证;(Ⅱ文)由题意易得EA ⊥平面ABC ，所以将ABC 看成底面，EA 为高，则体积可求;(Ⅲ理)根据题意，此题可建立如图所示的空间直角坐标系，然后给出两个半平面内的相关的点的坐标，并进一步给出平面内的直线的方向向量，然后求得二面角A −EB −C 的两个半平面的法向量，最后将问题转化为向量间的夹角求解.
【备注】无。