高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件

)
A.y＝± 2x
B.y＝± 3x
C.y＝± 22x
D.y＝± 23x
解析 法一 由题意知，e＝ac＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a，即ba＝ 2，
所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±bax＝± 2x.
法二 由 e＝ac＝ ＝± 2x. 答案 A
1＋ba2＝ 3，得ba＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝±bax
解析 (1)法一 由离心率 e＝ac＝ 2，得 c＝ 2a，又 b2＝c2－a2，得 b＝a，所以双 曲线 C 的渐近线方程为 y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到 C 的渐近线的
距离为 14＋1＝2 2. 法二 离心率 e＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y＝±x，∴点(4，0)
把
x＝1
代入椭圆方程x22＋y2＝1，可得点
A

的坐标为1，

22或1，－
2
2
.

又 M(2，0)，所以 AM 的方程为 y＝－ 22x＋ 2或 y＝ 22x－ 2.
(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB.
所以，x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21. 则 2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝4k3－4k－2k122＋k3＋ 1 8k3＋4k＝0. 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补. 所以∠OMA＝∠OMB.综上，∠OMA＝∠OMB.
考点整合
1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1< 2，x2< 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2. 由 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－32k（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|＝|PF2|，记动点 Q 的轨迹为 Ω，设点 B 为椭圆 C 短轴上
一顶点，直线 BF2 与 Ω 交于 M，N 两点，则|MN|＝________.
解析 (1)由题设知ba＝ 25，① 又由椭圆1x22 ＋y32＝1 与双曲线有公共焦点， 易知a2＋b2＝c2＝9，② 由①②解得 a＝2，b＝ 5，则双曲线 C 的方程为x42－y52＝1. (2)∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 2，且|PQ|＝|PF2|，∴|F1Q|＝|F1P|＋|PF2|＝2 2.
点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( )
A. 2
B.2
32 C. 2
D.2 2
(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆 M：ax22＋by22＝1(a>b>0)，双曲线 N：mx22－ny22＝1.若双
曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形
的顶点，则椭圆 M 的离心率为________.
3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 ①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为 e＝ac＝ 1－ab22. ②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为 e＝ac＝ 1＋ab22.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax；焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0). ②双曲线ay22－bx22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±abx，焦点坐标 F1(0，－c)，F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 Fp2，0，准线方程 x＝－p2. ②抛物线 x2＝2py(p>0)的焦点 F0，p2，准线方程 y＝－p2.
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解 答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关 弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类 讨论思想方法的考查.
真题感悟
1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，则其渐近线方程为(
的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 63的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P＝
120°，则 C 的离心率为( )
Hale Waihona Puke 2111
A.3
B.2
C.3
D.4
解析 由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2 为等 腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，过 P 作 PE 垂直 x 轴， 则∠PF2E＝60°，所以 F2E＝c，PE＝ 3c，即点 P(2c， 3c).∵点 P 在过点 A，且斜 率为 63的直线上，∴2c＋3ca＝ 63，解得ac＝14，∴e＝14.
4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2. (2)过抛物线焦点的弦长 抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝p42，y1y2 ＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0， ∴e2＝4＋2 3(舍)，e2＝4－2 3.由 0<e<1，得 e＝ 3－1. 答案 (1)D (2) 3－1
探究提高 1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题 的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方 程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式.建立关于 a， b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范 围等. 3.求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”， 然后因式分解得到.
B.1x22 －y42＝1
C.x32－y92＝1
) D.x92－y32＝1
(2)(2018·烟台二模)已知抛物线 C：x2＝4y 的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，若 FM
的延长线交 x 轴的正半轴于点 N，交抛物线 C 的准线 l 于点 T，且F→M＝M→N，则|NT|
＝________.
解析 (1)由 d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b＝3.因为双 曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，所以ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，所以a2a＋2 9＝4， 解得 a2＝3，所以双曲线的方程为x32－y92＝1. (2)由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1. 设点M(x0，y0)，且x0>0，y0>0. 由F→M＝M→N，知点 M 是线段 FN 的中点，N 是 FT 中点，利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|
答案 D
4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆 C：x22＋y2＝1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，
B 两点，点 M 的坐标为(2，0).
(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；
(2)设 O 为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. (1)解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.
2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点(－2，0)且斜率为23的直线
与 C 交于 M，N 两点，则F→M·F→N＝( )
A.5 解析
B.6
C.7
D.8
过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为 y＝23(x＋2)，由yy＝ 2＝234（x，x＋2），得
x2－5x＋4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得 x1
2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)(焦点在 y 轴上)； (2)双曲线：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 x 轴上)或ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)(焦点在 y 轴上)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).
【训练 2】 (1)(2018·成都质检)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，点 E(0，t)(0<t<b).已知动点 P 在椭圆上，且点 P，E，F2 不共线，若△PEF2 的 周长的最小值为 4b，则椭圆 C 的离心率为( )
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例 1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，过右焦点且
垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离
分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(