自学初中数学资料 中考b c课程之含参一元二次方程(资料附答案)

自学资料
一、一元二次方程的应用
【知识探索】
1．解一元二次方程解应用题的一般步骤：审—设—列—解—验—答
（1）审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系；
（2）设：设未知数；
（3）列：列出方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式；
（4）解：解方程，求出未知数的值；
（5）验：检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意；
（6）答：作答，写出答案．
【注意】列一元二次方程解应用题时，要注意检验方程的根是否符合实际意义．
【错题精练】
例1．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）
A. 100(1+x)2=280；
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B. 100(1+x)+100(1+x)2=280；
C. 100(1−x)2=280；
D. 100+100(1+x)+100(1+x)2=280．
【答案】B
例2．如图，某小区规划在一个长40米，宽30米的矩形场地ABCD上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪面积都为168平方米，设道路的宽度为x米，则（）
A. (40−2x)(30−x)=168×6；
B. 30×40−2×30x−40x=168×6；
C. (30−2x)(40−x)=168；
D. (40−2x)(30−x)=168．
【答案】A
例3．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：ℎ=v0t−1
gt2（ℎ是物体离起点
2的高度，v0是初速度，g是重力系数，取10m/s2，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出，球的起点离开地面2m．
（1）1.2秒时球离起点的高度是多少？
（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m？
（3）球经过多少时间才落地？
【解答】（1）解：由题意，将g=10，v0=10分别代入函数关系式，y=−5t2+10t，
，
当t=1.2时，代入解得y=24
5
；
∴1.2秒时球离起点的高度是24
5
（2）解：当y=2.55时，2.55=−5t2+10t，
解得t1=1.7，t2=0.3．
故0.3秒或1.7秒后球离起点的高度达到2.55m．
（3）解：当球落地时ℎ=−2，−2=−5t2+10t，
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解得t 1=
5−√355（舍去），t 2=5+√355． 故球经过5+√355
秒后落地．
【答案】见解答．
例4．对于实数a 、b ，定义一种运算“”为：a ⊗b =a 2+ab −2，有下列命题：
①13=2；
②方程x ⊗1=0的根为：x 1=−2，x 2=1；
③不等式组：{(−2)⊗x −4<0
1⊗x −3<0的解集为：−1＜x ＜4．
其中正确的是（ ）
A. ①②③；
B. ①③；
C. ①②；
D. ②③．
【答案】A
例5．如果(a 2+b 2)(a 2+b 2−2)=15，则a 2+b 2= ．
【答案】−3或5
例6．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C =90∘，BC =16，DC =12，AD =21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．当t 为 时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形
【解答】解：若以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
①若PQ =BQ ，在RT △PMQ ，PQ 2=t 2+122
由PQ 2=BQ 2，得t 2+122=(16−t )2，解得t =72；
②若PB =PQ ，由PB 2=PQ 2，得(16−2t )2+122=t 2+122，
整理，得3t 2−64t +256=0，
解得，t =16
3，t 2=16（不合题意，舍去），
③若BP =BQ ，在Rt △PMB 中，BP 2=(16−2t )2+122，
由BP 2=BQ 2，得(16−2t )2+122=(16−t )2，即3t 2−32t +144=0，
∵△=−704<0，
∴3t 2−32t +144=0无解，
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∴BP ≠BQ ；
综合上面的讨论可知：当t =72或16
3时，
以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形
【答案】72或16
3
【举一反三】
1．如果√(a −5)2+|b −3|=0，那么以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．
【答案】11或13
2．把足球垂直地面向上踢，t （秒）后该足球的高度ℎ（米）适用公式ℎ=20t −5t 2，经 秒后足球回到地面.
【答案】4
3．由10块相同的长方形地砖拼成面积为160 cm 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为 cm ．
【答案】52cm
二、一元二次方程根的判别式
【知识探索】
1．利用根的判别式，不必解方程，就可以判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根
是否相等．对于一元二次方程（），
（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△＜0时，方程没有实数根．
【说明】上述判断反过来说，也是正确的．即：
【注意】一元二次方程（）有实数根，包括有不等两根或相等两根的情况．如果方程有相等的两根，则它的解必须表示为；如果方程有不等的两根，则它的两根之间用“，”隔开．
【错题精练】
例1．已知关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0有实数根，则k的取值范围是．
【答案】k≤2且k≠1．
+c的值等于例2．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2−c=0有两个相等的实数根，则1
a _______．
【答案】2
例3．关于x的一元二次方程mx2+(3m−2)x−6=0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
【解答】（1）∵Δ=b2−4ac=(3m−2)2+24m=(3m+2)2≥0
时，方程有两个不相等实数根．
∴当m≠0且m≠−2
3
,x2=−3．
（2）解方程，得：x1=2
m
∵m为整数，且方程的两个根均为负整数，
∴m=−1或m=−2．
∴m=−1或m=−2时，此方程的两个根都为负整数．
；（2）m=−1或m=−2．
【答案】（1）m≠0且m≠−2
3
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【答案】①③．
3．在一元二次方程ax2+bx+1=0中，若系数a和b可在0，1，2，3中取值，则其中有实数解的方程的个数是个，写出其中有两个相等实数根的一元二次方程．
【答案】3，x2+2x+1=0．
4．有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0，N:cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c，以下列四个结论中错误的是（）
A. 如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B. 如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
是方程N的一个根；
C. 如果5是方程M的一个根，那么1
5
D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1．
【答案】D．
1．等腰三角形的腰和底边的长是方程x2−20x+91=0的两个根，则此三角形的周长为．
【答案】33或27．
2．学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽是米．
【答案】1
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3．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【解答】（1）解：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，
则a=b，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）解：根据题意得△=（2b）2−4(a+c)(a−c)=0，
即b2+c2=a2，
∴△ABC为直角三角形；
（3）解：∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程化为x2+x=0，
解得：x1=0，x2=−1．
【答案】（1）等腰三角形；（2）直角三角形；（3）x1=0，x2=−1．
4．已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+a−c=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的解和△ABC形状判断的结论错误的是（）
A. 如果x=−1是方程的根，则△ABC是等腰三角形
B. 如果方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形
C. 如果△ABC是等边三角形，方程的解是x=0或x=−1
D. 如果方程无实数解，则△ABC是锐角三角形
【答案】D
5．关于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有以下命题：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；④若ax2+bx+c=0有两个相等的实根，则ax2+ bx+c=1无实数根．其中真命题是（）
A. ①②③；
B. ①②④；
C. ①③④；
D. ②③④．
【答案】A．
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