3.2指数的扩充及其运算性质课件
2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质课件
1 2
1 2
1 2
1 2
n
1n ＝a (a
是使 a
－n
有意义的值)， 此法在底数 a 是分数时使用比较方
2－2 32 便，如3 ＝2 .
1．b4＝3(b>0)，则 b 等于( A． 3
4
) B．3
1 4
C．43
D．35
解析：
因为 b ＝3(b>0)，∴b＝ 3＝3 .
解析：
1 41 1 1 2－ 2 (1)原式＝1＋ × 4 9 100
[边听边记]
(1)原式＝ x－32＋ x＋32
＝|x－3|＋|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴原式＝3－x＋x＋3＝6. (2)由题意知 a－1有意义，则 a≥1， 原式＝(a－1)＋|1－a|＋1－a ＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
答案：
(1)6
(2)a－1
[规律方法]
(1)解决根式的化简问题，首先要先分清根式为奇次根式还是偶
－ －
解析：
(1)当 a<0 时，a 的偶次方根无意义．
(2)负数的 n 次方根是一个负数，故 3 －27＝－3，故①错误；16 的 4 次方根 2，故②正确； 4 81＝3，故③错误； 有两个，为±
2 2 x＋y 是正数，故 2 x＋y ＝|x＋y|，故④正确．
(3)原式＝
1 2 π － π ＋
5＋2)＋1
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
[规律方法]
(1)幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的 形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同 时含有分母和负指数．
3.2指数的扩充及其运算性质PPT课件
栏目 导引
【名师点睛】 进行指数运算时，要化负指 数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数 为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
栏目 导引
变式训练 2．化简下列各式．
3 (1)
a3；
4 (2)
3－π4；
(3)(
－
3
3 8
)
－
2 3
＋
(0.002)
－
1 2
－
10(
5 － 2) － 1 ＋ (2 －
栏目 导引
答案：9
－ 53 270
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数
幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，
因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似
值来无限逼近它．
一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个
无理数)是一个确定的实数．
栏目 导引
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无 理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实 数了． 做一做
Thank you for coming and listening,you can ask questions according to this section and this courseware can be downloaded
and edited freely
从而原式
＝t＋1t t42＋7－t122－1－3
＝3[t＋1t 2－3]－3 45
栏目 导引
＝332－453－3＝13.
12 分
【思维总结】 巧妙地换元、整体代换、完
全平方公式、立方和公式等是解这类题常用
的方法和知识．
栏目 导引
备选例题
1．化简下列各式． (1)x－22＋y－22－x－22－y－22；
3.2指数扩充及其运算性质_课件(北师大版必修1)
(－ )×
2 3
1 2 × (－ ) 4 3
＝b .
1 9
返回
[悟一法]
此类问题应熟练应用 a ＝ am(a＞0， m， n∈N＋， 且 n＞1)． 当 所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指 数幂写出，然后再根据性质进行化简．
m n
n
返回
[通一类]
1．用分数指数幂表示下列各式． (1)8 2；(2)a · a ；(3) a2 (4) (a＞0)． 3 2 a· a
n
－n
1 3 3 ＋ a3n＋ a－3n 3 3 ∴ n － ＝ 1 a ＋a n 3＋ 3 （ 3 3）2＋ 1 ＝ 3× 3 3＋ 3 28 7 ＝ ＝ . 12 3
返回
a3n＋ a 3n （ an＋ a n）（ a2n－ ana n＋ a 法二： n －n ＝ a ＋a an＋ a－n
－ － －
n am· ；
(3)(ab)m＝ ambm ．
返回
[小问题·大思维]
3 1．若 b ＝5 ，则 b＝5 ，b 叫作 5 的 次幂吗？ 2
2 3
3 2
提示：不一定，当 b＞0 时，可以；当 b＜0 时，b 不 3 叫作 5 的 次幂． 2
返回
2．为什么分数指数幂中规定整数m，n互素？
提示： 如果没有这个规定将导致幂的运算结果出现矛盾． 例如： a 中，底数 a∈ R，当 a＜ 0 时，a ＜ 0，而如果把 a 写成 a ，有 两种运算：一是 a ＝ (a ) 就必须 a≥ 0；二是 a ＝ (a ) ，在 a＜ 0 时，a 的结果大于 0，与 a ＜ 0 相矛盾．所以规定整数 m、 n 互素．
－ －
1 2
1 2
3.2.1 指数概念的扩充
§3.2指数扩充及其运算性质教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点：(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值．教学难点：(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排2课时§3.2.1 指数概念的扩充导入新课思路1.碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数概念的扩充．新知探究提出问题学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.其中n，m∈N＋. (2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2105a =，②a 8＝82a，③124a，④102a =结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，102，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a 7＝75a ，nx m＝m n x .(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a 7的五次方根是75a ，x m的n 次方根是m nx . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a ＞0，那么a m的n 次方根可表示为na m＝m n a ，即m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是m na ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)． 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的？ ②你能得出负分数指数幂的意义吗？③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？ ④综合上述，如何规定分数指数幂的意义？⑤分数指数幂的意义中，为什么规定a ＞0？去掉这个规定会产生什么样的后果？ ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a ＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：①负整数指数幂的意义是：a －n＝1an (a ≠0，n ∈N ＋)．②既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)．③规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．④教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：有时我们把正分数指数幂写成根式，即m na =a ＞0，m ，n ∈N ＋)，正数的正分数指数幂的意义是m na=(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1m nm naa-==(a ＞0，m ，n ∈N ＋，n ＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-=1，26(1)-＝6－2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．⑥规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质：(1)a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )，(3)(a ·b )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成(23)4，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)238＝233(2)＝2332⨯＝22＝4； (2)1225-＝122(5)-＝1225⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)341681-⎛⎫⎪⎝⎭＝34423⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式的b .(1)b 5＝32；(2)b 4＝35；(3)b －5n ＝π3m(m ，n ∈N ＋)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，先化为根式，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：(1)b ＝532＝1532；(2)b ＝435＝543；(3)b ＝－5nπ3m＝35m nπ-(m ，n ∈N ＋)． 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式：(1)1327； (2)324.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，根据方根的意义来解．解：(1)因为33＝27，所以1327＝3；(2)因为82＝43，所以324＝8.变式训练求值：(1)33·33·63；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64.解：(1)33·33·63＝3·123·133·163＝11112363+++＝32＝9；(2)6⎝⎛⎭⎪⎫27m3125n64＝44333666362731255m mn n⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝443366443666(3)()(5)()mn＝9m225n4＝925m2n－4.例4 计算下列各式：(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝(113225125-)÷1425＝(233255-)÷125＝21325-－31225-＝165－5＝65－5；(2)a2a·3a2＝22132aa a⋅＝1252236a a--==课堂练习：P66课堂小结：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是1mnmnaa-=＝1na m(a＞0，m，n∈N＋，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m mnn n na a⨯=＝a m来计算．课后作业：P68习题3—2 A组1,2,3,4.。
数学必修一北师大版 3.2 指数概念的扩充
（2）（am）n amn
（3）（ab）n anbn 其中a 0,b 0, m, n Q
练习
1.计算 :
1
1 0
83 ; 23 ;
3
252 ;
4
2
3 2
3
.
2.化简（式中字母均为正数）
115
（1）a 2 a 4 a 4
（2） x
1 2
y
1
6
1
（3）
8a3 27b6
（3）
3
42
（6） 3 m2
正数的负分数指数幂的意义与负整数指 数幂的意义相仿，即
0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义.
扩充
整数指数幂
有理数指数幂
例3 把下列各式中的b写成负分数指数幂的形式
（1）b5 32;
（2）b4 35;
（3）b2n
3（m m, n
N
）
整数指数幂的运算性质在有理数幂也适用
数学组 王路
复习
整数指数幂
a n a •a• •an N
n个a
a0 1(a 0)
an
1 an
a
0, n
N
整数指数幂的运算性质
其中，a 0,b 0, m, n Z
想一想
在§1的问题2,
Q=0.9975t,t∈N+
关于臭氧含量Q与时间t的函数关系,只讨
论了自变量是正整数的情况,如果时间t是
半年,或15年零3个月,此时自变量不是一
个整数,而是分数,那么此时情况又怎样呢?
扩充
把整数指数幂
分数指数幂
问题1：在正整数指数幂的运算 bn=a中，已知正实数a和正整数n， 如何求b？
北师大版高中数学必修一3.2.1指数扩充及其运算性质课件
-5-
2.1 指数概念的扩充
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 2-1】
A. 2
3
3 32 =(
)
C. 27
)
5 D.-������2
3
B. 3
5
D. 27
答案:D
【做一做 2-2】 a-2 (a>0)=(
2 C.������5
解:(1)64 =
2 (2)83
-
1 2
1 64
3
= . 64=4. =
1 . 5
1 8
=
-
3
(3)125 =
1 3
82 =
1
3
125
反思分数指数幂不表示相同因式的乘积,而是根式的另一种写法. 将分数指数幂写成根式的形式时,用熟悉的知识去理解新概念是关 键.
-10-
2.1 指数概念的扩充
题型一 题型二 题型三
S随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练1】 用分数指数幂表示下列各式中的a. (1)a-5=28; (2)a-6=57; (3)a-3n=35m(m,n∈N+).
解 :(1)∵a =28,∴a=28
-5
-
(2)∵a =57,∴a= 5
-6 -3n 5m
-
7 6.
1 5.
(3)∵a =3 ,∴a=3
-
5������ 3������ .
-9-
2.1 指数概念的扩充
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
高中数学北师大版必修一 3.2.1-2指数概念的扩充、指数运算的性质 课件(33张)
【解析】 (1) －23＝－2； 4 4 (2) －32＝ 32＝ 3； 8 (3) 3－π8＝|3－π|＝π－3； (4)原式＝ x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当 x≥y 时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当 x<y 时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 0，x≥y， 所以原式＝ 2y－x，x<y.
2．1 指数概念的扩充 2．2 指数运算的性质
【课标要求】 1.理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义. ]2.掌握分数指数幂与根式的互化. 3.掌握幂的运算性质. 4.能熟练地运用性质进行化简或求值．
自主学习 |新知预习| 1．分数指数幂 (1)定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，n(m，n 互素)， m n m 存在唯一的正实数 b，使得 b ＝a ，我们把 b 叫作 a 的 次幂，记作 b n ＝a .
n 【思路点拨】 根式与分数指数幂互化的依据是 a ＝ am(a>0， m，n∈N＋，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时，由里向外用分数指 数幂写出，然后再利用运算性质化简．
m n
【解析】 (1)－ x＝－x 6
2
1 2 6 1 3
1 2
(x>0)；
3 4 1 －3 4
4 1 y ＝(|y| ) ＝－y (y<0)；x ＝(x ) ＝ x 3(x>0)； 1 3 1 1 1 x 3 ＝x 3 ＝ x(x≠0)．故选 C.
m n
(2)意义：
2.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0，α 是无理数)是一个确定的正实数． 3．指数运算性质： 当 a>0，b>0 时，对任意实数 m，n 满足以下三条运算性质： (1)am· an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)n＝anbn.
高中数学复习课件-第三章 指数扩充及其运算性质
想一想
1.
a
m n
是m个 n
a
相乘吗？
m
提示：分数指数幂 a n
不是mn 个
a
相乘，实质
上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
2．(n a)n 与n an(n∈N＋，n＞1)相同吗？ 提示：不同(n a)n＝a. 式子n an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都 有意义，当 n 是奇数时n an＝a；当 n 是偶数 时，n an＝|a|＝－a，a，a≥a＜0 0 .
1．在根式的化简与运算中，一般是先将根式化成分 数指数幂，再进行运算．
2．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说 明，结果一般用分数指数幂的形式表示．
3．对条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采 用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.
• 达标拓展 • 导学案P40 1. 2. 3
知识1
(1)整数指数幂是如何定义的？有何规定？( a n = a×a×a× ……×a ( n ∈ N * )
n个
a0=1 (a≠0)
an
1 an
(a
0, n
N*)
(2)根式 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
根指数
na
被开方数
根式
m
a n n am m, n 0, a 0
答案：A
练习：
2
3. 4x 16,
则
1 4
x
4
m6n
2
4.若10m 4,10n 3, 则 10 2 27
合作探究二
题型二 指数幂的综合运算
例2 计算下列各式．
3.2指数扩充及其运算性质
【练一练】
1. 回答下列各题（口答）：
①
a 2· a 3=
a5
②
(b4)2= b8
③ (m ·n)3=. m3 ×n3
【想一想】
1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 ； 2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 立方根 . 平方根 例如，若32=9，则3是9的 ； 若53=125，则5是125的 立方根 .
第二章 函数
§2 指数的运算与性质
1
复习引入
答：an= aaa a (n∈N*)
零的零次幂没有意义
⑴在初中,我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？ 即an=? a0=? a-n=?
a0= 1 a-n=
（a≠0）
零的负整数次幂没有意义
1 an
( a≠0,n∈N*).
(2)整数指数幂的运算性质是： ①am· an=am+n(m,n∈Z) ②(am)n=amn(m,n∈Z)； ③(ab)n=an bn(n∈Z). ①--③都要遵守零指数幂、负整数指数幂的 注意： 底数不能等于0的规定.
3 4 2
(3)
(4)
(3 )
三、根式的运算性质：
1)、 ( a)
n n
n n
a
n m
a, n为奇数 2)、 a a ， n 为偶数
(3)、 a
np
mp
a (a 0)
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. ⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a 本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次 方根是a的绝对值. ⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非 负实数的幂，那么这个根式的根指数和被 开方数的指数都乘以或者除以同一个正整 数，根式的值不变.
北师大版高中数学必修第一册3.2指数幂的运算性质课件
3
－1
答案：BC
8
答案：ABC
8 ． (5 分 ) 已 知 a2m ＋ n ＝ 2 － 2 ， am － n ＝ 28(a>0 且 a≠1) ， 则 a4m ＋ n ＝ ____4____.
状元随笔 (1)对于正整数指数幂am，a是任意实数时，它都有意义，幂指数扩 充到实数范围后，规定a>0. (2)对于实数指数幂的运算，多项式运算中的乘法公式(平方差公式、 完全平方公式、完全立方公式等)仍然成立，很多时候，灵活应用这 些公式，可以使运算大大的简化．
×
× √ ×
答案：ABC
答案：A
2 指数幂的运算性质
【最新课标】 掌握指数幂的运算性质．
教材要点 要点 指数幂的运算性质 对于任意正实数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性 质： (1)同底数幂相乘：aα·aβ＝___aα_＋_β___； (2)幂的乘方：(aα)β＝____aα_β___； (3)积的乘方：(ab)α＝__a_α_b_α___．
状元随笔 对于含有字母的化简，一般用分数指数幂的形式表示， 对于含有字母的根式化简，被开方的式子符号不确定时要分类讨论．
(3)a3＋a－3.
解析：a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－a·a－1＋a－2)＝(a＋a－1)·(a2＋a－2－1)＝(a＋a－1)[(a ＋a－1)2－3].
－4
答案：A
方法归纳 进行指数幂的运算时的注意点 (1)有括号先算括号里的，无括号先做指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，从而去掉负号；底数是带分数，先化 成假分数． (4)含有根式时，通常先将根式转化为分数指数幂再运算． (5)尽可能将各项用幂的形式表示．
高中数学 3.2《指数扩充及其运算性质》课件 北师大版
m
b＝an
(2)an 1(a≠0) a(a∈
R，n>1 且 n∈N＋) 求 a 的 n 次方根 n a n am 1 n am
2．两个 相反数 n a －n a 正数 n a n 0＝0 负
数
n a
3．(1)am＋n (2)amn (3)anbn
思路方法技巧
整数指数幂的运算
[例 1] 化简a2＋a2bb22－ －aa－ －22－ b－2b－2＋a－aba＋－1a－b1－b－b1－1. [分析] 化简这类式子，一般有两种方法．一是首先用负 指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数 幂的性质把负指数化为正整数指数．
(4)正数 a 的正 n 次方根叫作 a 的 n 次算术根； (5)根式具有的性质：
①(n a)n＝a(n>1，且 n∈N＋)；
②n an＝a |a|
当n为奇数， 当n为偶数.
2．根式的化简，常先把根式转化为分数指数，运用指数
的运算性质化简后，再转化为根式．
三、实数指数幂及其运算性质 1．概念：当 a>0，p 为无理数时，ap 的值可以用两个指 数为 p 的不足近似值与过剩近似值构成的有理数幂序列无限 逼近而得到，因此，ap 是一个确定的实数，而且有理指数幂 的运算性质对于无理指数幂也适用，这样，指数概念就扩充 到了整个实数范围． 2．运算性质：a>0，b>0，α，β∈R，则 ①aαaβ＝aα＋β；②(aα)β＝aαβ；③(ab)α＝aαbα.
＝aa22b＋2＋b21aa22bb22－－11＋a2b2－a2ba22＋－1b2＋1
＝aa22bb22＋＋11＝1.
解法二：原式＝a2＋a2bb22－ －aa1221－b2 b12＋a－ab1a＋ba1－b 1b ＝a4b2＋aa42bb44－－1b2－a2＋a2－a21b2＋b21－1. (以下同解法一)
高中数学 3.2 指数扩充及其运算性质课件 北师大版必修1
第三十六页，共36页。
第二十七页，共36页。
计算：3 xy2 xy－1· xy·(xy)－1.
[解析]
原式＝(xy2·x12
·y－1 2
)1 3
·(xy)
1 2
·(xy)－1
＝(x y ) 3 3 1 2 23
(xy)
－1
2
＝(xy)12·(xy)－12
＝(xy)
1 2
－1
2
＝(xy)0
＝1.
第二十八页，共36页。
利用分数指数幂进行(jìnxíng)条件求值
第三十二页，共36页。
易错疑难辨析
第三十三页，共36页。
已知 x－82－ x－102＝2x－18 成立，求 x 的 取值范围．
[错解] ∵ x－82＝x－8， x－102＝x－10， ∴原方程可转化为(x－8)－(x－10)＝2x－18. 解得 x＝10. ∴所求 x 的取值范围为 x＝10.
第三十四页，共36页。
最简结果．这要求同学们一定在记准、记熟运算性质的基础上，
结合问题灵活地进行运用．
第二十三页，共36页。
化简：56a13
b－2×(－3a－12
)b－1÷(4a23
b－3)
1 2
.
[解析]
原式＝56a13
b－2×(－3a－12
b－1)÷(4a23
b－3)
1 2
＝－52a－16
b
－3÷(4a23
b－3)
两个(liǎnɡ ɡè) 相反数
n a －n a
正数(zhèngshù)
n
n
0＝0
a
第九页，共36页。
负数
2021学年数学北师大版必修1课件：3-2+指数扩充及其运算性质
(2)整数指数幂与分数指数幂的联系与区别
一般地，当 a>0，α 为任意实数值时，实数指数幂 aα 都有意 义．
2．n 次方根的性质
3．实数指数幂的运算法则
a>0，b>0，m，n∈R，则 (1)am·an＝ am＋n ； (2)(am)n＝ amn ； (3)(ab)n＝ anbn .
计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数幂的形式(a， b 均不等于 0)．
(1)a3b2(2ab－1)3； (2)a－3b－92a－－2b3－a32b－1； (3)[aa＋－bb－－32aa－＋bb40]3(a＋b≠0，a－b≠0)．
解：(1)a3b2(2ab－1)3＝a3b2[23a3b(－1)×3] ＝8a3＋3b2－3＝8a6b－1＝8ba6； (2)a－3b－92a－－2b3－a32b－1＝－39·a－3＋2－(－2)b－2＋(－1)－(－3)
解：(1)原式＝－4－1＋12×( 2)4＋2＝－5＋2＋2 ＝－1. (2)原式＝2－1＋8＋8×9＝81.
类型三
根式的化简与求值
【例 3】 求下列各式的值．
规律方法 对于含有根式的式子化简问题，常把根式化成分 数指数幂的形式；熟练掌握指数的运算性质并灵活应用．
类型四
指数运算性质的综合应用
abab＋a－1b－1 ＝a4b2＋aa42bb44－－1b2－a2＋a2－a21b2＋b21－1 ＝a2b2a2＋a4bb24－－1a2＋b2＋a2b2－a2ba22＋－1b2＋1 ＝aa22b＋2＋b21aa22bb22－－11＋a2b2－a2ba22＋－1b2＋1 ＝aa22bb22＋ ＋11＝1.
类型一 整数指数幂的运算 【例 1】 化简a2＋a2bb22－－aa－－22－b－b2 －2＋a－aba＋－1a－b1－b－b1－1. 【思路探究】 化简这类式子，一般有两种方法．一是首先 用负指数幂的定义把负指数化为正整数指数；二是运用整数指数 幂的性质把负指数化为正整数指数．
高中数学 3.2.1 指数概念的扩充同步教学课件 北师大版必修1
第十二页，共25页。
正数的负分数指数幂的意义(yìyì)与负整数指数幂的 意义(yìyì)相仿，即
m
an
1
m
(a
0, m, n
N , 且n
1)
an
规定：0的正分数指数幂等于(děngyú)0，
0的负分数指数幂没有意义.
第十三页，共25页。
例３.把下列各式写成分数指数幂的形式：
（1） 5 a2 (a 0) ；（2） b (b 0) ；（3） 4 c3 (c 0)
决实际问题的需要
第六页，共25页。
例 1.把下列各式中的 b （b＞0）写成分数指数幂的形式： （1） b5 32; （2） b4 35; （3） b5n 3m (m, n N ).
1
解：（1） b 325 ;
5
（2） b 34 ;
3m
（3） b 5n (m, n N )
第七页，共25页。
第二十五页，共25页。
（2） 1 . 3 a(5 a2 )2
3
57
解: （1） 3 ab2 ( ab)3 3 ab2 (ab)2 3 a2b2
5 71
57
(a2b2 )3 a6b6
(2)
1 3 a( 5 a2 )2
1
2
3 a(a5 )2
1
9 3
a5
1
91
(a5 )3
1
3
a5
3
a 5
第二十二页，共25页。
4.(2012·西安高一检测)给出函数
f
(x)
2 x
f (x 1)
8 则 f (2)
(x 3) , (x 3)
解析:f (2) f (3) 8.
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；
a n an (5)( ) ＝ n(b≠0)． b b
第三章
指数函数和对数函数
其中m，n∈N＋.
当a＞0，b＞0时，对任意实数m，n都满足
上述性质，上述五条运算性质也可以归纳为
三条：
mnn am＋n am (1)aman ＝ __________ ； (2)(a ) ＝
an bn )n＝__________. _______；(3)( ab
5 1 7 1
× ×
2
3
1
2
1
3
1
2 1
－
3 1
－
1
2
2
1
1
1
1
1 1
＋
2
1
3
2 1
1＋
3
b 2·
2＋
3 1
2)3
5 7
第三章
指数函数和对数函数
题型二
例2
1
指数幂的综合运算
计算下列各式．
b
－4
3 2 －3 (1)(a2· b ) ÷
a 2；
－
3＋ 2 1－2 1 －1 － 63. (2) ＋ ＋ ＋ 4· 4 6 6 3 3－ 2 2
第三章
指数函数和对数函数
解： (1)原式＝(53－52)÷ 52＝53÷ 52－5 ÷ 52＝53 －52 2＝56－5. (2)原式＝a3· (－a)6＝－(－a)3· (－a)6 ＝－(－a)3 6＝－(－a)1. (3)原式＝{ab [(ab)2] }3＝(a ＝a2 3b2 3＝a6b6.
第三章
指数函数和对数函数
【解】 (1)原式＝(a2· b3) ÷ [b (a )2] 2 ＝a 2· b ÷ (b · a 2)
－ －
1
2
－3
－4
－2
1 1
3
－2
－2
1
＝a
3 1 2
－ ＋
b 2·
0
－ 2＋2
1 ＝a · b＝ . a
－1
1 (2) 原式＝ (2 ) ＋ (6 2 ) 3 ＋ (32 ＋ 2 2 ) － 4× 8
m 提示：分数指数幂 a 不是 个 a 相乘，实质 n 上是关于 b 的方程 bn＝am 的解．
m n
m n
第三章
指数函数和对数函数
2．( a) 与 an(n∈N＋，n＞1)相同吗？
n
n
n
提示：不同( a)n＝a. 式子 an(n∈N＋，且 n＞1)对任意的 a∈R 都 有意义，当 n 是奇数时 an＝a；当 n 是偶数 时， n
2 5
B． a
2 5
D．－ a
答案：A
第三章
指数函数和对数函数
2．指数运算性质 正整数指数幂的运算性质： (1)aman＝am n；(2)(am)n＝amn；(3)(ab)n＝anbn；
＋
am (4)当 a≠0 时，有 n ＝1，当m＝n时 a a n m，当m＜n时
－ －
m n a ，当m＞n时
解：(1)原式＝ x 33＋y
－
2
2
－
3 3
x 3＋y
－
2
2 3
－
x－33－y－33 － 2 2 － － x 3 －y 3
2 2
－ －
2
2
＝(x 3) －x 3y 3＋(y 3 ) －[(x 3) ＋x 3y 3＋(y 3 )2]
－ － － － － －
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＝－2x 3y 3.
－
2
－
2
第三章
指数函数和对数函数
1
1
a3a－8b (2)原式＝
1 1 1
＋ ＋
a3
1
a32＋2a3b3＋2b32
1
1 1
×
1
a3－2b3
1×a3
1
a
3 3 3a－ 8b 1 1
＝
a33－2b33
＝ a.
第三章
指数函数和对数函数
3x 3x a ＋ a 2．已知 a2x＝ 2＋1，求 x － 的值． a ＋a x
－
－
3
4
2
1 27 －2 ＝( ) 3＋5002－10( 5＋2)＋1 8
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
第三章
指数函数和对数函数
题型三
例3
有关指数幂的条件求值
1
－
1
(本题满分 12 分)已知 a2＋a 2＝3， 求
下列各式的值， (1)a＋a 1；
－
(2)a2＋a 2；
－
1
1
－
从而原式 1 2 1 t＋ t ＋ 2－1－3 t t ＝ 47－2 12 3[ t＋ －3]－3 t ＝ 45
第三章
指数函数和对数函数
332－3－3 1 ＝ ＝ . 45 3
12 分
【思维总结】
巧妙地换元、整体代换、完
全平方公式、立方和公式等是解这类题常用
的方法和知识．
；
)
5 5
＝3
1 3
5 5 5
1 ＝3 ＝ . 3
－1
答案：20
3
第三章
指数函数和对数函数
典题例证·技法归纳
题型探究 题型一
例1
4 (1)
分数指数幂与根式的转化
计算下列各式的值：
2 3
81× 9 ) ； (2)2 3 × 5 3 25× 5 (3) . 10 7 5× 5
3
1.5 ×
6
12 ；
m n
n∈N＋，且 n＞1)．
0 (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分 没有意义 数指数幂_______________ ．
第三章
指数函数和对数函数
由于有理数分为整数和分数，则引入分数指
数幂的概念后，指数概念就实现了由整数指 数幂向有理数指数幂的扩充． 想一想
m 1. a 是 个 a 相乘吗？ n
2 2－1.
第三章
指数函数和对数函数
方法感悟
方法技巧
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算 括号里的；无括号先做指数运算；负指数幂 化为正指数幂的倒数；底数是负数，先确定 符号；底数是小数，先要化成分数；底数是 带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用 幂的形式表示，便于用指数运算性质．
第三章
指数函数和对数函数
－
3 4
1 2
3 4 － 2
3 4
1
－
53 ＝－ . 270
第三章
指数函数和对数函数
53 答案：9 － 270
3．无理数指数幂
对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数 幂来理解，由于无理数是无限不循环小数， 因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似 值来无限逼近它． 一般来说，无理数指数幂ap(a＞0，p是一个 无理数)是一个确定的实数．
第三章
指数函数和对数函数
若改变公式成立的条件， 则命题有可能变为假 1 命题， 如 a＝－3， b＝－4， n＝ 时， anbn＝(ab)n 4 ＝[(－3)×(－4)]4＝124，而(－3)4、(－4)4都无 意义，所以当 a＜0，b＜0 时，有理数指数幂 的运算性质(3)不再成立.
1 1 1 1
第三章
指数函数和对数函数
由于实数分为有理数和无理数，则规定了无
理数指数幂后，我们就把指数扩大为全体实 数了． 做一做
3.化简：① 4 × 5 3 ＝________. ② 3
3
5
5 5
＝________.
第三章
指数函数和对数函数
解析：① 4 × 5 3 ＝(4×5) ②(3
5
3
3
＝20
3
1 3 －2 － － (3)( － 3 ) 3 ＋ (0.002) 2 － 10( 5 － 2) 1 ＋ (2 － 8
3 4
3)0.
第三章
指数函数和对数函数
解：(1) a3＝a. (2) 3－π4＝|3－π|＝π－3. 3 －2 1 1 10 (3)原式＝(－1) 3(3 ) 3＋( ) 2－ ＋1 8 500 5－2
第三章
指数函数和对数函数
做一做 2.①计算： 3 3 × 32 3 ＝________. 1 81 3 ②计算：100－ － － ＝________. 2 16 4
解析：① 3 3 × 32
1 2
3
＝9.
81 ② 100 － ＝ 102 16
3 3 1 8 ＝10 －2 ＝ － 10 27
－2 －2
－
3
－
1
1
1
2
×62＝2 ＋62＋5＋2×62－3×62＝21.
3
4
1
1
1
第三章
指数函数和对数函数
【名师点睛】
进行指数运算时，要化负指
数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数 为分数运算，同时还要注意运算顺序问题．
第三章
指数函数和对数函数
变式训练
2．化简下列各式． (1) a3； (2) 3－π4；
3 1 7 3 1 7 7
＋ － －
5 2 10＝ 55.
第三章
指数函数和对数函数
【思维总结】
解决本题的关键是理解分数
指数幂的意义，根式是分数指数幂的另一种 形式，将根式化为分数指数幂的形式是计算
的前提．
第三章